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信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-1页电子教案电子教案第第七七章章 系统函数系统函数 7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征一、系统函数零、极点分布图一、系统函数零、极点分布图二、系统函数与时域响应二、系统函数与时域响应三、系统函数收敛域与极点关系三、系统函数收敛域与极点关系四、系统函数与频率响应四、系统函数与频率响应7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性7.3 7.3 信号流图信号流图7.4 7.4 系统模拟系统模拟一、直接实现一、直接实现二、级联实现二、级联实现三、并联实现三、并联实现点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节第1页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-2页电子教案电子教案第第七七章章 系统函数系统函数7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征一、一、系统函数零、极点分布图系统函数零、极点分布图LTI系统系统函数是复变量系统系统函数是复变量s或或z有理分式，即有理分式，即A(.)=0根根p1，p2，pn称为系统函数称为系统函数H(.)极点；极点；B(.)=0根根 1，2，m称为系统函数称为系统函数H(.)零点。零点。将零极点画在复平面上将零极点画在复平面上得得零、极点分布图。零、极点分布图。例例第2页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-3页电子教案电子教案例例：已知：已知H(s)零、极点分布图如示，而且零、极点分布图如示，而且h(0+)=2。求。求H(s)表示式。表示式。解解：由分布图可得：由分布图可得依据初值定理，有依据初值定理，有7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征第3页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-4页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征二、系统函数二、系统函数H()与时域响应与时域响应h()冲激响应或单位序列响应函数形式由冲激响应或单位序列响应函数形式由H(.)极点确定。极点确定。下面讨论下面讨论H(.)极点位置与其时域响应函数形式。极点位置与其时域响应函数形式。所讨论系统均为因果系统。所讨论系统均为因果系统。1连续因果系统连续因果系统H(s)按其极点在按其极点在s平面上位置可分为平面上位置可分为:在左半开平面、在左半开平面、虚轴和右半开平面三类。虚轴和右半开平面三类。（1）在左半平面）在左半平面(a)若系统函数有若系统函数有负实单极点负实单极点p=(0)，则，则A(s)中有因中有因子子(s+)，其所对应响应函数为，其所对应响应函数为Ke-t(t)第4页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-5页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征(b)若有若有一对共轭复极点一对共轭复极点p12=-j，则，则A(s)中有因子中有因子(s+)2+2-Ke-tcos(t+)(t)(c)若有若有r重极点重极点，则则A(s)中有因子中有因子(s+)r或或(s+)2+2r，其响应为，其响应为Kitie-t(t)或或Kitie-tcos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)以上三种情况：当以上三种情况：当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。暂态分量。暂态分量。（2）在虚轴上）在虚轴上(a)单极点单极点p=0或或p12=j，则响应为则响应为K(t)或或Kcos(t+)(t)-稳态分量稳态分量(b)r重极点重极点，对应，对应A(s)中有中有sr或或(s2+2)r，其响应函数为，其响应函数为Kiti(t)或或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,r-1)递增函数递增函数第5页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-6页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征（3）在右半开平面在右半开平面：均为均为递增函数递增函数。综合结论综合结论：LTI连续因果系统连续因果系统h(t)函数形式由函数形式由H(s)极点确定。极点确定。H(s)在左半平面极点所对应响应函数为衰减。即当在左半平面极点所对应响应函数为衰减。即当t时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(s)在虚轴上一阶极点所对应响应函数为稳态分量。在虚轴上一阶极点所对应响应函数为稳态分量。H(s)在虚轴上高阶极点或右半平面上极点，其所对应在虚轴上高阶极点或右半平面上极点，其所对应响应函数都是递增。响应函数都是递增。即当即当t时，响应均趋于时，响应均趋于。第6页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-7页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征2离散因果系统离散因果系统H(z)按其极点在按其极点在z平面上位置可分为平面上位置可分为:在在单位圆内单位圆内、在在单位圆上单位圆上和在和在单位圆外单位圆外三类。三类。依据依据z与与s对应关系，有对应关系，有结论结论：H(z)在单位圆内极点所对应响应序列为衰减。即当在单位圆内极点所对应响应序列为衰减。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于0。H(z)在单位圆上一阶极点所对应响应函数为稳态响在单位圆上一阶极点所对应响应函数为稳态响应。应。H(z)在单位圆上高阶极点或单位圆外极点，其所对在单位圆上高阶极点或单位圆外极点，其所对应响应序列都是递增。即当应响应序列都是递增。即当k时，响应均趋于时，响应均趋于。第7页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-8页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征三、系统函数收敛域与其极点之间关系三、系统函数收敛域与其极点之间关系依据收敛域定义，依据收敛域定义，H()收敛域不能含收敛域不能含H()极点。极点。