辽宁省2020-2022学年高三上学期第一次模拟考试数学试题含解析.doc

试卷主标题姓名：_ 班级：_考号：_一、选择题（共12题）1、 命题 “ ， ” 的否定是（ ） A ， B ， C ， D ， 2、 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 3、 若 ， ， ， ，则下列不等式恒成立的是（ ） A B C D 4、 下列不等式中一定成立的是（ ） A B C D 5、 已知 ， ，且 ，则当 取得最小值时， （ ） A 16 B 6 C 18 D 12 6、 若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 7、 已知函数 ， ，则 的图象 不可能 是（ ） A B C D 8、 定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则必有（ ） A B C D 9、 设函数 ，则下列说法正确的有（ ） A 当 ， 时， 为奇函数 B 当 ， 时， 的一个对称中心为 C 若关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为 D 当 ， 时， 在区间 上恰有 个零点 10、 给出下面四个推断，其中正确的为（ ） . A 若 ，则 B 若 ，则 ； C 若 ， ，则 D 若 ， ，则 11、 定义在 上的函数 满足 ， 且 在 上是增函数，给出下列真命题的有（ ） A 是周期函数； B 的图象关于直线 对称； C 在 上是减函数； D . 12、 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A 若 极大值为 0 ，则 B 当 时， 在 上单调递增 C 时， 恒成立 D 若 ，则 有两个零点 二、填空题（共4题）1、 所有满足 的集合 M 的个数为 _ ； 2、 设 ： ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 _. 3、 若 ， ，且 ， ，则 的值是 _. 4、 已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是 _ 三、解答题（共6题）1、 2019 年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 3000 万元，生产 （百辆），需另投入成本 万元，且 , 由市场调研知，每辆车售价为 6 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完 . （ 1 ）求出 2019 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式； （ 2 ） 2019 年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？ 2、 设 ，已知函数 . （ 1 ）当 时，求不等式 的解集； （ 2 ）设函数 ，若方程 在区间 上有实数根，求 的取值范围 . 3、 已知函数 在区间 上的最大值为 6. （ 1 ）求常数 的值以及当 时函数 的最小值 . （ 2 ）将函数 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位，得到函数 的图象 . （ i ）求函数 的解析式； （ ii ）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围 . 4、 已知函数 . （ 1 ）常数 ，若函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围； （ 2 ）若函数 在 上的最大值为 ，求实数 的值 . 5、 已知函数 （ 1 ）若函数 的图象在 处的切线过点 ，求实数 的值； （ 2 ） ， ， ，求实数 的取值范围 6、 设函数 ， （ 1 ）求函数 的单调区间； （ 2 ）若方程 有两个不相等的实数根 、 ，求证： =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 根据存在量词命题得否定为全称量词命题，即可得出答案 . 【详解】 解：因为存在量词命题得否定为全称量词命题， 所以命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ”. 故选： D. 2、 B 【分析】 解绝对值不等式求集合 A ，利用集合的交运算求 . 【详解】 由 ，又 ， . 故选： B 3、 D 【分析】 由不等式的性质可判定选项 ， ；取 即可判定选项 ；利用特值法即可判定选项 【详解】 解：对于 ，若 ，则 ，故 错误； 对于 ，取 ， ，则 ，故 错误 对于 ，若 时， ，故 错误； 对于 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故 正确； 故选： 4、 D 【分析】 由 得 的范围可判断 A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断 B ；作差比较 与 的大小可判断 C ；作差比较 与 的大小可判断 D. 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ，故 A 错误； 只有在 时才成立，故 B 错误； 因为 ，所以 ， 所以 ，故 C 错误； 因为 ，所以 ，故 D 正确 . 