三角函数及三角恒等变换市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

三角函数及三角恒等变换三角函数及三角恒等变换 人民教育出版社人民教育出版社 龙正武龙正武第1页2B 版：版：第一章第一章 基本初等函数基本初等函数（）第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换为何叫基本初等函数（为何叫基本初等函数（II）？）？为何要分成两章？为何要分成两章？第2页3三角函数地位与作用三角函数地位与作用 传统：测量。传统：测量。课标：三角函数是描述周期现象主要数课标：三角函数是描述周期现象主要数学模型。学模型。电磁波电磁波 Fourier级数级数第3页4第一章第一章基本初等函数（基本初等函数（）1.1 任意角概念及弧度制任意角概念及弧度制1.2 任意角三角函数任意角三角函数1.3 三角函数图象与性质三角函数图象与性质第4页51.1 任意角概念及弧度制任意角概念及弧度制1.1.1 角概念推广角概念推广第5页6各角和旋转量等于各角旋转量和。各角和旋转量等于各角旋转量和。第6页7 例例 1 射线射线 OA 绕端点绕端点 O 顺时针旋转顺时针旋转 80 到到 OB 位置，接着逆时针旋转位置，接着逆时针旋转 250 到到 OC 位位置，然后再顺时针旋转置，然后再顺时针旋转 270 到到 OD 位置，位置，求求 AOD 大小。大小。转角运算几何意义。转角运算几何意义。第7页8为何要这么做？为何要这么做？角运算几何意义，有角运算几何意义，有利于帮助学生了解，为用利于帮助学生了解，为用对称变换等证实诱导公式对称变换等证实诱导公式打下伏笔。打下伏笔。xyaa+p 2第8页9思索与讨论思索与讨论1.假如假如 a 是第一象限角，那么是第一象限角，那么 a 取值范取值范围能够表示为怎样不等式？围能够表示为怎样不等式？2.假如假如 a 分别是第一、第二、第三和第四分别是第一、第二、第三和第四象限角，那么象限角，那么 分别是第几象限角？分别是第几象限角？第9页10可能存在困难可能存在困难为何要对为何要对 k 这么分类讨论？这么分类讨论？第10页11 练习练习A 1.判断：（判断：（2）终边相等角一定相等。）终边相等角一定相等。假如角假如角a 和角和角b 终边相同，则它们之间大终边相同，则它们之间大小有何关系？小有何关系？答：存在一个整数答：存在一个整数 k，使得，使得a-b =k360。第11页121.1.2 弧度制和弧度制与角度制换算弧度制和弧度制与角度制换算 旋转时，射线上点旋转时，射线上点形成圆弧。形成圆弧。为何不用单位圆定义？为何不用单位圆定义？第12页13角集合与实数集角集合与实数集 R 之间一一对应。之间一一对应。角度制是角度制是60进制，弧度制是十进制。进制，弧度制是十进制。角度值换算为弧度值算法。角度值换算为弧度值算法。提议讲解：机械，但步骤清楚。提议讲解：机械，但步骤清楚。角度数角度数 n 与角度与角度 n 区分。区分。例例 3 能够不讲，例能够不讲，例 4 要求学生掌握。要求学生掌握。第13页141.2 任意角三角函数任意角三角函数1.2.1 三角函数定义三角函数定义 锐角三角函数锐角三角函数第14页15任意角三角函数定义任意角三角函数定义:相同三角形相同三角形为何不用单位圆定义？为何不用单位圆定义？第15页16三角函数自变量三角函数自变量假如点假如点 P(x，y)是角是角 a 终边上一点，那么终边上一点，那么定义定义 称为余弦函数。称为余弦函数。问题：余弦函数中自变量是谁？问题：余弦函数中自变量是谁？第16页17教材：教材：叫做角叫做角a 余弦，余弦，记记作作cos a，即，即 对于每一个确定角对于每一个确定角a，有唯一余弦，有唯一余弦值值与之与之对应对应，所以，所以这这个个对应对应法法则则是以是以 a 为为自自变变量函数，叫做量函数，叫做 a 余弦函数。余弦函数。第17页18例例 2 求以下各角六个三角函数值：求以下各角六个三角函数值：（1）0；（2）p；（3）。练习练习A 3.填表：特殊角三角函数。填表：特殊角三角函数。探索与研究：探索与研究：算任意角三角函数值算法。算任意角三角函数值算法。第18页191.2.2 单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线用到了轴上向量及其数量知识。用到了轴上向量及其数量知识。提议先讲点轴上向量知识（数学二提议先讲点轴上向量知识（数学二2.1.1 或或 数学四数学四 2.1.5）。）。能够用有向线段来解释。能够用有向线段来解释。第19页20为何要用单位圆？为何要用单位圆？正切线为何在正切线为何在 x=1 这条线上？这条线上？第20页21思索与讨论：思索与讨论：时，时，大小关系。大小关系。xyOABC第21页221.2.3 同角三角函数基本关系式同角三角函数基本关系式例例3.已知已知求求 tan a 值。值。第22页23奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。诱导公式传统处理方式：诱导公式传统处理方式：1.2.4 诱导公式诱导公式第23页24xyaA-aBa+pCA(cos a，sin a)B(cos(-a)，sin(-a)C(cos(a+p)，sin(a+p)第24页25xyaPBNa+p2MA第25页261.3 三角函数图象和性质三角函数图象和性质第26页27 设设 t=sin x，则有，则有 y=(t-1)2+2，t-1，1。转化为二次函数问题。转化为二次函数问题。