呼和浩特专版2020中考数学复习方案第五单元四边形课时训练25正方形及中点四边形试题.docx

课时训练(二十五)　正方形及中点四边形
(限时:45分钟)

|夯实基础|
1.[2019·娄底] 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是 (　　)
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图K25-1),现有下列四种选法,你认为其中错误的是 (　　)

图K25-1
A.①② B.②③ C.①③ D.②④
3.[2018·白银] 如图K25-2,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为 (　　)

图K25-2
A.5 B.23
C.7 D.29
4.[2019·兰州] 如图K25-3,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM= (　　)

图K25-3
A.12 B.22
C.3-1 D.2-1
5.[2019·攀枝花] 如图K25-4,在正方形ABCD中,E是BC边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边的AB沿AE折叠到AF,延长EF交DC于G.连接AG,CF.现有如下四个结论:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中结论正确的个数是 (　　)

图K25-4
A.1 B.2
C.3 D.4
6.[2019·青岛] 如图K25-5,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4 cm,则CF的长是　　　　 cm. 

图K25-5
7.[2019·扬州] 如图K25-6,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边在正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M,N分别是DC,DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=　　　　. 

图K25-6
8.[2019·湖州] 七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为42的正方形ABCD可以制作一套如图K25-7①所示的七巧板,现将这套七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q,R分别与图②中的点E,G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　　　　. 

图K25-7

9.[2019·长沙] 如图K25-8,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.

图K25-8

10.[2018·北京] 如图K25-9,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.

图K25-9

|拓展提升|
11.[2019·安徽] 如图K25-10,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是 (　　)

图K25-10
A.0 B.4 C.6 D.8
12.[2019·包头] 如图K25-11,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点0<DM<12BD,连接AM,过点M作MN⊥AM交边BC于N.
(1)如图K25-11①,求证:MA=MN;
(2)如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当S△AMNS△BCD=1318时,求AN和PM的长;
(3)如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=25时,求△HMN的面积.

图K25-11

【参考答案】
1.C
2.B　[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,
当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故选项A不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
当③AC=BD时,矩形满足该性质,无法得出四边形ABCD是正方形,故选项B符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,
当③AC=BD时,菱形ABCD是正方形,故选项C不符合题意;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
当④AC⊥BD时,矩形ABCD是正方形,故选项D不符合题意.故选B.
3.D
4.D　[解析]在正方形ABCD中,OC=OD,AC⊥BD,

由折叠可知,DF⊥EC,CD=DE=2,
∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,
又∵OC=OD,∠DOM=∠COE=90°,
∴△ODM≌△OCE(ASA),∴OM=OE,在Rt△BCD中,BD=22+22=2,∴OD=1,∴OE=DE-OD=2-1,∴OM=2-1,故选D.
5.B　[解析]由题易知AD=AB=AF,
则Rt△ADG≌Rt△AFG(HL).
∴GD=GF,∠DAG=∠GAF.
又∵∠FAE=∠EAB,∴∠EAG=∠GAF+∠FAE=12(∠BAF+∠FAD)=12∠BAD=45°,∴①正确;
设GF=x,则GD=GF=x.又∵BE=4,CE=8,∴DC=BC=12,EF=BE=4.
∴CG=12-x,EG=4+x.
在Rt△ECG中,由勾股定理可得82+(12-x)2=(4+x)2,解得x=6.
∴FG=DG=CG=6.∵∠AGD=∠AGF≠60°,
∴∠FGC≠60°,∴△FGC不是等边三角形,∴②错误;
连接DF,如图,

由①可知△AFG和△ADG是对称型全等三角形,∴FD⊥AG.
又∵FG=DG=GC,
∴△DFC为直角三角形,∴FD⊥CF,∴FC∥AG,
∴③正确;
∵EC=8,CG=6,∴S△ECG=12EC·CG=24,
又∵S△FCGS△ECG=FGEG=35,∴S△FCG=35S△ECG=725.
∴④错误,故正确结论为①③,选B.
6.(6-25)　[解析]由勾股定理得AE=25cm,根据题意得GE=(25-4)cm,设BF=x cm,则FC=(4-x)cm,∴(25-4)2+x2=22+(4-x)2,解得x=25-2,
∴CF=(6-25)cm.
7.132　[解析]连接CF,∵正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=5,
∴GF=GB=5,BC=7,∴GC=GB+BC=5+7=12,
∴CF=GF2+GC2=52+122=13.
∵M,N分别是DC,DF的中点,∴MN=12CF=132.故答案为132.