故选： D. 5、 B 【分析】 根据已知条件可得 ，将 展开利用基本不等式即可求解 . 【详解】 因为 ， ， 所以 所以 当且仅当 即 时取等号， 所以当 取得最小值时， 故选： B. 6、 B 【分析】 由题意可得： 在 上恒成立，令 ，则 ， 再用导数方法求出 的最小值即可求解 . 【详解】 由题意可得： 在 上恒成立， 令 ，则 ， 当 时 可得 ， 当 时 ，当 时， 因为 是偶函数，关于原点对称的区间单调性相反， 所以 在 和 单调递减，在 和 单调递增 所以 ，所以 ，可得 ， 又因为 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 ， 故选： B. 7、 D 【分析】 先分析出 为偶函数 . ，其图像关于 y 轴对称，即可得到答案 . 【详解】 定义域为 R. 因为 ，所以 为偶函数 . ，其图像关于 y 轴对称， 对照四个选项的图像，只能选 D. 故选 :D 8、 D 【分析】 构造函数 ， ，利用导数判断函数 在 上单调递减，根据单调性即可判断出选项 . 【详解】 由 ，得 . 设 ， ，则 ， 故 在 上单调递减， 则 ， 则 ， ， 但由于 ， ， ， 的正负不确定， 所以 ， 都未必成立 . 故选： D 9、 AD 【分析】 利用正弦函数的奇偶性判定 的奇偶性，进而判定 A ；逆用两角和差公式化为 “ 一角一函 ” 形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定 B; 化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定 C ；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定 D. 【详解】 当 ， 时， , , 所以 是奇函数，故 A 正确； 当 ， 时， ， ， 不是 的一个对称中心，故 B 错误； 当 ， ， 时， 为 ， 即 ， 则 或 ，即 或 ， , 正根从小到大排列为 , , , 故不是等差数列，故 C 错误； 当 ， 时， ， 令 ，解得 ， 当 时解在区间 上，故在区间 上恰有 个零点，故 D 正确 . 故答案为： AD. 10、 AD 【分析】 A. 利用基本不等式判断； B. 取特殊值 判断； C. 取特殊值 判断； D. 利用作差法比较判断 . 【详解】 A. 因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故正确； B. 当 时，满足 ，而 ，故错误； C. 当 时， ，故错误； D. 因为 ， ，则 ，所以 ，故正确； 故选： AD 11、 ACD 【分析】 用赋值法求得 ，然后令 得函数为奇函数，利用奇函数及 可得函数的周期，结合周期性，可得函数的对称性（对称轴与对称中心），可得单调性，从而判断各选项 【详解】 令 得 ，所以 ， 令 ，则 ，即 ，所以 是奇函数， ，所以 是周期函数， 4 是它的一个周期， A 正确； ，函数图象关于点 对称， B 错； ，函数图象关于直线 对称， 又 在 上递增，因此 在 上递增，所以 在 上是减函数， C 正确； ， D 正确 故选： ACD 12、 BC 【分析】 求出 ，分 、 可得 单调性和极值可判断 AB ；令 ，求导由 单调性可判断 C ；转化为直线 与 有两个交点，令 ，由导数判断 单调性、最值可得答案 . 【详解】 ， ， 当 时 ， 在 上是单调递增函数； 当 时，令 得 ， 单调递增； 得 ， 单调递减函数；所以 有极大值为 ， 若 极大值为 0 ，则 ，所以 ，故 A 错误； 当 时， 在 上单调递增， B 正确； 对于 C ， 时， ， 令 ， ，当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 在 有最大值为 ，所以 恒成立， 故 C 正确； 由 得 ， 若 ， 有两个零点即 直线 与 有两个交点， 令 ， ，令 ， ，所以 是 上的单调递减函数， 当 时， ，当 时， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， ， 当 时， ， 当 时， ， 所以当 时，直线 与 有两个交点，即 有两个零点有两个零点，故 D 错误 . 故选： BC. 二、填空题1、 7 【分析】 列举出满足条件的集合 ，即可得到答案 . 【详解】 满足 的集合 有 ，共 7 个 . 故答案为： 7 2、 【分析】 解对应的不等式，得到 ； ；根据 是 的必要而不充分条件，得到 是 的真子集，列出不等式求解，即可得出结果 【详解】 由 得 ，所以 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 是 的必要而不充分条件， 所以 是 的真子集； 因此 ，解得 故答案为： 【点睛】 本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型 3、 【分析】 依题意 , 可求得 ，进一步可知 ，于是可求得 与 的值，再利用两角和的余弦公式及角 的范围即可求得答案 . 【详解】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，即 所以 . 因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 . 所以 . 因为 ， ，所以 ， 所以 . 故答案为： . 4、 【分析】 先求解导数，把极值点问题转换为导数的实根问题，结合恒成立可求答案 . 