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试卷主标题
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 命题 “ ， ” 的否定是（ ）
A ． ， B ． ，
C ． ， D ． ，
2、 已知集合 ， ，则 （ ）．
A ． B ．
C ． D ．
3、 若 ， ， ， ，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
4、 下列不等式中一定成立的是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 已知 ， ，且 ，则当 取得最小值时， （ ）
A ． 16 B ． 6 C ． 18 D ． 12
6、 若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
7、 已知函数 ， ，则 的图象 不可能 是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
8、 定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则必有（ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 设函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A ．当 ， 时， 为奇函数
B ．当 ， 时， 的一个对称中心为
C ．若关于 的方程 的正实根从小到大依次构成一个等差数列，则这个等差数列的公差为
D ．当 ， 时， 在区间 上恰有 个零点
10、 给出下面四个推断，其中正确的为（ ） .
A ．若 ，则 B ．若 ，则 ；
C ．若 ， ，则 D ．若 ， ，则
11、 定义在 上的函数 满足 ， 且 在 上是增函数，给出下列真命题的有（ ）
A ． 是周期函数；
B ． 的图象关于直线 对称；
C ． 在 上是减函数；
D ． .
12、 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A ．若 极大值为 0 ，则
B ．当 时， 在 上单调递增
C ． 时， 恒成立
D ．若 ，则 有两个零点
二、填空题（共4题）
1、 所有满足 的集合 M 的个数为 ________ ；
2、 设 ： ， ： ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 __________.
3、 若 ， ，且 ， ，则 的值是 ________.
4、 已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 k 的取值范围是 ____ ．
三、解答题（共6题）
1、 2019 年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 3000 万元，生产 （百辆），需另投入成本 万元，且 , 由市场调研知，每辆车售价为 6 万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完 .
（ 1 ）求出 2019 年的利润 （万元）关于年产量 （百辆）的函数关系式；
（ 2 ） 2019 年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
2、 设 ，已知函数 .
（ 1 ）当 时，求不等式 的解集；
（ 2 ）设函数 ，若方程 在区间 上有实数根，求 的取值范围 .
3、 已知函数 在区间 上的最大值为 6.
（ 1 ）求常数 的值以及当 时函数 的最小值 .
（ 2 ）将函数 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位，得到函数 的图象 .
（ i ）求函数 的解析式；
（ ii ）若关于 的不等式 在 时恒成立，求实数 的取值范围 .
4、 已知函数 .
（ 1 ）常数 ，若函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围；
（ 2 ）若函数 在 上的最大值为 ，求实数 的值 .
5、 已知函数 ．
（ 1 ）若函数 的图象在 处的切线过点 ，求实数 的值；
（ 2 ） ， ， ，求实数 的取值范围．
6、 设函数 ， ．
（ 1 ）求函数 的单调区间；
（ 2 ）若方程 有两个不相等的实数根 、 ，求证： ．
============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
根据存在量词命题得否定为全称量词命题，即可得出答案 .
【详解】
解：因为存在量词命题得否定为全称量词命题，
所以命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ”.
故选： D.
2、 B
【分析】
解绝对值不等式求集合 A ，利用集合的交运算求 .
【详解】
由 ，又 ，
∴ .
故选： B
3、 D
【分析】
由不等式的性质可判定选项 ， ；取 即可判定选项 ；利用特值法即可判定选项 ．
【详解】
解：对于 ，若 ，则 ，故 错误；
对于 ，取 ， ，则 ，故 错误．
对于 ，若 时， ，故 错误；
对于 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ，故 正确；
故选： ．
4、 D
【分析】
由 得 的范围可判断 A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断 B ；作差比较 与 的大小可判断 C ；作差比较 与 的大小可判断 D.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，故 A 错误；
只有在 时才成立，故 B 错误；
因为 ，所以 ，
所以 ，故 C 错误；
因为 ，所以 ，故 D 正确 .
故选： D.
5、 B
【分析】
根据已知条件可得 ，将 展开利用基本不等式即可求解 .
【详解】
因为 ， ，
所以
所以 ．
当且仅当 即 时取等号，
所以当 取得最小值时，
故选： B.
6、 B
【分析】
由题意可得： 在 上恒成立，令 ，则 ，
再用导数方法求出 的最小值即可求解 .
【详解】
由题意可得： 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时 可得 ，
当 时 ，当 时，
因为 是偶函数，关于原点对称的区间单调性相反，
所以 在 和 单调递减，在 和 单调递增
所以 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选： B.
