2023年人教版高中数学第十章概率易错知识点总结.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第十章概率易错知识点总结年人教版高中数学第十章概率易错知识点总结 单选题 1、如图所示，1，2，3 表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是 0.9，那么此系统的可靠性是（）A0.999B0.981C0.980D0.729 答案：B 解析：求出开关 1、2 均正常工作的概率及开关 3 正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.由题意，开关 1、2 在某段时间内均正常工作的概率1=0.9 0.9=0.81，开关 3 正常工作的概率2=0.9，故该系统正常工作的概率=1 (1 1)(1 2)=1 (1 0.81)(1 0.9)=0.981,所以该系统的可靠性为0.981.故选：B.2、齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为（）A13B14 C15D16 答案：D 分析：将齐王与田忌的上、中、下等马编号，列出双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛的基本事件即可利用古典概率计算作答.齐王的上等马、中等马、下等马分别记为A，B，C，田忌的上等马、中等马、下等马分别记为a，b，c，双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，依题意，共赛 3 场，所有基本事件为：(,),(,),(,),(,),(,),(,)，共 6 个基本事件，它们等可能，田忌获胜包含的基本事件为：(,)，仅只 1 个，所以田忌获胜的概率=16.故选：D 3、若随机事件A，B互斥，且()=2 ，()=3 4，则实数a的取值范围为（）A(43,32B(1,32C(43,32)D(12,43)答案：A 分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知0 ()10 ()1()+()1，即0 2 10 3 4 12 2 1，解得43 60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率=45120=38=37.5%50%，故错误；C.该教职工的年龄在 50 岁以上的概率=10120=112 8.3%10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.5、2020 年 1 月，教育部出台关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见（简称“强基计划”），明确从 2020 年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A2180B2780C3380D2740 答案：C 分析：根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,，显然,为相互独立事件，则“三人中恰有两人通过”相当于事件+，且,互斥，所求概率(+)=()+()+()=()()()+()()()+()()()=153434+451434+453414=3380.故选：C.6、生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A23B35 C25D15 答案：B 分析：本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解 设其中做过测试的 3 只兔子为,，剩余的 2 只为,，则从这 5 只中任取 3 只的所有取法有,，,共 10 种其中恰有 2 只做过测试的取法有,共 6 种，所以恰有 2 只做过测试的概率为610=35，选 B 小提示：本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错 7、若随机事件，互斥，发生的概率均不等于 0，且()=2 ，()=4 5，则实数的取值范围是 A(1,2)B(54,32)C(54,43)D(54,43 答案：D 分析：由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于 0，知0 ()10 ()1()+()1，由此能求出实数的取值范围 随机事件、互斥，、发生的概率均不等于 0，且()=2 ，()=4 5，0 ()10 ()1()+()1，即0 2 10 4 5 13 3 1，解得54 43，即 (54,43 故选：D 小提示：本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题解题时要认真审题，仔细解答 8、已知 100 件产品中有 5 件次品，从这 100 件产品中任意取出 3 件，设表示事件“3 件产品 全不是次品”，表示事件“3 件产品全是次品”，表示事件“3 件产品中至少有 1 件是 次品”，则下列结论正确的是（）A与互斥 B与互斥但不对立 C,任意两个事件均互斥 D与对立 答案：D 分析：列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.设 1 表示取到正品,0 表示取到次品，所有事件=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0).