2023年人教版高中数学第十章概率解题技巧总结.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第十章概率解题技巧总结年人教版高中数学第十章概率解题技巧总结 单选题 1、下列命题中正确的是（）A事件发生的概率()等于事件发生的频率()B一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，说明这个骰子掷 6 次一定会出现一次 3 点 C掷两枚质地均匀的硬币，事件为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件为“两枚都是正面朝上”，则()=2()D对于两个事件、，若()=()+()，则事件与事件互斥 答案：C 解析：根据频率与概率的关系判断即可得 A 选项错误；根据概率的意义即可判断 B 选项错误；根据古典概型公式计算即可得 C 选项正确；举例说明即可得 D 选项错误.解：对于 A 选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故 A 选项错误；对于 B 选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到 3 点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷 6 次出现 3 点的次数也不确定，故 B 选项错误；对于 C 选项，根据概率的计算公式得()=1212 2=12，()=1212=14，故()=2()，故 C 选项正确；对于 D 选项，设 3,3，A 事件表示从3,3中任取一个数，使得 1,3的事件，则()=13，B 事件表示从3,3中任取一个数，使得 2,1的事件，则()=12，显然()=56=13+12=()+()，此时 A 事件与 B 事件不互斥，故 D 选项错误.小提示：本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于 D 选项的判断，适当的举反例求解即可.2、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数和为 6 的概率为（）A19B536C16D736 答案：B 分析：分别求得基本事件的总数和点数和为6的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值 解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2 次，可得基本事件的总数为6 6=36种，而点数和为6的事件为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共 5 种，则点数和为6的概率为=536 故选：B 3、某居民小区内一条街道的一侧并排安装了 5 盏路灯，在满足晚上不同时间段照明的前提下，为了节约用电，小区物业通过征求居民意见，决定每天 24：00 以后随机关闭其中 3 盏灯，则 2 盏亮着的路灯不相邻的概率为（）A0.3B0.5C0.6D0.8 答案：C 分析：把问题转化为亮的 2 盏插空到不亮的 3 盏之间，计算出 2 盏亮的灯相邻和不相邻的所有可能数，再根据古典概型的概率公式计算即可.5 盏路灯关闭其中 3 盏灯，则 2 盏亮着的路灯不相邻，相当于把亮的 2 盏插空到不亮的 3 盏之间，那么亮的 2 盏不相邻的情况共有42=6种，相邻的情况共有 4 种，因此 2 盏亮着的路灯不相邻的概率为610=0.6，故选：C.4、10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（）A35B23C34D415 答案：B 分析：根据题意，分析甲先抽，并且中奖后剩余的奖券和“中奖”奖券的数目，由古典摡型的概率计算公式，即可求解.根据题意，10 张奖券中有 4 张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有 9 张奖券，其中 3 张为“中奖”奖券，则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率=69=23.故选：B.5、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 600 200 200 如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）A0.1B0.2C0.5D0.6 答案：D 分析：由表中数据，用频率估计概率求解.由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为=6001000=0.6 故选：D 小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.6、如图，开关1，2被称为双联开关，1可以与a，b点相连，概率分别为12，2可以与c，d点相连，概率分别为12，普通开关3要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为12若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯1不亮的概率是（）A18B14C34D78 答案：C 分析：利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.先考虑对立事件“电灯L1亮”：首先需要“K3与e点相连”，同时满足“K1与点相连且K2与c点相连”或“K1与b点相连且K2与d点相连”，因此电灯L1亮的概率=12(1212+1212)=14，故电灯L1不亮的概率为34.故选：C 7、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则=（）A320B110C115D15 答案：B 分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于，的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则 (1 14)+14(1 )+14(1 )=15，整理得+=45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1 )(1 )(1 14)=310，整理得+=35，联立+=45与+=35，解得=110，所以=110.故选：B 8、下列事件：（1）在标准大气压下，水加热到 100沸腾；（2）平面三角形的内角和是 180；（3）骑车到十字路口遇到红灯；（4）某人购买福利彩票 5 注，均未中奖；（5）没有水分，种子发芽了其中随机事件的个数是（）A1B2C3D4 答案：B 分析：根据随机事件的定义进行判断即可.事件（1）是基本事实，因此是确定事件；事件（2）是基本事实，因此它是确定事件；事件（3、（4）是随机出现，是随机事件；事件（5）是不可能事件，故选：B 9、先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4 能够构成等腰三角形的概率是()A16B12C1336D718 答案：D 分析：利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4 能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.由乘法原理可知，基本事件的总数是 36，结合已知条件可知，当=1时，=4符合要求，有 1 种情况；当=2时，=4符合要求，有 1 种情况；当=3时，=3,4符合要求，有 2 种情况；当=4时，=1,2,3,4,5,6符合要求，有 6 种情况；当=5时，=4,5符合要求，有 2 种情况；当=6时，=4,6符合要求，有 2 种情况，所以能构成等腰三角形的共有 14 种情况，故a，b，4 能够构成等腰三角形的概率=1436=718.故选：D.10、种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为（）A B+C+D+2 答案：D 分析：根据题意，结合独立事件和互斥事件概率计算公式，即可求解.由题意，两株不同的花卉的成活率分别为和，则恰有一株成活的概率为=(1 )+(1 )=+2.故选：D.11、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6，0.7，若两人各投 2 次，则两人投中次数不等的概率是（）A0.6076B0.7516C0.3924D0.2484 答案：A 分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P0.42 0.32+21 0.6 0.4 21 0.7 0.3+0.62 0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：10.39240.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.12、造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生 400 名，随机抽查 100 名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有 73 人，据此估计该校三年级的 400 名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（）.A69 人 B84 人 C108 人 D115 人 答案：C 分析：先求得100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.