y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2求求 y=(sin x-1)2+2 值域值域1.3.1 正弦函数图象与性质正弦函数图象与性质第27页28 在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=-1 时，时，|t-1|最大，函数最大，函数 y=(t-1)2+2 取得最大值，最大取得最大值，最大值为值为 6。在闭区间在闭区间-1，1上，当上，当 t=1 时，时，|t-1|最小，函数最小，函数 y=(t-1)2+2 取得最小值，最小取得最小值，最小值为值为 2。第28页29 y=(sin x-1)2+2 y=(sin x-0.5)2+2 y=-(sin x-3)2+2第29页30 “我们能够把我们能够把 2x 当成一个新变量当成一个新变量 u，即，即u=2x。函数。函数 y=sin u 周期为周期为 2p，这就是说，当，这就是说，当 u 增加到且最少要增加到增加到且最少要增加到 u+2p时，函数值才重时，函数值才重复取得，而复取得，而u+2p=2x+2p=2(x+p)。所以，当自变量所以，当自变量 x 增加到且必须增加到增加到且必须增加到x+p 时，函数值才重复取得。时，函数值才重复取得。所以函数所以函数y=sin 2x 周期为周期为 p。”已知已知 f(x)周期为周期为 T，则，则 f(3x)周期为？周期为？求周期：求周期：y=sin 2x第30页31余弦函数余弦函数正切函数正切函数 先图象还是先性质？先图象还是先性质？1.3.2 余弦函数、正切函数图象和性质余弦函数、正切函数图象和性质第31页32注意细节注意细节数学四第数学四第52页例页例2：判断判断 y=cos x+2 奇偶性。奇偶性。因为因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2，所以所以是偶函数。是偶函数。第32页33 解：把函数解：把函数 y=cos x+2 记为记为f(x)=cos x+2。因为因为 f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x)，所所以是偶函数。以是偶函数。平移平移 y=sin x+2第33页341.3.3 已知三角函数值求角已知三角函数值求角重点在于特殊值，其余了解即可。重点在于特殊值，其余了解即可。课标上没有要求。课标上没有要求。第34页35第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换3.1 和角公式和角公式3.2 倍角公式和半角公式倍角公式和半角公式3.3 三角函数积化和差与和差化积三角函数积化和差与和差化积 课标：经历用向量数量积推导出两角课标：经历用向量数量积推导出两角差余弦公式过程，深入体会向量方法差余弦公式过程，深入体会向量方法作用。作用。第35页363.1 和角公式和角公式3.1.1 两角和与差余弦两角和与差余弦共有四种证实方法：共有四种证实方法：BECAxyOabDF第36页37xyaPQ-bbRA第37页38第38页39xyaPQb存在整数存在整数 k，使得，使得 第39页40探索与研究探索与研究NRQaMxyOPab第40页41练习练习A 1.下式成立吗？下式成立吗？上式一定不成立吗？上式一定不成立吗？恒等问题是学生一个难点。恒等问题是学生一个难点。第41页423.1.2 两角和与差正弦两角和与差正弦 例：已知点例：已知点 P(x，y)，与原点距离保持不变，与原点距离保持不变，逆时针旋转逆时针旋转角到点角到点 P(x，y)。求证：。求证：第42页43 例例 4 求函数求函数 y=asin x+bcos x最大值、最小最大值、最小值和周期，其中值和周期，其中 a，b 是不一样时为零实数。是不一样时为零实数。角角 j 存在性和唯一性。存在性和唯一性。第43页443.1.1 两角和与差正切两角和与差正切第44页453.2 倍角公式倍角公式3.2.1 倍角公式倍角公式第45页463.2.2 半角正弦、余弦和正切公式半角正弦、余弦和正切公式第46页473.3 三角函数积化和差与和差化积三角函数积化和差与和差化积第47页48第48页49探索与研究探索与研究第49页50函数函数 周期和奇偶性。周期和奇偶性。广东广东函数函数 图象经过点图象经过点（0，1），求周期和初相。），求周期和初相。第50页51函数函数 最小正周期最小正周期和最大值分别为和最大值分别为 ，。山东卷山东卷由函数由函数 图象怎样才能得到图象怎样才能得到函数函数 图象？图象？第51页52函数函数 图象。图象。海南、宁夏海南、宁夏若若 ，求，求 值。值。第52页53函数函数 周期和奇偶性。周期和奇偶性。广东广东函数函数 最大值最大值为为 1，图象经过点，图象经过点 。（1）求解析式。）求解析式。（2）已知）已知 ，且，且 求求 值。值。函数函数 最小正周期。最小正周期。第53页54已知已知 ，则，则 值为值为 。山东卷山东卷函数函数 为偶函数，且图象两相邻对称轴距离为为偶函数，且图象两相邻对称轴距离为 。（1）求）求 值。值。（2）平移后求单调区间。）平移后求单调区间。第54页55已知函数已知函数 图图象，求象，求 w w 值。值。海南、宁夏海南、宁夏求求 值。值。函数函数 最值。最值。第55页56 如图，在平面直角坐标系中，以如图，在平面直角坐标系中，以 Ox 轴为轴为始边作两个锐角始边作两个锐角 a、b，它们终边分别与，它们终边分别与单位圆交于单位圆交于A、B两点。已知两点。已知 A、B 横坐标横坐标分别为分别为 、。（1）求）求 tan(a+b)值。值。（2）求）求a+2b 值值江苏江苏xyaBbA第56页57龙正武龙正武 010-第57页