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信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-1页电子教案电子教案第五章第五章 连续系统连续系统s s域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换二、收敛域二、收敛域三、三、(单边单边)拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.3 5.3 拉普拉斯变换逆变换拉普拉斯变换逆变换5.4 5.4 复频域分析复频域分析一、微分方程变换解一、微分方程变换解二、系统函数二、系统函数三、系统三、系统s域框图域框图四、电路四、电路s域模型域模型点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节第1页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-2页电子教案电子教案第五章第五章 连续系统连续系统s s域分析域分析 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可为基本信号，任意信号可分解为众多不一样频率虚指数分量之和。使响应求解得分解为众多不一样频率虚指数分量之和。使响应求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些主要信号不存在傅里叶变换，如）有些主要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态系统难于利用频域分析。）对于给定初始状态系统难于利用频域分析。在这一章将经过把频域中傅里叶变换推广到复频域在这一章将经过把频域中傅里叶变换推广到复频域来处理这些问题。来处理这些问题。本章引入本章引入复频率复频率 s=+j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不一样复频率复指数分量之和。号，任意信号可分解为不一样复频率复指数分量之和。这里用于系统分析独立变量是这里用于系统分析独立变量是复频率复频率 s，故称为，故称为s域分析域分析。所采取数学工具为拉普拉斯变换。所采取数学工具为拉普拉斯变换。第2页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-3页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t)，适当选取适当选取 值，使乘积信号值，使乘积信号f(t)e-t当当t时信号幅度时信号幅度趋近于趋近于0，从而使，从而使f(t)e-t傅里叶变换存在。傅里叶变换存在。对应傅里叶逆变换对应傅里叶逆变换 为为f(t)e-t=F Fb b(+j+j)=)=f(t)e-t=令令s=+j,d =ds/j，有，有第3页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-4页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为称为f(t)双边拉氏变换（或象函数），双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为Fb(s)双边拉氏逆变换（或原函数）。双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域二、收敛域 只有选择适当只有选择适当 值才能使积分收敛，信号值才能使积分收敛，信号f(t)双边拉普双边拉普拉斯变换存在。拉斯变换存在。使使 f(t)拉氏变换存在拉氏变换存在 取值范围称为取值范围称为Fb(s)收敛域。收敛域。下面举例说明下面举例说明Fb(s)收敛域问题。收敛域问题。第4页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-5页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例1 因果信号因果信号f1(t)=e t (t)，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。收敛域如图所表示。收敛域如图所表示。收敛域收敛域收敛边界收敛边界第5页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-6页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换例例2 反因果信号反因果信号f2(t)=e t(-t)，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。解解 可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其收敛域时，其收敛域为为 Res 2Res=3 3 2可见，象函数相同，但收敛域不一样。可见，象函数相同，但收敛域不一样。双边拉氏变换双边拉氏变换必须标出收敛域。必须标出收敛域。第8页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-9页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换通常碰到信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐通常碰到信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这么，标原点。这么，t ，能够省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。，能够省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换三、单边拉氏变换 简记为简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或或 f(t)F(s)第9页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-10页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换四、常见函数拉普拉斯变换四、常见函数拉普拉斯变换 1、(t)1，-2、(t)或或1 1/s，03、指数函数、指数函数e-s0t -Res0cos 0t=(ej 0t+e e-j-j 0t)/2 sin 0t=(ej 0t e e-j-j 0t)/2j 第10页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-11页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换4、周期信号、周期信号fT(t)特例特例：T(t)1/(1 e-sT)第11页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-12页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换关系五、单边拉氏变换与傅里叶变换关系 Res 0 要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。依据收敛坐标依据收敛坐标 0值可分为以下三种情况：值可分为以下三种情况：（1）0-2；则则 F(j)=1/(j+2)第12页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-13页电子教案电子教案5.1 5.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换（2）0=0，即即F(s)收敛边界为收敛边界为j 轴，轴，如如f(t)=(t)F(s)=1/s=()+1/j （3）0 0，F(j)不存在。不存在。例例f(t)=e2t(t)F(s)=1/(s 2),2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。第13页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-14页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质一、线性性质一、线性性质若若f1(t)F1(s)Res 1,f2(t)F2(s)Res 2则则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2)例例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0 二、尺度变换二、尺度变换若若f(t)F(s),Res 0，且有实数，且有实数a0，则则f(at)Resa 0 第14页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-15页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例：如图信号例：如图信号f(t)拉氏变换拉氏变换F(s)=求图中信号求图中信号y(t)拉氏变换拉氏变换Y(s)。