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课时训练(十八) 三角形的基础
(限时:35分钟)
|夯实基础|
1.[2019·日照期末]如图K18-1,一扇窗户打开后,用窗钩AB可将其固定,这里所运用的几何原理是 ( )
图K18-1
A.垂线段最短
B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线
D.三角形的稳定性
2.[2018·长沙]下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( )
A.4 cm,5 cm,9 cm
B.8 cm,8 cm,15 cm
C.5 cm,5 cm,10 cm
D.6 cm,7 cm,14 cm
3.[2019·邯郸模拟]下列各图中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON,OP上,则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是 ( )
图K18-2
4.[2019·南平模拟]如图K18-3,在△ABC中,∠A是钝角,若AB=1,AC=3,则BC的长度可能是 ( )
图K18-3
A.π-1 B.3 C.103 D.17
5.[2019·常德澧县四模]若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4,那么这个三角形是 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6.如图K18-4,在△ABC中,∠B=46°,∠C=54°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE∥AB交AC于点E,则∠ADE的大小是 ( )
图K18-4
A.45° B.54° C.40° D.50°
7.[2016·厦门]如图K18-5,DE是△ABC的中位线,过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F,则下列结论正确的是 ( )
图K18-5
A.EF=CF B.EF=DE
C.CF<BD D.EF>DE
8.[2019·北京海淀校级模拟]如图K18-6所示,△ABC中,AB=AC,过AC上一点E作DE⊥AC,EF⊥BC,若∠BDE=140°,则∠DEF= ( )
图K18-6
A.55° B.60° C.65° D.70°
9.[2019·晋江一模]如图K18-7,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处,若∠A=20°,则∠ADE的度数是 .
图K18-7
10.[2019春·巴中平昌县期末]求证:三角形三个内角的和等于180°.
已知:△ABC,如图K18-8.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
图K18-8
11.如图K18-9,在△ABC中,∠ADB=100°,∠C=80°,∠BAD=12∠DAC,BE平分∠ABC,求∠BED的度数.
图K18-9
|能力提升|
12.如图K18-10,△ABC为直角三角形,∠C=90°,若沿图中虚线剪去∠C,则∠1+∠2等于 ( )
图K18-10
A.315° B.270° C.180° D.135°
13.[2019·景洪一模]如图K18-11,五角星的顶点为A,B,C,D,E,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 ( )
图K18-11
A.90° B.180° C.270° D.360°
14.[2019·临沂平邑县一模]如图K18-12,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是 ( )
图K18-12
A.10 B.8 C.6 D.5
15.[2018春·汕头澄海区期末]如图K18-13,AB∥DC,ED∥BC,AE∥BD,那么图中与△ABD面积相等的三角形有 ( )
图K18-13
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
16.[2019春·三明沙县期末]一张△ABC纸片,点M,N分别是AB,AC上的点,若沿直线MN折叠后,点A落在AC边的下面A'的位置,如图K18-14所示.则∠1,∠2,∠A之间的数量关系是 ( )
图K18-14
A.∠1=∠2+∠A
B.∠1=2∠2+∠A
C.∠1=∠2+2∠A
D.∠1=2∠2+2∠A
17.[2019春·滦州期末]已知点A(a,0)和点B(0,5)两点,且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10,则a的值是 .
|思维拓展|
18.[2018·杭州二模]四根长度分别为3,4,6,x(x为正整数)的木棒,从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,则组成的三角形中周长最小为 .
19.[2019春·龙岩新罗区期末]如图K18-15,已知△ABC,∠A=∠B=70°.请按如下要求操作并解答:
(1)在图中,过点A画直线MP∥BC,过点C画直线NP⊥AB,直线MP与NP交于点P,求∠APC的度数;
(2)在(1)的前提下,直线PM上存在点D,且∠ABD=∠ADB,求直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数.
图K18-15
【参考答案】
1.D 2.B 3.D
4.C [解析]根据三角形三边关系,第三边小于AB+AC=4,
当∠A为直角时,AB,AC分别是两直角边,
则第三边即斜边的长度为BC=AB2+AC2=10,
故10<BC<4,
只有C选项符合题意,故选:C.
