直接证明与间接证明高考理科数学第一轮基础复习.pptx

第六节直接证明与间接证明第六节直接证明与间接证明1直接证明直接证明内容内容综合法综合法分析法分析法定义定义利用已知条件和某些数学定利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一义、公理、定理等，经过一系列的系列的_，最后，最后推导出所要证明的结论推导出所要证明的结论_从要从要_出发，出发，逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的_，直至最后，直至最后，把要证明的结论归结为判把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件定一个明显成立的条件实质实质由因导果由因导果执果索因执果索因推理论证推理论证成立成立证明的结论证明的结论充分条件充分条件框图表示框图表示文字语言文字语言因为因为所以所以或由或由得得要证要证只需证只需证即证即证2.间接证明间接证明反反证证法法：假假设设原原命命题题 _(即即在在原原命命题题的的条条件件下下，结结论论不不成成立立)，经经过过正正确确的的推推理理，最最后后得得出出_因因此此说说明明假假设设错错误误，从从而而证证明明了了原原命命题题成成立立，这这样样的的证证明明方方法法叫叫做做反反证证法法不成立不成立矛盾矛盾1综合法和分析法的区别和联系是什么？综合法和分析法的区别和联系是什么？【提提示示】综综合合法法的的特特点点是是：从从“已已知知”看看“可可知知”，逐逐步步推推向向“未未知知”，其其逐逐步步推推理理实实际际上上是是寻寻找找它它的的必必要要条条件件分分析析法法的的特特点点：从从“未未知知”看看“需需知知”，逐逐步步靠靠拢拢“已已知知”其其逐逐步步推推理理实实际际上上是是寻寻求求它它的的充充分分条条件件在在解解决决问问题题时时，经经常常把把综综合合法和分析法结合起来使用法和分析法结合起来使用2反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？反证法的关键是推出矛盾，这些矛盾主要有哪些？【提示提示】反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等定理、事实矛盾等 1(教教材材改改编编题题)用用反反证证法法证证明明命命题题：“a，b N，ab可可被被5整整除除，那那么么a，b中中至至少少有有一一个个能能被被5整整除除”时时，假假设设的的内内容容应应为为()Aa、b都能被都能被5整除整除Ba、b都不能被都不能被5整除整除Ca、b不都能被不都能被5整除整除 Da不能被不能被5整除整除【解析解析】“至少有一个至少有一个”的否定的否定“没有一个没有一个”【答案答案】B【答案答案】C3设设A、B、C是是三三个个集集合合，那那么么“AB”是是“ACBC”的的()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解解析析】ABACBC，但但ACBCD/AB，如如当当C，AB时，时，ACBC，选，选A.【答案答案】A对于定义域为对于定义域为0,1的函数的函数f(x)，如果同时满足以下三条：，如果同时满足以下三条：对对任任意意的的x 0,1，总总有有f(x)0；f(1)1；若若x10，x20，x1x21，都都有有f(x1x2)f(x1)f(x2)成成立立，则则称称函函数数f(x)为为理理想想函函数数g(x)2x1(x 0,1)是是否否为为理理想想函函数数，如如果果是是，请请予予证明；如果不是，请说明理由证明；如果不是，请说明理由【思思路路点点拨拨】根根据据理理想想函函数数的的定定义义，证证明明g(x)满满足足理理想想函函数数的三个条件即可的三个条件即可综合法综合法【尝试解答尝试解答】g(x)2x1(x 0,1)是理想函数是理想函数证明如下：证明如下：x 0,1，2x1，2x10，即即对对任任意意x 0,1，总总有有f(x)0，满满足足条条件件.f(1)2111，故满足条件，故满足条件，当当x10，x20，且，且x1x21时，时，f(x1x2)2x1x21，f(x1)f(x2)2x12x22，f(x1x2)f(x1)f(x2)2x1x22x12x212x1(2x21)(2x21)(2x21)(2x11)，x10，x20，则，则2x110,2x210，f(x1x2)f(x1)f(x2)0，即即f(x1x2)f(x1)f(x2)，满足条件，满足条件，故函数故函数g(x)2x1(x0,1)是理想函数是理想函数 1综综合合法法是是“由由因因导导果果”的的证证明明方方法法，它它是是一一种种从从已已知知到到未未知知(从从题题设设到到结结论论)的的逻逻辑辑推推理理方方法法，即即从从题题设设中中的的已已知知条条件件或或已已证证的的真真实实判判断断(命命题题)出出发发，经经过过一一系系列列的的中中间间推推理理，最最后后导导出所要求证结论的真实性出所要求证结论的真实性2综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理本本例例中中条条件件不不变变，问问题题变变为为“若若函函数数f(x)是是理理想想函函数数，证证明明f(0)0”，如何求解？