1、第二章 一阶微分方程初等解法 第1页2.1 变量分离方程与变量变换变量分离方程与变量变换先看例子：第2页一、变量分离方程求解一、变量分离方程求解这么变量就“分离”开了.第3页定义1形如方程,称为变量分离方程.第4页例：分离变量:两边积分:第5页注:例1求微分方程全部解.解:积分得:第6页故方程全部解为:第7页解:分离变量后得两边积分得:整理后得通解为:例2求微分方程通解.第8页例3求微分方程解:将变量分离后得两边积分得:由对数定义有第9页即故方程通解为第10页例4解:两边积分得:因而通解为:再求初值问题通解,所以所求特解为:第11页第12页二、可化二、可化为变量分离方程量分离方程类型型（I）齐
2、次方程次方程 第13页(I)形如方程称为齐次方程,求解方法:第14页例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程,即将变量分离后得第15页两边积分得:即代入原来变量,得原方程通解为第16页例5求下面初值问题解解:不妨设x0,方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得第17页两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题解为第18页(II)形如方程可经过变量变换化为变量分离方程.分三种情况讨论为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.第19页这就是变量分离方程第20页作变量代换(坐标变换)则方程化为为(1)情形,可化为变量分离方程求解.第21页解步骤:第22页例6求微分方程通解.解:解方程组第23页将变量分离后得
3、两边积分得:变量还原并整理后得原方程通解为第24页注:上述解题方法和步骤适合用于更普通方程类型.另外,诸如第25页以及例7求微分方程通解.第26页解:代入方程并整理得即分离变量后得两边积分得变量还原得通解为第27页三、三、应用用举例例例8、雪球融化 设雪球在融化时体积改变率与表面积成百分比，且在融化过程中它一直为球体，该雪球在开始时半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球体积随时间改变关系。解:依据球体体积和表面积关系得第28页分离变量并积分得方程通解为由初始条件得代入得雪球体积随时间改变关系为第29页作业P421(2)(4)(7)(8)1(5)(9)2(2)(3)(4)(6)第30页
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