5.C [解析]依题意,设三角形的三个内角分别为:2x,7x,4x,
∴2x+7x+4x=180°,
∴x≈13.85°.
7x≈97°,
∴这个三角形是钝角三角形.
故选:C.
6.C
7.B [解析]∵DE是△ABC的中位线,
∴E为AC的中点,
∴AE=EC.
∵CF∥BD,
∴∠ADE=∠F.
在△ADE和△CFE中,
∵∠ADE=∠F,∠AED=∠CEF,AE=CE,
∴△ADE≌△CFE(AAS),
∴DE=FE.
故选B.
8.C [解析]∵DE⊥AC,∠BDE=140°,
∴∠A=50°.
又∵AB=AC,
∴∠C=180°-50°2=65°,
∵EF⊥BC,
∴∠DEF=∠C=65°.故选C.
9.50° [解析]∵将△ABC沿CD折叠,点B恰好落在AC边上的点E处,
∴∠CED=∠B.
∵∠ACB=90°,∠A=20°,
∴∠B=180°-90°-20°=70°,
∴∠CED=70°,
∵∠CED=∠ADE+∠A,
∴∠ADE=70°-20°=50°.
故答案为:50°.
10.证明:过点A作直线MN∥BC.
∵MN∥BC,
∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C(两直线平行,内错角相等).
∵∠MAB+∠BAC+∠NAC=180°(平角的定义),
∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换),
即:三角形三个内角的和等于180°.
11.解:∵∠ADB=100°,∠C=80°,
∴∠DAC=∠ADB-∠C=100°-80°=20°.
∵∠BAD=12∠DAC,∴∠BAD=12×20°=10°.
在△ABD中,∠ABC=180°-∠ADB-∠BAD=180°-100°-10°=70°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=12∠ABC=12×70°=35°,
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=10°+35°=45°.
12.B [解析]如图,∵∠1,∠2是△CDE的外角,
∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,
即∠1+∠2=2∠C+(∠3+∠4).
∵∠3+∠4=180°-∠C=90°,
∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°.
故选:B.
13.B [解析]如图,由三角形的外角性质得,∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠D,
∵∠1+∠2+∠E=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故选B.
14.C [解析]平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O,当OD⊥BC时,OD最小,即DE最小.
∵OD⊥BC,AB⊥BC,
∴OD∥AB,
又∵OC=OA,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=12AB=3,
∴DE=2OD=6.
故选:C.
15.C [解析]∵AE∥BD,∴S△ABD=S△BDE.
∵DE∥BC,∴S△BDE=S△EDC.
∵AB∥CD,∴S△ABD=S△ABC.
∴与△ABD面积相等的三角形有3个,
故选:C.
16.C [解析]如图:
由折叠得:∠A=∠A',
∵∠1是△MDA的外角,
∴∠1=∠A+∠MDA.
同理:∠MDA=∠2+∠A',
∴∠1=∠A+∠2+∠A',
即:∠1=2∠A+∠2,
故选:C.
17.±4 [解析]由题意可得5×|OA|÷2=10,
∴|OA|=4,即|a|=4,
∴点a的值是4或-4.
故答案为:±4.
18.11 [解析]其中任意三根的组合有3,4,6;3,4,x;3,6,x;4,6,x共四种情况,
由题意:从中任取三根,首尾顺次相接都能组成一个三角形,可得3<x<7,由x为正整数,得x为4或5或6.
①若三边为3,4,6时,其周长为3+4+6=13;
②若三边为3,4,x时,其周长最小为4+3+4=11;
③若三边为3,6,x时,其周长最小为3+6+4=13;
④若三边为4,6,x时,其周长最小为4+6+4=14.
综上所述,三角形周长最小为11.
19.解:(1)如图所示,
∵PC⊥AB,
∴∠CNB=90°.
∵∠ABC=70°,
∴∠BCN=20°.
∵MP∥BC,
∴∠APC=∠BCN=20°.
(2)∵MP∥BC,
∴∠ADB+∠CBD=180°,
∵∠ABD=∠ADB,∠ABC=70°,
∴∠ABD=∠ADB=55°,
∵∠BNE=90°,
∴∠BEN=90°-55°=35°,
∴直线BD与直线PN相交所形成的锐角的度数为35°.
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