例例：某离散系统系统函数：某离散系统系统函数(1)若系统为因果系统，求单位序列响应若系统为因果系统，求单位序列响应h(k);(2)若系统为反因果系统，求单位序列响应若系统为反因果系统，求单位序列响应h(k);(3)若系统存在频率响应，求单位序列响应若系统存在频率响应，求单位序列响应h(k);解解(1)|z|3，h(k)=(-0.5)k+(3)k(k)(2)|z|0.5，h(k)=-(-0.5)k-(3)k(-k-1)(3)0.5|z|3，h(k)=(-0.5)k(k)-(3)k(-k-1)第8页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-9页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征四、系统函数与频率响应四、系统函数与频率响应1、连续因果系统、连续因果系统若系统函数若系统函数H(s)极点均在左半平面，则它在虚轴上极点均在左半平面，则它在虚轴上(s=j)也收敛，有也收敛，有H(j)=H(s)|s=j，下面介绍两种常见系统。下面介绍两种常见系统。（1）全通函数）全通函数若系统幅频响应若系统幅频响应|H(j)|为常数，则称为为常数，则称为全通系统全通系统，其，其对应对应H(s)称为称为全通函数全通函数。凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，而且全部零点与极点对于虚轴为一一镜像对称系统函而且全部零点与极点对于虚轴为一一镜像对称系统函数即为全通函数。数即为全通函数。第9页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-10页电子教案电子教案7.1 7.1 系统函数与系统特征系统函数与系统特征（2）最小相移函数）最小相移函数右半开平面没有零点系统函数称为右半开平面没有零点系统函数称为最小相移函数最小相移函数。解释见解释见p3362、离散因果系统、离散因果系统若系统函数若系统函数H(z)极点均在单位圆内，则它在单位圆上极点均在单位圆内，则它在单位圆上(|z|=1)也收敛，有也收敛，有H(ej)=H(z)|z=ej，式中式中=Ts，为角频率，为角频率，Ts为取样周期。为取样周期。第10页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-11页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性一、因果系统一、因果系统因果系统是指，系统零状态响应因果系统是指，系统零状态响应yf(.)不会出现于不会出现于f(.)之前系统。之前系统。连续因果系统连续因果系统充分必要条件是：冲激响应充分必要条件是：冲激响应h(t)=0,t0离散因果系统离散因果系统充分必要条件是：单位响应充分必要条件是：单位响应h(k)=0,k0第11页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-12页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性二、系统稳定性二、系统稳定性1、稳定系统定义、稳定系统定义一个系统，若对任意有界输入，其零状态响应也是有界，一个系统，若对任意有界输入，其零状态响应也是有界，则称该系统是有界输入有界输出则称该系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定系统，简稳定系统，简称为称为稳定系统稳定系统。即即，若系统对全部激励，若系统对全部激励|f(.)|Mf，其零状态响应，其零状态响应|yf(.)|My，则称该系统稳定。，则称该系统稳定。（1）连续系统稳定充分必要条件是）连续系统稳定充分必要条件是若若H(s)收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。第12页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-13页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性（2）离散系统稳定充分必要条件是）离散系统稳定充分必要条件是若若H(z)收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。例例1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若为因果系统，求若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。，并判断是否稳定。(2)若为稳定系统，求若为稳定系统，求h(k).解解(1)为因果系统，故收敛域为为因果系统，故收敛域为|z|2，所以，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不稳定。，不稳定。(2)若为稳定系统，故收敛域为若为稳定系统，故收敛域为0.5|z|2，所以，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1)第13页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-14页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性因果系统稳定性充分必要条件可简化为因果系统稳定性充分必要条件可简化为（3）连续因果系统连续因果系统因为因果系统左半开平面极点对应响应为衰减函数。故，因为因果系统左半开平面极点对应响应为衰减函数。故，若若H(s)极点均在左半开平面极点均在左半开平面，则该系统必是稳定因果系，则该系统必是稳定因果系统。统。（4）离散因果系统离散因果系统因为因果系统单位圆内极点对应响应为衰减函数。故，因为因果系统单位圆内极点对应响应为衰减函数。故，若若H(z)极点均在单位圆内极点均在单位圆内，则该系统必是稳定因果系，则该系统必是稳定因果系统。统。第14页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-15页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性例例1：如图反馈因果系统，问当如图反馈因果系统，问当K满足什么条件时，系满足什么条件时，系统是稳定？其中子系统系统函数统是稳定？其中子系统系统函数G(s)=1/(s+1)(s+2)解解：设：设加法器输出信号加法器输出信号X(s)X(s)X(s)=KY(s)+F(s)Y(s)=G(s)X(s)=KG(s)Y(s)+G(s)F(s)H(s)=Y(s)/F(s)=G(s)/1-KG(s)=1/(s2+3s+2-k)H(s)极点为极点为为使极点在左半平面，必须为使极点在左半平面，必须(3/2)2-2+k(3/2)2,k2，即当，即当k2，系统稳定。，系统稳定。