在这 100 名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有100 73=27人，设该校三年级的 400 名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则10027=400，解得=108人.故选：C.小提示：本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.双空题 13、一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车 轿车 轿车 舒适型 100 150 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆，其中有A类轿车 10 辆则=_；若用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取 8 辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这 8 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为_ 答案：400 34#0.75 分析：由分层抽样按比例可得；求出，把这 8 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，记这 8辆轿车的得分的平均数为，定义事件=|0.5，确定事件所含的个数后可得概率 由题意10400=50400+600+600+，解得=400；由题意=9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.28=9，把这 8 辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个得分数，记这 8 辆轿车的得分的平均数为，定义事件=|0.5，满足|0.5的有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共 6 个，所求概率为=68=34 所以答案是：400；34.14、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 0.3，甲获胜的概率是 0.2，则乙获胜的概率为_；乙不输的概率为_ 答案：0.5 0.8 分析：甲获胜，乙获胜，两人和棋是三个互斥事件，它们的和是一个必然事件 由于一局棋要么甲获胜，要么乙获胜，要么两人和棋，因此乙获胜的概率为1 0.3 0.2=0.5，乙不输的概率为0.5+0.3=0.8（或1 0.2）故答案为 0.5；0.8 小提示：本题考查互斥事件的概率，属于基础题 15、事件A,B互斥,它们都不发生的概率为25,且()=2(),则()=_,()=_.答案：35 45 解析：根据互斥事件的概率公式求解即可.由题得()+()=1 25=35,因为()=2(),所以()=25,()=15,所以()=1 ()=35,()=1 ()=45.所以答案是：(1).35 (2).45 小提示：本题主要考查了互斥事件的公式计算,属于基础题型.16、某射击运动员平时 100 次训练成绩的统计结果如下：命中环数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 4 5 6 9 10 18 26 12 8 如果这名运动员只射击一次，估计射击成绩是 6 环的概率为_；不少于 9 环的概率为_.答案：110 15 分析：由表中的数据，求对应的比值可得答案.由题意得：这名运动员只射击一次，估计射击成绩是 6 环的概率为10100=110，不少于 9 环的概率为12+8100=15，所以答案是：110；15.小提示：本题考查利用频率估计概率，属于基础题.17、袋中有 5 只球，其中有 3 只红球，编号为 1，2，3，有 2 只黄球，编号为 4，5.现从中任意取一只球，试验A：观察颜色；试验B：观察号码.试验A的样本空间为_.试验B的样本空间为_.答案：红，黄 1,2,3,4,5 分析：由样本空间的定义即可求解.解：由题意，试验A的样本空间为红，黄；试验B的样本空间为1,2,3,4,5.所以答案是：红，黄；1,2,3,4,5.解答题 18、甲乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚 3 球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为23，且各次罚球互不影响.(1)求双方各罚 1 球后比赛结束的概率；(2)求甲队获胜的概率.答案：(1)49(2)302729 分析：（1）双方各罚 1 球后比赛结束分为两种情况，甲罚进，乙罚丢，或者乙罚进，甲罚丢，结合事件的概率可得结果；（2）把甲队获胜的事件表示为三个互斥事件的和，结合基本事件的概率可求结果.(1)设事件=“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；事件=“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.设事件C=“双方各罚 1 球后比赛结束”，则()=(11)+(11)=(1)(1)+(1)(1)=23(1 23)2=49.(2)设事件E=“甲队获胜”，则()=(11)+1 ()(22)+1 ()2(33)=2313+592313+(59)22313=302729.19、A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用A，另 2 只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用 B 有效的概率为12.（1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察 3 个试验组，求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率.答案：（1）49；（2）604729.分析：（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率（2）根据对立事件的概率公式计算可得；解：（1）设表示事件:一个试验组中，服用有效的小鼠有只，=0，1，2，表示事件“一个试验组中，服用有效的小鼠有只“，=0，1，2，依题意有：(1)=2 1323=49，(2)=2323=49(0)=1212=14，(1)=2 1212=12，所求概率为：=(0 1)+(0 2)+(1 2)=1449+1449+1249=49（2）依题意这 3 个试验组中至少有一个甲类组的对立事件为这 3 个试验组中没有一个甲类组的.所以概率=1 (1 49)3=604729；小提示：本题考查相互独立事件的概率公式的应用，以及对立事件的概率计算，属于中档题.20、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为40,50),50,60),80,90),90,100 （1）求频率分布直方图中的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率；（3）从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40,50)的概率.答案：（1）0.006；（2）0.4；（3）110.分析：（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为1，可求；（2）在频率分布直方图中先求出 50 名受访职工评分不低于 80 的频率为0.4，由频率与概率关系可得该部门评分不低于 80 的概率的估计值为0.4；（3）受访职工评分在50，60)的有 3 人，记为1,2,3，受访职工评分在40，50)的有 2 人，记为1,2，列出从这 5 人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.（1）因为(0.004+0.018+0.022 2+0.028)10=1，所以=0.006（2）由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018)10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在50，60)的有：500.00610=3(人)，即为1,2,3；受访职工评分在40，50)的有：500.00410=2(人)，即为1,2.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是 1,2,1,3,1,1,1,2 2,3,2,1,2,2,3,1,3,2,1,2 又因为所抽取 2 人的评分都在40，50)的结果有 1 种，即1,2，故所求的概率为=110 小提示：本题考查频率分布直方图概率与频率关系古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重漏的情况.