2013年高考理科数学上海卷-答案.pdf

1/11 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）答案解析 一、填空题 1.【答案】13【解析】201201limlim1331333nnnnnn，故答案为13.【提示】由数列极限的意义即可求解.【考点】数列的极限 2.【答案】2【解析】复数2(2)(1)izmmm为纯虚数，220mm，210m ，解得2m，故答案为2.【提示】根据纯虚数的定义可得210m ，210m ，由此解得实数 m 的值.【考点】复数的基本概念 3.【答案】0【解析】221 1xxxyyy，222xyxy，2()0 xy，0 xy，故答案为 0.【提示】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论.【考点】二阶行列式的定义 4.【答案】1arccos3【解析】22232330aabbc，22223abcab，222213cos223ababcCabab.1arccos3C，故答案为1arccos3.【提示】把式子22232330aabbc变形为22223abcab，再利用余弦定理222cos2abcCab即可得出.【考点】余弦定理 5.【答案】2 2/11 【解析】52axx的展开式的通项为10 210 3155rrrrrrraTC xC xax，令1037r得1r，7x的系数是15aC.7x的系数是10，1510aC，解得2a，故答案为2.【提示】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第1r 项，令 x 的指数为 7 求得7x的系数，列出方程求解即可.【考点】二项式系数的性质 6.【答案】3log 4【解析】方程1313313xx，即3193133(31)xx，即11833(33)xxx，化简可得232 380 xx，即(34)(32)0 xx.解得34x，或32x（舍去），3log 4x，故答案为3log 4.【提示】化简方程1313313xx为3193133(31)xx，即(34)(32)0 xx，解得34x，可得 x 的值.【考点】函数的零点 7.【答案】512【解析】由cos1得，cos1，代入cos1得(1)1，解得512或152（舍），所以曲线cos1与cos1的公共点到极点的距离为512，故答案为512.【提示】联立cos1与cos1消掉即可求得，即为答案.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，两点间的距离公式 8.【答案】1318【解析】从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个球中，任意取出两个球的取法种数为2936C 种；取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为2510C 种；则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为105368；所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是51311818；故答案为1318.【提示】利用组合知识求出从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从 5 个奇数中任意取出 2 个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式 3/11 9.【答案】4 63【解析】如图，设椭圆的标准方程为2221xyab，由题意知，24a，2a，4CBA，2BC，点C 的坐标为(1,1)C，因点C在椭圆上，222(1)114b，243b，22248433cab，2 63c，则 的两个焦点之间的距离为4 63，故答案为4 63.【提示】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为2221xyab，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C 的坐标，再根据点 C 在椭圆上求得 b 值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案.【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质 10.【答案】230d【解析】由题意可得11219119 1819291919xdxxxExd.11(1)(9)(10)nxExndxdnd，222222222212(9)(8)()0(2)(9)(129)1919dDdddddd 2229 10 1930196dd，故答案为230d.【提示】利用等差数列的前 n 项和公式可得1219119 18192xxxxd和数学期望的计算公式即可得出E，再利用方差的计算公式即可得出22212191()()()19DxExExE即可得出.【考点】极差，方差与标准差 11.【答案】23【解析】1cos cossin sin2xyxy，1cos()2xy，2sin2sin23xy，4/11 2sin()()sin()()3xyxyxyxy，22sin()cos()3xyxy，122sin()23xy，2sin()3xy，故答案为23.【提示】利用两角差的余弦公式及1cos cossin sin2xyxy，可得1cos()2xy，再利用和差化积公式2sin2sin23xy，得到22sin()cos()3xyxy，即可得出sin()xy.【考点】三角函数的和差化积公式，两角和与差的余弦函数 12.【答案】87a 【解析】因为()yf x是定义在R上的奇函数，所以当0 x 时，()0f x；当0 x 时，则0 x，所以2()97afxxx，因为()yf x是定义在R上的奇函数，所以2()97af xxx；因为()1f xa对一切0 x成立，所以当0 x 时，01a成立，所以1a；当0 x 时，2971axax成立，只需要297axx的最小值1a，因为22972 976|7aaxxaxx，所以6|71aa，解得85a 或87a ，所以87a ，故答案为87a .【提示】先利用()yf x是定义在R上的奇函数求出0 x时函数的解析式，将()1f xa对一切0 x成立转化为函数的最小值1a，利用基本不等式求出()f x的最小值，解不等式求出 a 的范围.【考点】函数奇偶性的性质，基本不等式 13.【答案】2216【解析】因为几何体为的水平截面的截面积为24 18y，该截面的截面积由两部分组成，一部分为定值8，看作是截一个底面积为8，高为 2 的长方体得到的，对于24 1y，看作是把一个半径为 1，高为2的圆柱平放得到的，如图所示，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，即的体积为22 1 22 8216，故答案为2216.