，如何求解？【解解】令令x1x20，则，则x1x21，f(00)f(0)f(0)，f(0)0，又由条件又由条件知知f(0)0，f(0)0.,【思路点拨思路点拨】先去分母，再合并同类项，化成积式先去分母，再合并同类项，化成积式【尝试解答尝试解答】m0，1m0，所以要证原不等式成立，只需证明，所以要证原不等式成立，只需证明，(amb)2(1m)(a2mb2)，即证即证m(a22abb2)0，即证即证(ab)20，而而(ab)20显然成立，显然成立，故原不等式得证故原不等式得证,分析法分析法 1分分析析法法是是“执执果果索索因因”的的证证明明方方法法，其其主主要要过过程程是是从从结结论论出出发发逐逐步步寻寻求求使使结结论论成成立立的的充充分分条条件件用用分分析析法法证证明明命命题题的的逻逻辑辑关关系系是是：BB1B2BnA，它它的的常常见见书书面面表表达达是是“要要证证只需证只需证”2对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后对于较复杂的不等式，通常用分析法探索证明途径，然后用综合法加以证明，分析法的特点是：从用综合法加以证明，分析法的特点是：从“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠拢，逐步靠拢“已知已知”，优点是利于思考，因为它的方向明确，优点是利于思考，因为它的方向明确，思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁思路自然，而综合法的优点是易于表述，条理清晰，形式简洁(1)用单调性的定义证明用单调性的定义证明f(x)在在(1，)上为增函数上为增函数(2)用反证法证明：方程用反证法证明：方程f(x)0没有负数根没有负数根【思思路路点点拨拨】(1)按按照照：设设元元作作差差变变形形判判号号结结论论的的步步骤骤证明证明(2)需证明的是否定性结论，可用反证法证明需证明的是否定性结论，可用反证法证明反证法反证法 1当当一一个个命命题题的的结结论论是是以以“至至多多”、“至至少少”、“唯唯一一”或或以以否否定定形形式式出出现现时时，宜宜用用反反证证法法来来证证，反反证证法法关关键键是是在在正正确确的的推推理理下下得得出出矛矛盾盾，矛矛盾盾可可以以是是与与已已知知条条件件矛矛盾盾，与与假假设设矛矛盾盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等2直接证明与间接证明是数学证明的两类基本的证明方法直接证明与间接证明是数学证明的两类基本的证明方法直接证明含综合法与分析法，间接证明的一种基本方法是反证直接证明含综合法与分析法，间接证明的一种基本方法是反证法法 从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是从近两年的高考试题来看，综合法、反证法证明问题是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在高考的热点，题型大多为解答题，难度为中、高档；主要是在知识交汇点处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直、不等知识交汇点处命题，像数列、立体几何中的平行、垂直、不等式、解析几何等都有可能考查，在考查基础知识的同时，考查式、解析几何等都有可能考查，在考查基础知识的同时，考查等价转化，分类讨论思想以及逻辑推理能力在证明时一定要等价转化，分类讨论思想以及逻辑推理能力在证明时一定要注意步骤的规范化注意步骤的规范化规范解答之十用综合法证明不等式规范解答之十用综合法证明不等式易易错错提提示示：(1)解解答答(1)时时，没没有有去去分分母母，等等价价转转化化不不等等式式，导导致致作作差差变变形形无无法法进进行行(2)解解答答(2)时时，没没有有注注意意到到各各项项之之间间的的倒倒数数关关系系，从从而而无无法法使使用用对对数数的的性性质质及及换换底底公公式式等等价价转转化化不不等等式式防防范范措措施施：(1)在在证证明明不不等等式式时时，应应综综合合考考虑虑待待证证不不等等式式的的结结构构特征，是否先去分母，应根据后面证明不等式的手段确定特征，是否先去分母，应根据后面证明不等式的手段确定(2)解解答答第第(2)问问有有意意识识地地运运用用第第一一问问的的结结果果或或解解题题方方法法至至关关重重要要，本本题题通通过过换换元元法法使使待待证证不不等等式式的的左左右右两两边边分分别别是是倒倒数数关关系系，和和(1)中不等式类似，从而可利用中不等式类似，从而可利用(1)的结论证明的结论证明1(2012宁宁波波模模拟拟)定定义义：若若数数列列An满满足足An1A，则则称称数数列列An为为“平方递推数列平方递推数列”已知数列已知数列an中，中，a12，点，点(an，an1)在在函函数数f(x)2x22x的的图图象象上上，其其中中n为为正正整整数数证证明明：数列数列2an1是是“平方递推数列平方递推数列”课时知能训练课时知能训练