则=(1,1,1),=(0,0,0),=(1,1,0),(1,0,0),(0,0,0)=,故与不互斥，故 A,C 错 =,=,故与互斥且对立,故 B 错，D 正确 故选：D 9、抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（）A至多一枚硬币正面朝上 B只有一枚硬币正面朝上 C两枚硬币反面朝上 D两枚硬币正面朝上 答案：C 分析：由对立事件的概念直接判断即可.由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.故选：C.10、从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响）（）A1320B25C14D15 答案：B 解析：先写出事件“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”的对立事件，然后再根据相互独立事件同时发生的概率公式求出其概率，最后根据对立事件的概率公式即可算出 设事件 A：“从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格”，则其对立事件 B：“从中任挑一儿童，这两项都不合格”，由题可知，儿童体型不合格的概率为45，身体关节构造不合格的概率为34，所以()=4534=35，故()=1()=1 35=25 故选：B 小提示：本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于基础题 11、已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义()=0,1,，给出下列结论：()=1,()=0；对任意事件A，0 ()1；如果 =，那么()=()+()；()+()=1.其中，正确结论的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 答案：D 分析：根据()的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.任意 恒成立，任意 恒不成立，()=1,()=0，故正确；对任意事件A，()=0,1,，()0,1，0 ()1成立，故正确；如果 =，当 时，()=1，此时 或 .若 ，则 ,()=1,()=0，()+()=1，()=()+()成立；时，()=0,()=1，()+()=1，()=()+()成立；当 时，()=0,()=0,()=0，那么()=()+()成立，正确；当 时，,此时()=1,()=0,()+()=1成立；当 时，,此时()=0,()=1,()+()=1成立，故正确.综上，正确的结论有 4 个，故选：D 12、若随机事件,满足()=16，()=23，()=14，则事件与的关系是（）A互斥 B相互独立 C互为对立 D互斥且独立 答案：B 分析：利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可 解：因为()=23，()=14，又因为()=16 0，所以有()=()()，所以事件与相互独立，不互斥也不对立 故选：B.双空题 13、假设()=0.7，()=0.8，且，相互独立，则()=_；()=_.答案：0.56 0.94 分析：（1）由与相互独立知()=()()，代入求解即可，（2）()=()+()()，代入求解即可 解：（1）()=0.7，()=0.8，且与相互独立，()=()()=0.7 0.8=0.56；（2）()=()+()()=0.7+0.8 0.56=0.94，所以答案是：0.56；0.94 14、在一次掷硬币试验中，掷 100 次，其中有 48 次正面向上，设“反面向上”为事件A，则事件A出现的频数为_，事件A出现的频率为_.答案：52 1325 分析：直接利用频数和频率的公式求解即可.由题得事件A出现的频数为100 48=52；事件A出现的频率为52100=2650=1325.所以答案是：52；1325.15、在抛掷一枚硬币两次的试验中，事件：两次中恰有一次正面朝上的概率为_；同时抛掷两枚相同的硬币，事件：两枚中恰有一枚正面朝上的概率为_ 答案：12#0.5 12#0.5 分析：由列举法列出全部基本事件，根据古典概型的计算公式即可求解.抛一枚硬币两次，基本事件全集为(正，正），（正，反），（反，正），（反，反）若其中（正，反）表示第一次正，第二次反，其余同理，则事件=（正，反），（反，正）若其中（正，反）表示第一枚正，第二枚反，其余同理，则事件=（正，反），（反，正），则()=12；()=12 所以答案是：12，12 16、抽取某种产品,抽查检验记录为一级品15件,二级品20件,三级品5件,则抽取的产品中三级品的频数为_,频率为_.答案：5 18 解析：因为抽查检验记录为一级品15件,二级品20件,三级品5件,则三级品有5件,故频数为5,根据频率计算公式,即可求得答案.抽查检验记录为一级品15件,二级品20件,三级品5件 则三级品有5件,故频数为5,频率为540=18.故答案为:5,18.小提示：本题考查了求事件发生的频率,解题关键是掌握频率的计算公式,考查了分析能力,属于基础题.17、5 张彩票中仅有 1 张中奖彩票，5 个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为_，第三个人摸到中奖彩票的概率为_.答案：15 15 分析：第二个人摸到中奖彩票，指第一个人没有摸到，第二个人摸到，根据事件写出概率，第三个人摸到中奖彩票，指前两个人没有摸到，第三个人摸到，写出概率.