8.45　[解析]如图,连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M.

在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,
∴EG=EM2+GM2=122+42=410,
∴EH=EG2=45,
故答案为:45.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,
∵DE=CF,∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS),
∴BE=AF.
(2)由(1)得:△BAE≌△ADF,
∴∠EBA=∠FAD,
∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,
∵AB=4,DE=1,
∴AE=3,∴BE=AB2+AE2=5,
在Rt△ABE中,12AB·AE=12BE·AG,
∴AG=3×45=125.
10.解:(1)证明:连接DF,如图.

∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴DA=DF,∠DFE=∠A=90°.
∴∠DFG=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG=90°.
又∵DG=DG,
∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).
∴GF=GC.
(2)如图,在AD上取点P,使AP=AE,连接PE,则BE=DP.

由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°,
∴∠EDH=45°.
又∵EH⊥DE,
∴△DEH是等腰直角三角形.
∴DE=EH.
∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,
∴∠1=∠5.
∴△DPE≌△EBH(SAS).
∴PE=BH.
∵△PAE是等腰直角三角形,从而PE=2AE.
∴BH=2AE.
11.D　[解析] 如图,作点F关于CD的对称点F',连接PF',PF,则PE+PF=EF',根据两点之间线段最短可知此时PE+PF的值最小.连接FF',交CD于点G,过点E作EH⊥FF',垂足为点H,易知△EHF,△CFG都是等腰直角三角形,∴EH=FH=FG=F'G=22EF=22,
∴EF'=EH2+F'H2=(22)2+(62)2=45<9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD的每条边上都有一点P使得PE+PF值最小.连接DE,DF,易求得DE+DF=410>9,CE+CF=12>9,故点P位于点B,D时,PE+PF>9,点P位于点A,C时,PE+PF>9,∴该正方形每条边上都有2个点使得PE+PF=9,共计8个点.

12.解:(1)证明:如图,过点M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,

∴∠MFB=∠BGM=90°.
∵正方形ABCD,∴∠DAB=90°,AD=AB,
∴∠ABD=45°.
同理可证:∠DBC=45°,
∴∠ABD=∠DBC.
∵MF⊥AB,MG⊥BC,
∴MF=MG.
∵正方形ABCD,∴∠ABN=90°,
∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=90°,
∴∠FMG=90°,∴∠FMN+∠NMG=90°,
∵MN⊥AM,∴∠NMA=90°,
∴∠AMF+∠FMN=90°,
∴∠AMF=∠NMG.
又∵∠AFM=∠NGM=90°,
∴△AMF≌△NMG,
∴MA=MN.
(2)在Rt△AMN中,
∵∠AMN=90°,MA=MN,
∴∠MAN=45°.
在Rt△BCD中,∵∠DBC=45°,
∴∠MAN=∠DBC,
∴Rt△AMN∽Rt△BCD,∴S△AMNS△BCD=ANBD2.
∵在Rt△ABD中,AB=AD=6,∴BD=62.
∵S△AMNS△BCD=1318,∴AN2(62)2=1318,∴AN=213.
∴在Rt△ABN中,BN=AN2-AB2=4.
∵在Rt△AMN中,MA=MN,O是AN的中点,
∴OM=AO=ON=12AN=13,OM⊥AN,
∴PM⊥AN,
∴∠AOP=90°,
∴∠AOP=∠ABN=90°.
又∵∠PAO=∠NAB,
∴△AOP∽△ABN.
∴OPBN=AOAB,
∴OP4=136,
∴OP=2133.
∴PM=PO+OM=2133+13=53 13.
(3)如图,过点A作AQ⊥BD于Q,

∴∠AQM=90°,∴∠QAM+∠AMQ=90°.
∵MN⊥AM,
∴∠AMN=90°.
∴∠AMQ+∠HMN=90°,
∴∠QAM=∠HMN.
∵NH⊥BD,∴∠NHM=90°,
∴∠NHM=∠AQM.
∵MA=MN,∴△AQM≌△MHN,
∴AQ=MH.
在Rt△ABD中,AB=AD=6,∴BD=62.
∵AQ⊥BD,∴AQ=12BD=32,∴MH=32.
∵AM=25,∴MN=25.
在Rt△MNH中,HN=MN2-HM2=2.
∴S△HMN=12HM·HN=12×2×32=3.
∴△HMN的面积是3.

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