【详解】 由题意， 定义域为 ， 有唯一的实数根 ， 即方程 有唯一的实数根 ， 所以 无变号零点，即 无变号零点 . 设 ，则 ， 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数； 所以 ； 所以 k 的取值范围为： 故答案为： 三、解答题1、 （ 1 ） ；（ 2 ）产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元 . 【分析】 （ 1 ）分 与 两种情况分别求出 的表达式后，将其写成分段函数的形式即可 （ 2 ）当 时，利用二次函数的性质求出 的最大值，当 时，利用对勾函数的性质求出 的最大值，再比较即可得到 的最大值和相应的 的取值 【详解】 （ 1 ）当 时， ， 当 时， . 综上所述， （ 2 ）当 时， ，所以当 时， 当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减；所以当 时， 所以当 ，即 年年产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元 . 2、 （ 1 ） ；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）根据对数函数的单调性求解； （ 2 ）用分离参数法转化为求函数值域 【详解】 （ 1 ）当 时，不等式 为 ，又 ， 所以 ，由 得 ，又 ，所以 ，不等式的解集为 （ 2 ）函数 ， 令 ，即 ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ，且 ， 所以 ， 设 ， ，则有 ， 因为 ，所以 ； 所以 ，且 ， 所以 的取值范围是 ， ， 3、 （ 1 ） ， ；（ 2 ）（ i ） ；（ ii ） . 【分析】 （ 1 ）利用二倍角公式和辅助角公式化简 ，根据 求出 的范围，结合正弦函数的性质即可求得 的值，即可求解； （ 2 ）（ i ）根据图象的平移变换即可得 的解析式；（ ii ）先由余弦函数的性质求出 ，令 ，则 对于 恒成立，分离 转化为最值问题即可求解 . 【详解】 （ 1 ） 因为 ，所以 ， 所以当 即 时， ， 解得： ，所以 当 即 时， . （ 2 ）（ i ） 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位得函数 ，即 （ ii ）因为 ，所以 ， 所以当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 设 ，则 ， 由题意可得： 对于 恒成立， 则 ， 因为 对称轴为 ，开口向上， 所以 在 上单调递增 . 所以 ，所以 ， 所以实数 的取值范围为 . 4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 . 【分析】 （ 1 ）首先利用三角恒等变换公式化简 ，即可得到 ，根据正弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再由函数在区间 的单调性，得到不等式组，解得即可； （ 2 ）依题意可得 ，令 ，则将函数化为 ，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出 的取值范围，最后根据二次函数的性质分类讨论计算可得； 【详解】 解：（ 1 ）因为 所以 即 则 由 ， 得 . 故函数 的单调递增区间为 . 因为函数 在区间 上是增函数， 所以 易得 即 则 解得 故 的取值范围为 . （ 2 ）由（ 1 ）可得 所以 设 则 ， 由 ，得 . 则 当 ，即 时，在 处， 解得 ( 舍去 ). 当 ，即 时，在 处， 解得 ( 舍去 ) 当 ，即 时，在 处， ， 解得 综上，实数 的值为 或 . 5、 （ 1 ） ；（ 2 ） 【分析】 （ 1 ）对函数 求导可得 ，再利用导数的几何意义求出切线方程，将点 代入即可求解 . （ 2 ）令函数 ，由函数单调性的定义可得 在 上递减，由导数可得 在 上恒成立，设 ，由导数求得函数 即可得解 . 【详解】 （ 1 ）由题意 ， 所以 ， ， 所以函数 的图象在 处的切线为 ， 即 ， 由切线过点 ， 则 ，解得 . （ 2 ）不妨设 ，若 ， 则 即 ， 令 ，则 在 递减， 即 在 上恒成立， 设 ，则 ， 再设 ，函数 单调递增， ， ， 在 上单调递减， ， 的取值范围是 . 6、 （ 1 ） 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；（ 2 ）证明见解析 . 【分析】 （ 1 ）求出导函数，讨论 的取值，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解 . （ 2 ）将实数根 、 代入两式相减可得 ，根据 ，得出只需证明 即可，进而证明 ，可设 ，构造函数 ，利用证明 即可 . 【详解】 （ 1 ）解： 当 时， ，函数 在 上单调递增， 函数 的单调增区间为 ； 当 时，由 ，得 ；由 ，得 所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 （ 2 ）证明：因为 、 是方程 的两个不等实根，由（ 1 ）知 不妨设 ，则 ， 两式相减得 ， 即 所以 因为 ， 当 时， ，当 时， ， 故要证 ，只需证 即可，即证明 ， 即证明 ， 即证明 设 令 ，则 因为 ，所以 ，所以 在 上是增函数 所以 ， 所以 成立