解：解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=42 F(2s)第15页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-16页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特征三、时移（延时）特征 若若f(t)F(s),Res 0,且有实常数且有实常数t00,则则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res 0 与尺度变换相结合与尺度变换相结合f(at-t0)(at-t0)例例1:求如图信号单边拉氏变换。求如图信号单边拉氏变换。解：解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)第16页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-17页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知已知f1(t)F1(s),求求f2(t)F2(s)解：解：f2(t)=f1(0.5t)f1 0.5(t-2)f1(0.5t)2F1(2s)f1 0.5(t-2)2F1(2s)e-2sf2(t)2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)=e-2(t-1)(t)F(s)=?第17页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-18页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质四、复频移（四、复频移（s s域平移）特征域平移）特征 若若f(t)F(s),Res 0 ,且有复常数且有复常数sa=a+j a,则则f(t)esat F(s-sa),Res 0+a 例例1:已知因果信号已知因果信号f(t)象函数象函数F(s)=求求e-tf(3t-2)象函数。象函数。解：解：e-tf(3t-2)例例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?解解cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4)第18页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-19页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质五、时域微分特征（微分定理）五、时域微分特征（微分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-)f(n)(t)snF(s)若若f(t)为因果信号，则为因果信号，则f(n)(t)snF(s)例例1:(n)(t)?例例2:例例3:第19页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-20页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质六、时域积分特征（积分定理）六、时域积分特征（积分定理）若若f(t)F(s),Res 0,则则 例例1:t2(t)?第20页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-21页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2:已知因果信号已知因果信号f(t)如图如图,求求F(s)解解：对：对f(t)求导得求导得f(t)，如图，如图因为因为f(t)为因果信号，故为因果信号，故f(0-)=0f(t)=(t)(t 2)(t 2)F1(s)结论：若结论：若f(t)为因果信号，已知为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则则 f(t)Fn(s)/sn第21页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-22页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质七、卷积定理七、卷积定理 时域卷积定理时域卷积定理 若因果函数若因果函数 f1(t)F1(s),Res 1 ,f2(t)F2(s),Res 2则则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s)复频域（复频域（s域）卷积定理域）卷积定理 例例1：t(t)?例例2：已知：已知F(s)=例例3：第22页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-23页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质八、八、s s域微分和积分域微分和积分 若若f(t)F(s),Res 0,则则 例例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2)t2e-2t(t)第23页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-24页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例2：例例3：第24页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-25页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理九、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理惯用于由初值定理和终值定理惯用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而无须求出原函数而无须求出原函数f(t)初值定理初值定理设函数设函数f(t)不含不含(t)及其各阶导数（即及其各阶导数（即F(s)为真分式，为真分式，若若F(s)为假分式化为真分式），为假分式化为真分式），则则 终值定理终值定理 若若f(t)当当t 时存在，而且时存在，而且 f(t)F(s),Res 0,00，则，则 第25页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-26页电子教案电子教案5.2 5.2 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换性质例例1：例例2：第26页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-27页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常方法通常方法（1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3）部分分式展开部分分式展开 -结合结合 若象函数若象函数F(s)是是s有理分式，可写为有理分式，可写为 若若mn（假分式）（假分式）,可用多项式除法将象函数可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。第27页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-28页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换因为因为L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式，故多项式P(s)拉普拉斯逆变换由冲激函数组成。拉普拉斯逆变换由冲激函数组成。下面主要讨论有理真分式情形。下面主要讨论有理真分式情形。部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s实系数有理真分式（实系数有理真分式（mn)，则可写为，则可写为 式中式中A(s)称为称为F(s)特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特征特征方程方程，它根称为，它根称为特征根特征根，也称为，也称为F(s)固有频率固有频率（或自（或自然频率）。然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)极点极点。第28页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-29页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）为单极点（单根）例例1:1:第29页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-30页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第30页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-31页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例2:2:第31页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-32页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第32页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-33页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换特例特例：若：若F(s)包含共轭复根时包含共轭复根时(p1,2=j)K2=K1*f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若写为若写为K1,2=A jBf1(t)=2e-tAcos(t)Bsin(t)(t)第33页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-34页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例3 3第34页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-35页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第35页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-36页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换例例4：求象函数求象函数F(s)原函数原函数f(t)。