2023年人教版高中数学第十章概率知识点梳理.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第十章概率知识点梳理年人教版高中数学第十章概率知识点梳理 单选题 1、甲乙丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别15,13,14,则此密码能被译出的概率是 A160B25C35D5960 答案：C 解析：先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.用事件A,B,C分别表示甲乙丙三人能破译出密码,则()=15,()=13,()=14,且()=()()()=452334=25.此密码能被译出的概率为1 25=35.故选：C 小提示：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.2、把分别写有 1，2，3，4 的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么 2，3 连号的概率为（）A23B13C35D14 答案：B 解析：根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.分三类情况，第一类 1，2 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4)，(12,4,3)，(3,12,4)，(4,12,3)，(3,4,12)，(4,3,12)，有 6 种分法；第二类 2，3 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4)，(4,23,1)，(23,1,4)，(23,4,1)，(1,4,23)，(4,1,23)，有 6 种分法；第三类 3，4 连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34)，(2,1,34)，(34,1,2)，(34,2,1)，(1,34,2)，(2,34,1)，有 6 种分法；共有 18 种分法，则 2，3 连号的概率为=618=13.故选：B.小提示：本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.3、北京 2022 年冬奥会新增了女子单人雪车短道速滑混合团体接力跳台滑雪混合团体男子自由式滑雪大跳台女子自由式滑雪大跳台自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲乙两人的选择互不影响，那么甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（）A249B649C17D27 答案：C 分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7 7=49种情况，其中甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.4、下列命题中正确的是（）A事件发生的概率()等于事件发生的频率()B一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，说明这个骰子掷 6 次一定会出现一次 3 点 C掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则()=2()D对于两个事件、，若()=()+()，则事件与事件互斥 答案：C 解析：根据频率与概率的关系判断即可得 A 选项错误；根据概率的意义即可判断 B 选项错误；根据古典概型公式计算即可得 C 选项正确；举例说明即可得 D 选项错误.解：对于 A 选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故 A 选项错误；对于 B 选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷 6 次出现 3 点的次数也不确定，故 B 选项错误；对于 C 选项，根据概率的计算公式得()=1212 2=12，()=1212=14，故()=2()，故 C 选项正确；对于 D 选项，设 3,3，A 事件表示从3,3中任取一个数，使得 1,3的事件，则()=13，B 事件表示从3,3中任取一个数，使得 2,1的事件，则()=12，显然()=56=13+12=()+()，此时 A 事件与 B 事件不互斥，故 D 选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于 D 选项的判断，适当的举反例求解即可.5、某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科 研究生 合计 35 岁以下 40 30 70 35-50 岁 27 13 40 50 岁以上 8 2 10 现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是（）A该教职工具有本科学历的概率低于 60 B该教职工具有研究生学历的概率超过 50 C该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10 D该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10 答案：D 分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率=75120=58=62.5%60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率=45120=38=37.5%50%，故错误；C.该教职工的年龄在 50 岁以上的概率=10120=112 8.3%10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.6、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 600 200 200 如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）A0.1B0.2C0.5D0.6 答案：D 分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为=6001000=0.6 故选：D 小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.7、从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A至少有一个黑球与都是黑球 B至少有一个黑球与至少有一个红球 C恰有一个黑球与恰有两个黑球 D至少有一个黑球与都是红球 答案：C 分析：根据互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.对于 A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，A 不正确；对于 B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B 不正确；对于 C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，C 正确；对于 D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，D 不正确.故选：C 8、10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A35B23C34D415 答案：B 分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有 9 张奖券，其中 3 张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率=69=23.故选：B.9、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则=（）A320B110C115D15 答案：B 分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则 (1 14)+14(1 )+14(1 )=15，整理得+=45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1 )(1 )(1 14)=310，整理得+=35，联立+=45与+=35，解得=110，所以=110.故选：B 10、先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4 能够构成等腰三角形的概率是()A16B12C1336D718 答案：D 分析：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4 能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.由乘法原理可知，基本事件的总数是 36，结合已知条件可知，当=1时，=4符合要求，有 1 种情况；当=2时，=4符合要求，有 1 种情况；当=3时，=3,4符合要求，有 2 种情况；当=4时，=1,2,3,4,5,6符合要求，有 6 种情况；当=5时，=4,5符合要求，有 2 种情况；当=6时，=4,6符合要求，有 2 种情况，所以能构成等腰三角形的共有 14 种情况，故a，b，4 能够构成等腰三角形的概率=1436=718.故选：D.11、素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对(，+2).其中当=1时，称(，+2)为“孪生素数”，=2时，称(，+4)为“表兄弟素数”.