记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai，第二个人摸到中奖彩票，指第一个人没有摸到，第二个人摸到，根据事件写出概率，第三个人摸到中奖彩票，指前两个人没有摸到，第三个人摸到，显然P(A1)=15，而(2)=4514=15,(3)=453413=15.所以答案是：15；15 解答题 18、健身馆某项目收费标准为每次 60 元，现推出会员优惠活动：具体收费标准如下：消费次数 第 1 次 第 2 次 第 3 次 不 少 于 4次 收费比例 0.95 0.90 0.85 0.80 现随机抽取了 100 位会员统计它们的消费次数，得到数据如下：消费次数 1 次 2 次 3 次 不 少 于 4次 频数 60 25 10 5 假设该项目的成本为每次 30 元，根据给出的数据回答下列问题：（1）估计 1 位会员至少消费两次的概率（2）某会员消费 4 次，求这 4 次消费获得的平均利润；答案：（1）25；（2）22.5.分析：(1)根据消费次数表,利用频率估计概率;(2)分别求出 4 次消费的利润,再求其平均值即可.(1)根据消费次数表,估计 1 位会员至少消费两次的概率=25+10+5100=25;(2)第 1 次消费利润60 0.95 30=27;第 2 次消费利润60 0.90 30=24;第 3 次消费利润60 0.85 30=21;第 4 次消费利润60 0.80 30=18;这 4 次消费获得的平均利润:27+24+21+184=22.5.小提示：本题考查利用频率估计概率,考查平均值的计算,属于简单题.19、冰壶是 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在中国举行的第 24 届冬季奥运会的比赛项目之一冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得 3 分，冰壶的重心落在圆环A中，得 2 分，冰壶的重心落在圆环B中，得 1 分，其余情况均得 0 分已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得 3 分的概率分别为13，14；甲、乙得 2 分的概率分别为25，12；甲、乙得 1 分的概率分别为15，16 (1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望 答案：(1)2990(2)分布列见解析；期望为4712 分析：（1）求出甲乙二人都得 0 分的概率，然后由两人同时得 0 分、1 分、2 分、3 分计算概率并相加即可；（2）由题意X可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望（1）由题意知甲得 0 分的概率为1 132515=115，乙得 0 分的概率为1 141216=112，所以甲、乙两人所得分数相同的概率为1314+2512+1516+115112=2990（2）X可能取值为 0，1，2，3，4，5，6，则(=0)=115112=1180，(=1)=11516+15112=136，(=2)=11512+1516+25112=110，(=3)=11514+1512+2516+13112=1990，(=4)=1514+2512+1316=1136，(=5)=2514+1312=415，(=6)=1314=112，所以，随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6 P 1180 136 110 1990 1136 415 112 所以()=0 1180+1 136+2 110+3 1990+4 1136+5 415+6 112=4712 20、垃圾分类（Garbage classification），一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称垃圾分类具有社会、经济、生态等多方面的效益小明和小亮组成“明亮队”参加垃圾分类有奖答题活动，每轮活动由小明和小亮各答一个题，已知小明每轮答对的概率为p，小亮每轮答对的概率为23,且在每轮答题中小明和小亮答对与否互不影响，各轮结果也互不影响已知一轮活动中，“明亮队”至少答对 1 道题概率为1112(1)求p的值；(2)求“明亮队”在两轮活动中答对 3 道题的概率 答案：(1)=34(2)512 分析：（1）设=“一轮活动中，“明亮队”至少答对的 1 道题”，利用对立事件两人都没有答对可求解.（2）设=“两轮活动中小明答对了 1 道题”，=“两轮活动中小亮答对了 1 道题”，=0，1，2，分别求出其概率，设=“明亮队”在两轮活动中答对 3 道题”，则=12+21从而可得答案.(1)设=“一轮活动中小明答对一题”，=“一轮活动中小亮答对一题”，则()=，()=23.设=“一轮活动中，“明亮队”至少答对的 1 道题”，则=，由于每轮答题中小明和小亮答对与否不影响，所以A与B相互独立，从而与相互独立，所以()=()=()()=(1 )13=1 ()=112，所以=34(2)设=“两轮活动中小明答对了 1 道题”，=“两轮活动中小亮答对了 1 道题”，=0，1，2.由题意得，(1)=1434+3414=38，(2)=3434=916(1)=2313+1323=49，(2)=2323=49 设=“明亮队”在两轮活动中答对 3 道题”，则=12+21.由于和相互独立，则12与21互斥，所以()=(12)+(21)=(1)(2)+(2)(1)=3849+91649=512.所以，“明亮队”在两轮活动中答对 3 道题的概率为512.