7、 D
【分析】
先分析出 为偶函数 . ，其图像关于 y 轴对称，即可得到答案 .
【详解】
定义域为 R.
因为 ，所以 为偶函数 . ，其图像关于 y 轴对称，
对照四个选项的图像，只能选 D.
故选 :D
8、 D
【分析】
构造函数 ， ，利用导数判断函数 在 上单调递减，根据单调性即可判断出选项 .
【详解】
由 ，得 .
设 ， ，则 ，
故 在 上单调递减，
则 ，
则 ， ，
但由于 ， ， ， 的正负不确定，
所以 ， 都未必成立 .
故选： D
9、 AD
【分析】
利用正弦函数的奇偶性判定 的奇偶性，进而判定 A ；逆用两角和差公式化为 “ 一角一函 ” 形式，根据正弦函数的对称中心的性质判定 B; 化简方程后求得方程的正实数根，根据等差数列的定义判定 C ；根据零点的定义，转化为方程，求解后判定 D.
【详解】
当 ， 时， , ,
所以 是奇函数，故 A 正确；
当 ， 时， ， ，
不是 的一个对称中心，故 B 错误；
当 ， ， 时， 为 ，
即 ，
则 或 ，即 或 ， ,
正根从小到大排列为 ,
, , 故不是等差数列，故 C 错误；
当 ， 时， ，
令 ，解得 ，
当 时解在区间 上，故在区间 上恰有 个零点，故 D 正确 .
故答案为： AD.
10、 AD
【分析】
A. 利用基本不等式判断； B. 取特殊值 判断； C. 取特殊值 判断； D. 利用作差法比较判断 .
【详解】
A. 因为 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故正确；
B. 当 时，满足 ，而 ，故错误；
C. 当 时， ，故错误；
D. 因为 ， ，则 ，所以 ，故正确；
故选： AD
11、 ACD
【分析】
用赋值法求得 ，然后令 得函数为奇函数，利用奇函数及 可得函数的周期，结合周期性，可得函数的对称性（对称轴与对称中心），可得单调性，从而判断各选项．
【详解】
令 得 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ，所以 是奇函数，
，所以 是周期函数， 4 是它的一个周期， A 正确；
，函数图象关于点 对称， B 错；
，函数图象关于直线 对称，
又 在 上递增，因此 在 上递增，所以 在 上是减函数， C 正确；
， D 正确．
故选： ACD ．
12、 BC
【分析】
求出 ，分 、 可得 单调性和极值可判断 AB ；令 ，求导由 单调性可判断 C ；转化为直线 与 有两个交点，令 ，由导数判断 单调性、最值可得答案 .
【详解】
， ，
当 时 ， 在 上是单调递增函数；
当 时，令 得 ， 单调递增；
得 ， 单调递减函数；所以 有极大值为 ，
若 极大值为 0 ，则 ，所以 ，故 A 错误；
当 时， 在 上单调递增， B 正确；
对于 C ， 时， ，
令 ，
，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 有最大值为 ，所以 恒成立，
故 C 正确；
由 得 ，
若 ， 有两个零点即
直线 与 有两个交点，
令 ，
，令 ，
，所以 是 上的单调递减函数，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 时，直线 与 有两个交点，即 有两个零点有两个零点，故 D 错误 .
故选： BC.
二、填空题
1、 7
【分析】
列举出满足条件的集合 ，即可得到答案 .
【详解】
满足 的集合 有 ，共 7 个 .
故答案为： 7
2、
【分析】
解对应的不等式，得到 ； ；根据 是 的必要而不充分条件，得到 是 的真子集，列出不等式求解，即可得出结果．
【详解】
由 得 ，所以 ，即 ；
由 得 ，即 ；
因为 是 的必要而不充分条件，
所以 是 的真子集；
因此 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型．
3、
【分析】
依题意 , 可求得 ，进一步可知 ，于是可求得 与 的值，再利用两角和的余弦公式及角 的范围即可求得答案 .
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 所以 .
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 .
所以
.
因为 ， ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
4、
【分析】
先求解导数，把极值点问题转换为导数的实根问题，结合恒成立可求答案 .
【详解】
由题意， 定义域为 ，
有唯一的实数根 ，
即方程 有唯一的实数根 ，
所以 无变号零点，即 无变号零点 .
