2014年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析.doc

2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2014天津）i是虚数单位，复数=（）A1iB1+iC+iD+i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34i，即求出值解答：解：复数=，故选A点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题2（5分）（2014天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A2B3C4D5考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B（1，1）时，直线y=的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=1+21=3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法3（5分）（2014天津）已知命题p：x0，总有（x+1）ex1，则p为（）Ax00，使得（x0+1）e1Bx00，使得（x0+1）e1Cx0，总有（x+1）ex1Dx0，总有（x+1）ex1考点：命题的否定；全称命题菁优网版权所有专题：简易逻辑分析：据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定解答：解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p为x00，使得（x0+1）e1，故选：B点评：本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题4（5分）（2014天津）设a=log2，b=log，c=2，则（）AabcBbacCacbDcba考点：对数值大小的比较菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论解答：解：log21，log0，021，即a1，b0，0c1，acb，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础5（5分）（2014天津）设an的首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A2B2CD考点：等比数列的性质；等差数列的性质菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1解答：解：an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和，S1=a1，S2=2a11，S4=4a16，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：故选：D点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题6（5分）（2014天津）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=1考点：双曲线的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先求出焦点坐标，利用双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程解答：解：双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=5，即焦点坐标为（5，0），c=5，双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，双曲线的方程为=1故选：A点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题7（5分）（2014天津）如图，ABC是圆的内接三角形，BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：BD平分CBF；FB2=FDFA；AECE=BEDE；AFBD=ABBF所有正确结论的序号是（）ABCD考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用菁优网版权所有专题：直线与圆分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项解答：解：圆周角DBC对应劣弧CD，圆周角DAC对应劣弧CD，DBC=DAC弦切角FBD对应劣弧BD，圆周角BAD对应劣弧BD，FBD=BAFAD是BAC的平分线，BAF=DACDBC=FBD即BD平分CBF即结论正确又由FBD=FAB，BFD=AFB，得FBDFAB由，FB2=FDFA即结论成立由，得AFBD=ABBF即结论成立正确结论有故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题8（5分）（2014天津）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），xR，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）ABCD2考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质分析：根据f（x）=2sin（x+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值解答：解：已知函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+）（0），xR，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，T=，故选：C点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9（5分）（2014天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生考点：分层抽样方法菁优网版权所有专题：概率与统计分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60，故答案为：60点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题10（5分）（2014天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：立体几何分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，几何体的体积V=124+222=4+=故答案为：点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键11（5分）（2014天津）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为4考点：程序框图菁优网版权所有专题：算法和程序框图分析：写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果解答：解：由框图知，第一次循环得到：S=8，n=2；第二次循环得到：S=4，n=1；退出循环，输出4故答案为：4点评：本题考查循环结构，判断框中n1退出循环是解题的关键，考查计算能力12（5分）（2014天津）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）考点：复合函数的单调性菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：先将f（x）化简，注意到x0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断解答：解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，当x0时，f（x）=2lgx在（0，+）上是增函数；当x0时，f（x）=2lg（x）在（，0）上是减函数函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）故答案为：（，0）方法二：原函数是由复合而成，t=x2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，f（x）=lgx2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数，函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）故答案为：（，0）点评：本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间13（5分）（2014天津）已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为2考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论解答：解：BC=3BE，DC=DF，=，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形ABCD的边长为2，BAD=120，|=|=2，=22cos120=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即4+42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案为：2点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式14（5分）（2014天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）考点：根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论解答：解：由y=f（x）a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a0，不满足条件，a0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个 