【提示】由题目给出的的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可.5/11 【考点】进行简单的合情推理 14.【答案】2【解析】因为()|(),g Iy yg x xI，1(0,1)1,2)f，1(2,4)0,1)f，所以对于函数()f x，当0,1)x时，()(2,4f x，所以方程()0f xx即()f xx无解；当1,2)x时，()0,1)f x，所以方程()0f xx即()f xx无解；所以当0,2)x时方程()0f xx即()f xx无解，又因为方程()0f xx有解 x0，且定义域为0,3，故当2,3x时，()f x的取值应属于集合(,0)1,2(4,)，故若00()f xx，只有02x，故答案为 2.【提示】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当0,1)x时，1,2)x时()f x的值域，进而可判断此时()f xx无解；由()f x在定义域0,3上存在反函数可知：2,3x时，()f x的取值集合，再根据方程()f xx有解即可得到 x0的值.【考点】反函数，函数的零点 二、选择题 15.【答案】B【解析】当1a 时，(,1,)Aa，1,)Ba，若AB R，则1 1a，12a；当1a 时，易得AR，此时AB R；当1a 时，(,1,)Aa，1,)Ba，若AB R，则1aa，显然成立，1a；综上，a 的取值范围是(,2，故选 B.【提示】当1a 时，代入解集中的不等式中，确定出 A，求出满足两集合的并集为R时的 a 的范围；当1a 时，易得AR，符合题意；当1a 时，同样求出集合 A，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集得到 a 的范围.综上，得到满足题意的 a 范围.【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，一元二次不等式的解法 16.【答案】B【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选 B.【提示】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【考点】必要条件，充分条件与充要条件的判断 17.【答案】A【解析】该矩阵的第 i 行第 j 列的元素(1,2,7;1,2,12)ij，当且仅当ijmn时，ijmnaa(,1,2,7;,1,2,12)i mj n，因此该矩阵元素能取到的不同数值为ij的所有不同和，其和为 2，3，6/11 19，共 18 个不同数值.故选 A.【提示】由于该矩阵的第 i 行第 j 列的元素,(21)(21)212121ijijiji jijijaa aaa (1,2,7;1,2,12)ij，要使(,1,2,7;,1,2,12)ijmni mjana.则满足2121ijm n，得到ijmn，由指数函数的单调性可得：当ijmn时，ijmnaa，因此该矩阵元素能取到的不同数值为ij的所有不同和，即可得出.【考点】数列的函数特性 18.【答案】D【解析】由题意，以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a、2a、3a、4a、5a；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d、2d、3d、4d、5d，利用向量的数量积公式，可知只有0AF DEAB DC，其余数量积均小于等于 0，m、M 分别为()()ijkrstaaaddd的最小值、最大值，0m，0M，故选 D.【提示】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DEAB DC，其余数量积均小于等于 0，从而可结论.【考点】平面向量数量积的运算，进行简单的合情推理 三、解答题 19.【答案】23【解析】解法一：因为-ABCD ABCD 为长方体，故ABCD，AB CD=，故ABCD 为平行四边形，故BCAD，显然BC不在平面DAC内，于是直线BC平行于平面DAC.直线BC到平面DAC的距离即为点 B 到平面DAC的距离，设为 h，考虑三棱锥-D ABC的体积，以 ABC 为底面，可得三棱锥-D ABC的体积为1111 11323V ，而ADC中，5ACDC，2AD，故CAD的底边AD上的高为3 22，故CAD的面积13 222223CADS，所以13123233Vhh，即直线BC到平面DAC的距离为23.解法二：以DA 所在的直线为 x 轴，以D C 所在的直线为 y 轴，以DD所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系.则由题意可得，点(1,0,1)A、(1,2,1)B、(0,2,1)C、(0,2,0)C、(0,0,0)D.设平面DAC的一个法向量为(,)nu v w，则由nDA，nDC，可得0nDA，0nDC.7/11 (1,0,1)DA，(0,2,1)DC，020uwvw，解得22uvwv.令1v，可得2u，2w，可得(2,1,2)n.由于(1,0,1)BC，0n BC，故有nBC 再由BC不在平面DAC内，可得直线BC平行于平面DAC.由于(1,0,0)CB，可得点 B 到平面DAC的距离222|2 1 1 0(2)0|23|21(2)n CBdn ，故直线BC到平面DAC的距离为23.【提示】解法一：证明ABCD 为平行四边形，可得BCAD，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC平行于平面DAC.所求的距离即点 B 到平面DAC的距离，设为 h，再利用等体积法求得 h 的值；解法二：建立空间直角坐标系，求出平面DAC的一个法向量为(2,1,2)n，再根据0n BC，可得nBC，可得直线BC平行于平面DAC.求出点 B 到平面DAC的距离|n BCdn的值，即为直线BC到平面DAC的距离.【考点】点、线、面间的距离计算，直线与平面平行的判定 20.【答案】（1）135x （2）甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457500 元【解析】（1）生产该产品 2 小时获得的利润为33100 512200 51xxxx 根据题意，3200 513000 xx，即251430 xx 3x 或15x 110 x，135x ；（2）设利润为 y 元，则生产 900 千克该产品获得的利润为3900100 51yxxx 8/11 2423111619000059 103612xxx 110 x，6x 时，取得最大利润为4619 1045750012元 故甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457500 元.