设 ，则 ，
时， ， 为减函数；
时， ， 为增函数；
所以 ；
所以 k 的取值范围为： ．
故答案为： ．
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ）产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元 .
【分析】
（ 1 ）分 与 两种情况分别求出 的表达式后，将其写成分段函数的形式即可．
（ 2 ）当 时，利用二次函数的性质求出 的最大值，当 时，利用对勾函数的性质求出 的最大值，再比较即可得到 的最大值和相应的 的取值．
【详解】
（ 1 ）当 时， ，
当 时， .
综上所述， ．
（ 2 ）当 时， ，所以当 时， 当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减；所以当 时， 所以当 ，即 年年产量为 百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为 万元 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据对数函数的单调性求解；
（ 2 ）用分离参数法转化为求函数值域．
【详解】
（ 1 ）当 时，不等式 为 ，又 ，
所以 ，由 得 ，又 ，所以 ，不等式的解集为 ．
（ 2 ）函数 ，
令 ，即 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
设 ， ，则有 ，
因为 ，所以 ；
所以 ，且 ，
所以 的取值范围是 ， ， ．
3、 （ 1 ） ， ；（ 2 ）（ i ） ；（ ii ） .
【分析】
（ 1 ）利用二倍角公式和辅助角公式化简 ，根据 求出 的范围，结合正弦函数的性质即可求得 的值，即可求解；
（ 2 ）（ i ）根据图象的平移变换即可得 的解析式；（ ii ）先由余弦函数的性质求出 ，令 ，则 对于 恒成立，分离 转化为最值问题即可求解 .
【详解】
（ 1 ）
因为 ，所以 ，
所以当 即 时， ，
解得： ，所以
当 即 时， .
（ 2 ）（ i ） 的图象向下平移 个单位，再向右平移 个单位得函数
，即
（ ii ）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
设 ，则 ，
由题意可得： 对于 恒成立，
则 ，
因为 对称轴为 ，开口向上，
所以 在 上单调递增 .
所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） 或 .
【分析】
（ 1 ）首先利用三角恒等变换公式化简 ，即可得到 ，根据正弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再由函数在区间 的单调性，得到不等式组，解得即可；
（ 2 ）依题意可得 ，令 ，则将函数化为 ，利用辅助角公式及正弦函数的性质求出 的取值范围，最后根据二次函数的性质分类讨论计算可得；
【详解】
解：（ 1 ）因为
所以
即
则
由 ，
得 .
故函数 的单调递增区间为 .
因为函数 在区间 上是增函数，
所以
易得
即
则
解得
故 的取值范围为 .
（ 2 ）由（ 1 ）可得
所以
设
则 ，
由 ，得 .
则
当 ，即 时，在 处，
解得 ( 舍去 ).
当 ，即 时，在 处，
解得 ( 舍去 )
当 ，即 时，在 处， ，
解得
综上，实数 的值为 或 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）对函数 求导可得 ，再利用导数的几何意义求出切线方程，将点 代入即可求解 .
（ 2 ）令函数 ，由函数单调性的定义可得 在 上递减，由导数可得 在 上恒成立，设 ，由导数求得函数 即可得解 .
【详解】
（ 1 ）由题意 ，
所以 ， ，
所以函数 的图象在 处的切线为 ，
即 ，
由切线过点 ，
则 ，解得 .
（ 2 ）不妨设 ，若 ，
则 即 ，
令 ，则 在 递减，
∴ 即 在 上恒成立，
设 ，则 ，
再设 ，函数 单调递增，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递减， ∴ ，
∴ 的取值范围是 .
6、 （ 1 ） 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；（ 2 ）证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）求出导函数，讨论 的取值，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解 .
（ 2 ）将实数根 、 代入两式相减可得 ，根据 ，得出只需证明 即可，进而证明 ，可设 ，构造函数 ，利用证明 即可 .
【详解】
（ 1 ）解： ．
当 时， ，函数 在 上单调递增，
函数 的单调增区间为 ；
当 时，由 ，得 ；由 ，得 ．
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为
（ 2 ）证明：因为 、 是方程 的两个不等实根，由（ 1 ）知 ．
不妨设 ，则 ， ．
两式相减得 ，
即 ．
所以 ．
因为 ，
当 时， ，当 时， ，
故要证 ，只需证 即可，即证明 ，
即证明 ，
即证明 ．设 ．
令 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 在 上是增函数．
所以 ，
所以 成立．
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