交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个 交点，要使函数y=f（x）a|x|恰有4个零点，则1a2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15（13分）（2014天津）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（）用表中字母列举出所有可能的结果；（）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个（）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率解答：解：（）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果（）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为 =点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题16（13分）（2014天津）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinB=sinC，（）求cosA的值；（）求cos（2A）的值考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数菁优网版权所有专题：三角函数的求值分析：（）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：（）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入ac=b，得：ac=c，即a=2c，cosA=；（）cosA=，A为三角形内角，sinA=，cos2A=2cos2A1=，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A）=cos2Acos+sin2Asin=+=点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17（13分）（2014天津）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明EF平面PAB；（）若二面角PADB为60，（i）证明平面PBC平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：空间角；空间向量及应用；立体几何分析：（）要证明EF平面PAB，可以先证明平面EFH平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（）（i）要证明平面PBC平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系BDAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值解答：解：（）证明：连结AC，ACBD=H，底面ABCD是平行四边形，H为BD中点，E是棱AD的中点在ABD中，EHAB，又AB平面PAB，EH平面PAD，EH平面PAB同理可证，FH平面PAB又EHFH=H，平面EFH平面PAB，EF平面EFH，EF平面PAB；（）（i）如图，连结PE，BEBA=BD=，AD=2，PA=PD=，BE=1，PE=2又E为AD的中点，BEAD，PEAD，PEB即为二面角PADB的平面角，即PEB=60，PB=PBD中，BD2+PB2=PD2，PBBD，同理PBBA，PB平面ABD，PB平面PBC，平面PAB平面ABCD；（ii）由（i）知，PBBD，PBBA，BA=BD=，AD=2，BDBA，BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系BDAP，则有A（0，0），B（0，0，0），C（，0），D（，0，0），P（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），E，F分别是棱AD，PC的中点，E（，0），F（，），=（0，），=，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理18（13分）（2014天津）设椭圆+=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|（）求椭圆的离心率；（）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e（）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1PF1，进而知两直线斜率相乘得1，进而求得sin和cos，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得解答：解：（）依题意可知=2c，b2=a2c2，a2+b2=2a2c2=3c2，a2=2c2，e=（）由（）知a2=2c2，b2=a2c2=c2，椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（c，0）设P点坐标（csin，ccos），以线段PB为直径的圆的圆心为O，PB为直径，BF1PF1，kBF1kPF1=1，求得sin=或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cos=，P坐标为（c，c），圆心O的坐标为（c，c），r=|OB|=c，|OF2|=c，r2+|MF2|2=|OF2|2，+8=c2，c2=3，a2=6，b2=3，椭圆的方程为+=1点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系第（1）相对简单，主要是求得a和c的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键19（14分）（2014天津）已知函数f（x）=x2ax3（a0），xR（）求f（x）的单调区间和极值；（）若对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，求a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：导数的综合应用分析：（）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，分类讨论，即可求a的取值范围解答：解：（）f（x）=2x2ax2=2x（1ax），令f（x）=0，解得x=0或x=当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（，0）0（0，）（，+）f（x）0+0f（x）递减0递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（）由f（0）=f（）=0及（）知，当x（0，）时，f（x）0；当x（，+）时，f（x）0设集合A=f（x）|x（2，+），集合B=|x（1，+），f（x）0，则对于任意的x1（2，+），都存在x2（1，+），使得f（x1）f（x2）=1，等价于AB，显然A下面分三种情况讨论：当2，即0a时，由f（）=0可知，0A，而0B，A不是B的子集；当12，即时，f（2）0，且f（x）在（2，+）上单调递减，故A=（，f（2），A（，0）；由f（1）0，有f（x）在（1，+）上的取值范围包含（，0），即（，0）B，AB；当1，即a时，有f（1）0，且f（x）在（1，+）上单调递减，故B=（，0），A=（，f（2），A不是B的子集综上，a的取值范围是点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论20（14分）（2014天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M=0，1，2，q1，集合A=x|x=x1+x2q+xnqn1，xiM，i=1，2，n（）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（）设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，n证明：若anbn，则st考点：数列与不等式的综合；数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法分析：（）当q=2，n=3时，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3即可得到集合A（）由于ai，biM，i=1，2，nanbn，可得anbn1由题意可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出解答：（）解：当q=2，n=3时，M=0，1，A=x|，xiM，i=1，2，3可得A=0，1，2，3，4，5，6，7（）证明：由设s，tA，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，biM，i=1，2，nanbn，anbn1可得st=（a1b1）+（a2b2）q+1+q+qn2+qn1=0st点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题16