在不超过30的素数中，任选两个不同的素数()D()+()()答案：D 解析：根据素数的定义，一一列举出不超过30的所有素数，共 10 个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数、()，有102=45(种)选法，从而可列举出事件、的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出(),()和()，从而可得出结果.解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个，随机选取两个不同的素数、()，有102=45(种)选法，事件发生的样本点为(3，5)、(5，7)、(11，13)、(17，19)共 4 个，事件发生的样本点为(3，7)、(7，11)、(13，17)、(19，23)共 4 个，事件发生的样本点为(2，3)、(2，5)、(3，5)、(3，7)、(5，7)、(7，11)、(11，13)、(13，17)、(17，19)、(19，23)，共10个，()=()=445，()=1045=29，故()+()().故选：D.小提示：关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.12、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了 5 盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天 24：00 以后随机关闭其中 3 盏灯，则 2 盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.8 答案：C 分析：把问题转化为亮的 2 盏插空到不亮的 3 盏之间，计算出 2 盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5 盏路灯关闭其中 3 盏灯，则 2 盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的 2 盏插空到不亮的 3 盏之间，那么亮的 2 盏不相邻的情况共有42=6种，相邻的情况共有 4 种，因此 2 盏亮着的路灯不相邻的概率为610=0.6，故选：C.双空题 13、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.3，甲获胜的概率是 0.2，则乙获胜的概率为_；乙不输的概率为_ 答案：0.5 0.8 分析：甲获胜，乙获胜，两人和棋是三个互斥事件，它们的和是一个必然事件 由于一局棋要么甲获胜，要么乙获胜，要么两人和棋，因此乙获胜的概率为1 0.3 0.2=0.5，乙不输的概率为0.5+0.3=0.8（或1 0.2）故答案为 0.5；0.8 小提示：本题考查互斥事件的概率，属于基础题 14、下列事件中：若xR，则x20；没有水分，种子不会发芽；刘翔在 2008 年奥运会上，力挫群雄，荣获男子 110 米栏冠军；若两平面 ，m 且n，则mn.其中_是必然事件，_是随机事件.答案：解析：由随机事件、必然事件、不可能事件的定义逐一判断即可得解.解：根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义可得：若xR，则x20，是不可能事件；没有水分，种子不会发芽，是必然事件；刘翔在 2008 年奥运会上，力挫群雄，荣获男子 110 米栏冠军，是不可能事件；若两平面 ，m 且n，则mn，是随机事件，也有可能m、n是异面直线，即是必然事件，是随机事件.所以答案是：；.小提示：本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，属基础题.15、容量为 200 的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在6,10)内的频数为_，数据落在6,10)内的概率约为_.答案：64.0.32.解析：（1）根据矩形面积表示频率，再根据公式频数样本容量=频率，计算频数；（2）转化为求数据落在6,10)内的频率.由题图易知组距为 4，故样本数据落在6,10)内的频率为0.08 4=0.32，频数为0.32 200=64，故数据落在6,10)内的概率约为 0.32.所以答案是：64；0.32 小提示：本题考查频率分布直方图的简单应用，理解频率和概率，属于基础题型.16、掷一颗骰子，求出现下列事件的概率：（1）事件“出现 1 点”，()=_；（2）事件“出现偶数点”，()=_ 答案：16 12#0.5 分析：根据给定条件，求出掷一颗骰子的试验的基本事件总数，再利用古典概率分别计算事件A，B的概率作答.依题意，掷一颗骰子的试验的基本事件总数为 6，它们等可能，（1）事件含有的基本事件数为 1，则()=16；（2）事件含有的基本事件数为 3，则()=36=12.所以答案是：16；12 17、一个袋子中有形状和大小完全相同的 3 个白球与 2 个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分.甲从袋子中有放回地依次取出 3 个球，则甲三次都取到白球的概率为_，甲总得分是 7的概率为_.答案：27125 54125 解析：甲从袋中取出白球的概率为35，取出黑球的概率为25，由此可求出三次都取到白球的概率；甲总得分是 7的组合为取出 2 次白球 1 次黑球.甲从袋中取出白球的概率为35，取出黑球的概率为25，所以甲从袋子中有放回地依次取出 3 个球，三次都取到白球的概率为353535=27125.甲总得分是 7 的组合为取出 2 次白球 1 次黑球，概率为31353525=54125.所以答案是：27125；54125 解答题 18、改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：（）估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元结合（）的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 答案：（）400 人；（）125；（）见解析.分析：()由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；()利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于 2000 元的概率；()结合概率统计相关定义给出结论即可.（）由图表可知仅使用A的人数有 30 人，仅使用B的人数有 25 人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有 5 人，所以样本中两种支付方式都使用的有100 30 25 5=40，所以全校学生中两种支付方式都使用的有40100 1000=400（人）.（）因为样本中仅使用B的学生共有 25 人，只有 1 人支付金额大于 2000 元，所以该学生上个月支付金额大于 2000 元的概率为125.（）由（）知支付金额大于 2000 元的概率为125，因为从仅使用B的学生中随机调查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2000 元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于 2000元的人数有变化，且比上个月多.小提示：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19、从编号为A、B、C、D的 4 名男生和编号为m、n的 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛(1)把选中 3 人的所有可能情况一一列举出来；(2)求所选 3 人中恰有一名女生的概率；(3)求所选 3 人中至少有一名女生的概率 答案：(1)答案见解析(2)35(3)45 分析：（1）列举法写出基本事件；（2）结合古典概型概率公式即可求出结果；（3）结合古典概型概率公式即可求出结果.（1）设 4 名男生分别为A，B，C，D，两名女生分别为m，n，则从 6 名学生中任 3 人的所有情况有：，共 20 种，（2）由（1）可知共有 20 种情况，其中所选 3 人中恰有一名女生的有 12 种，所以所求概率为1220=35，（3）由（1）可知共有 20 种情况，所选 3 人中至少有一名女生的有 16 种，所以所求概率为1620=45 20、1.第 32 届夏季奥林匹克运动会于 2021 年 7 月 23 日至 8 月 8 日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢 2 个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球(1)求该局打 4 个球甲赢的概率；(2)求该局打 5 个球结束的概率 答案：(1)112(2)19216 分析：（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这 4 个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打 4 个球甲赢为事件C，由题知，()=23，()=14，=，()=()=()()()()=23342314=112，该局打 4 个球甲赢的概率为112（2）设该局打 5 个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打 5 个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，=，=，=，()=()=()()()()()=(1 23)14(1 23)1423=1216，()=()=()()()()()=23(1 14)23(1 14)(1 23)=112，()=()=()+()=1216+112=19216，该局打 5 个球结束的概率为19216