【提示】（1）求出生产该产品 2 小时获得的利润，建立不等式，即可求 x 的取值范围；（2）确定生产 900 千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润.【考点】函数模型的选择与应用 21.【答案】（1）304（2）433【解析】（1）函数()yf x在 2,43上单调递增，且0，223，且24，解得304；（2）()2sin2f xx，把()yf x的图象向左平移6个单位，再向上平移 1 个单位，得到2sin216yx，函数()2sin 216yg xx，令()0g x，得512xk，或34xk()kZ.相邻两个零点之间的距离为3或23.若ba最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间,aa，,2aa，*,()a ma mN分别恰有 3，5，21m个零点，所以在区间,14aa是恰有 29个零点，从而在区间(14,a b至少有一个零点，143ba.另一方面，在区间55,1412312恰有 30 个零点，因此ba的最小值为431433.【提示】（1）已知函数()yf x在 2,43上单调递增，且0，利用正弦函数的单调性可得223，且24，解出即可；（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到()2sin216g xx.令()0g x，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离.若ba最小，则 a 和 b 都是零点，此时在区间,a ma*()mN恰有21m个零点，所以在区间,14aa是恰有 29 个零点，从而在区间(14,a b至少有一个 9/11 零点，即可得到 a，b 满足的条件.进一步即可得出ba的最小值.【考点】正弦函数的单调性，根的存在性及根的个数判断，函数sin()yAx的图象变换 22.【答案】（1）C1的左焦点为(3,0)，写出的直线方程可以是以下形式：3x 或(3)yk x，其中3|3k；（2）证明：因为直线ykx与 C2有公共点，所以方程组|1ykxyx有实数解，因此|1kxx，得|1|1|xkx.若原点是“12-C C型点”，则存在过原点的直线与 C1、C2都有公共点.考虑过原点与 C2有公共点的直线0 x 或(|1)ykx k，显然直线0 x 与 C1无公共点.如果直线为(|1)ykx k，则由方程组221ykxxyx，得222012xk，矛盾.所以直线(|1)ykx k与 C1也无公共点.因此原点不是“12-C C型点”.（3）证明：记圆 O：2212xy，取圆 O 内的一点 Q，设有经过 Q 的直线 l 与 C1，C2都有公共点，显然l 不与 x 轴垂直，故可设 l：ykxb.若|1k，由于圆 O 夹在两组平行线1yx与1yx 之间，因此圆 O 也夹在直线1ykx与1ykx之间，从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2无公共点，矛盾，所以|1k.因为 l 与 C1由公共点，所以方程组221ykxbxyx有实数解，得222(1 2)4220kxkbxb.因为|1k，所以21 20k，因此22222(4)4(1 2)(22)8(1 2)0kbkbbk，即2221bk.因为圆O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离2|1bdk，所以222112kbd，从而2221212kbk，得21k，与|1k 矛盾.因此，圆2212xy内的点不是“12-C C型点”.【提示】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为(3,0)，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“12-C C型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0,1)连线的斜率；（2）由直线ykx与 C2有公共点联立方程组有实数解得到|1k，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与 C1和 C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线1yx与1yx 之间，进而说明当|1k 时过圆 10/11 2212xy内的点且斜率为 k 的直线与 C2无公共点，当|1k 时，过圆2212xy内的点且斜率为 k 的直线与 C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出 k 的范围，结果与|1k 矛盾.从而证明了结论.【考点】直线与圆锥曲线的关系，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 23.【答案】（1）21()(2)2|24|2|422af afccccc ，31()(2)2|24|2|2(6)(2)10af afccccc；（2）由已知可得8,()338,48,4xcxcf xxccxcxcxc 当nac 时，18nnaacc；当4ncac 时，12382(4)38nnnaaacccc ；当4nac 时，1282(4)8nnnaaacccc .对任意*nN，1nnaac；（3）假设存在 a1，使得 a1，a2，an，成等差数列.由（2）及0c，得1nnaa，即na为无穷递增数列.又na为等差数列，所以存在正数 M，当nM时，nac，从而1()8nnnaf aac，由于na为等差数列，因此公差8dc.当14ac 时，则211()8af aac，又2118aadac，故1188acac ，即18ac，从而20a，当2n时，由于na为递增数列，故20naac，1()8nnnaf aac，而218aac，故当18ac 时，na为无穷等差数列，符合要求；若14cac，则211()338af aac，又2118aadac，113388acac ，得1ac，应舍去；11/11 若1ac，则由1naa得到1()8nnnaf aac，从而na为无穷等差数列，符合要求.综上可知：a1的取值范围为8,)cc .【提示】（1）对于分别取1n，2，1()nnaf a，*nN.去掉绝对值符合即可得出；（2）由已知可得8,()338,48,4xcxcf xxccxcxcxc ，分三种情况讨论即可证明；（3）由（2）及0c，得1nnaa，即na为无穷递增数列.分以下三种情况讨论：当14ac 时，当14cac 时，当1ac 时.即可得出 a1的取值范围.【考点】数列的函数特性，等差关系的确定，数列与函数的综合