解：解：A(s)=0有有6个单根，它们分别是个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1 j1，故，故 K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1 K3=(s j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1 j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*第36页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-37页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）有重极点（重根）若若A(s)=0在在s=p1处有处有r重根，重根，K11=(s p1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 第37页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-38页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换举例举例:第38页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-39页电子教案电子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换第39页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-40页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析 5.4 5.4 复复频频域域系统系统分析分析 一、微分方程变换解一、微分方程变换解 描述描述n阶系统微分方程普通形式为阶系统微分方程普通形式为 系统初始状态为系统初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。思绪思绪：用：用拉普拉斯变换微分特征拉普拉斯变换微分特征若若f(t)在在t=0时接入系统，则时接入系统，则 f(j)(t)s j F(s)第40页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-41页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析例例1 描述某描述某LTI系统微分方程为系统微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知初始状态已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励，激励f(t)=5cost(t)，求系统全响应求系统全响应y(t)解解：方程取拉氏变换，并整理得方程取拉氏变换，并整理得y(t)，yx(t)，yf(t)s域代数方程Yx(s)Yf(s)第41页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-42页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析y(t)=2e2t (t)e3t (t)-4e2t (t)+yx(t)yf(t)暂态分量暂态分量yt(t)稳态分量稳态分量ys(t)若已知若已知y(0+)=1，y(0+)=9Yx(s)Yf(s)第42页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-43页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析二、系统函数二、系统函数 系统函数系统函数H(s)定义为定义为 它只与系统结构、元件参数相关，而与激励、初始状它只与系统结构、元件参数相关，而与激励、初始状态无关。态无关。yf(t)=h(t)*f(t)H(s)=L h(t)Yf(s)=L h(t)F(s)第43页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-44页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析例例2 已知当输入已知当输入f(t)=e-t(t)时，某时，某LTI因果系统零状因果系统零状态响应态响应 yf(t)=(3e-t -4e-2t +e-3t)(t)求该系统冲激响应和描述该系统微分方程。求该系统冲激响应和描述该系统微分方程。解解h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t)微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t)s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s)取逆变换取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t)=2f(t)+8f(t)第44页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-45页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析三、系统三、系统s域框图域框图 时域框图基本单元时域框图基本单元f(t)af(t)y(t)=a f(t)s域框图基本单元域框图基本单元s1F(s)Y(s)=s1F(s)aF(s)Y(s)=a F(s)f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)+F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)+第45页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-46页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析X(s)s-1X(s)s-2X(s)例例3 如图框图，列出其微分方程如图框图，列出其微分方程解解 画出画出s域框图域框图,s-1s-1F(s)Y(s)设左边加法器输出为设左边加法器输出为X(s)，如图，如图X(s)=F(s)3s-1X(s)2s-2X(s)s域代数方程Y(s)=X(s)+4s-2X(s)微分方程为微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t)再求再求h(t)?第46页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-47页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析四、电路四、电路s域模型域模型 对时域电路取拉氏变换对时域电路取拉氏变换 1、电阻、电阻 u(t)=R i(t)2、电感、电感 U(s)=sLIL(s)LiL(0-)U(s)=R I(s)元件元件s域模域模型型第47页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-48页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析3、电容、电容 I(s)=sCUC(s)CuC(0-)4、KCL、KVL方程方程第48页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统滨州学院 物理与电子科学系第5-49页电子教案电子教案5.4 5.4 复复频频域分析域分析例例4 如图所表示电路，已知如图所表示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=(t)，起始状态，起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压，求电压u(t)。解解 画出电路画出电路s域模型域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=et(t)3tet(t)V 若求若求ux(t)和和uf(t)第49页