第15页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-16页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性例例2：如图离散因果系统框图如图离散因果系统框图，为使系统稳定，为使系统稳定，求常量求常量a取值范围取值范围解解：设：设加法器输出信号加法器输出信号X(z)X(z)z-1X(z)X(z)=F(z)+z-1aX(z)Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)为使系统稳定，为使系统稳定，H(z)极点必须在单位园内，极点必须在单位园内，故故|a|0，不难得，不难得出，出，A(s)为霍尔维兹多项式条件为：为霍尔维兹多项式条件为：a10，a00例例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2罗斯阵列：罗斯阵列：212218028.502第第1列元素符号改变列元素符号改变2次，所以，有次，所以，有2个根位于右半平面。个根位于右半平面。注意：注意：在排罗斯阵列在排罗斯阵列时，可能碰到一些特时，可能碰到一些特殊情况，如第一列某殊情况，如第一列某个元素为个元素为0或某一行元或某一行元素全为素全为0，这时可断言：，这时可断言：该多项式不是霍尔维该多项式不是霍尔维兹多项式。兹多项式。第19页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-20页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性例例2已知某因果系统函数已知某因果系统函数为使系统稳定，为使系统稳定，k应满足什么条件？应满足什么条件？解解列罗斯阵列列罗斯阵列1331+k(8-k)/31+k所以，所以，1k0(2)(-1)nA(-1)0(3)an|a0|cn-1|c0|dn-2|d0|r2|r0|奇数行，其第奇数行，其第1个元素必大于最终一个元素绝对值。个元素必大于最终一个元素绝对值。特例特例：对二阶系统。：对二阶系统。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得易得A(1)0A(-1)0a2|a0|第22页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-23页电子教案电子教案7.2 7.2 系统稳定性系统稳定性例例A(z)=4z4-4z3+2z-1解解4-402-1-120-4415-140440-1415209-2105641，154，20956所以系统稳定。所以系统稳定。(-1)4A(-1)=50排朱里列表排朱里列表A(1)=10第23页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-24页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图7.3 7.3 信号流图信号流图用方框图描述系统功效比较直观。用方框图描述系统功效比较直观。信号流图信号流图是用有是用有向线图描述方程变量之间因果关系一个图，用它描述向线图描述方程变量之间因果关系一个图，用它描述系统比喻框图愈加简便。信号流图首先由系统比喻框图愈加简便。信号流图首先由Mason于于1953年提出，应用非常广泛。年提出，应用非常广泛。信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与框图本质是一样，但简便多了。框图本质是一样，但简便多了。一、信号流图一、信号流图 1、定义、定义：信号流图是由结点和有向线段组成几何图形。：信号流图是由结点和有向线段组成几何图形。它能够简化系统表示，并便于计算系统函数。它能够简化系统表示，并便于计算系统函数。2、信号流图中惯用术语、信号流图中惯用术语第24页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-25页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图(1)结点结点：信号流图中每个结点表示一个变量或信号。信号流图中每个结点表示一个变量或信号。(2)支路和支路增益支路和支路增益：连接两个结点之间有向线段称为连接两个结点之间有向线段称为支路支路。每条支路上权值（每条支路上权值（支路增益支路增益）就是该两结点间系统函数）就是该两结点间系统函数（转移函数）（转移函数）F(s)H(s)Y(s)即即用一条有向线段表示一个子系统用一条有向线段表示一个子系统。(3)源点与汇点源点与汇点，混合结点混合结点：仅有出支路结点称为仅有出支路结点称为源点源点（或输入结点）。（或输入结点）。仅有入支路结点称为仅有入支路结点称为汇点汇点（或输出结点）。（或输出结点）。有入有出结点为有入有出结点为混合结点混合结点第25页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-26页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图沿箭头指向从一个结点到其它结点路径称为沿箭头指向从一个结点到其它结点路径称为通路通路。假如通路与任一结点相遇不多于一次，则称为假如通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路开通路。若通路终点就是通路起点（与其余结点相遇不多于一次）若通路终点就是通路起点（与其余结点相遇不多于一次），则称为，则称为闭通路闭通路。相互没有公共结点回路，称为相互没有公共结点回路，称为不接触回路不接触回路。只有一个结点和一条支路回路称为只有一个结点和一条支路回路称为自回路自回路。(5)前向通路前向通路：从源点到汇点开通路称为：从源点到汇点开通路称为前向通路前向通路。(6)前向通路增益，回路增益前向通路增益，回路增益：前向通路中各支路增益乘积称为前向通路中各支路增益乘积称为前向通路增益前向通路增益。回路中各支路增益乘积称为回路中各支路增益乘积称为回路增益回路增益。(4)通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路通路、开通路、闭通路（回路、环）、不接触回路、自回路：第26页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-27页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图3、信号流图基本性质、信号流图基本性质（1）信号只能沿支路箭头方向传输。）信号只能沿支路箭头方向传输。支路输出支路输出=该支路输入与支路增益乘积。该支路输入与支路增益乘积。（2）当结点有多个输入时，该接点将全部输入支路）当结点有多个输入时，该接点将全部输入支路信号相加，并将和信号传输给全部与该结点相连输出信号相加，并将和信号传输给全部与该结点相连输出支路。支路。如如：x4=ax1+bx2+dx5x3=cx4x6=ex4（3）混合结点可经过增加一个增益为）混合结点可经过增加一个增益为1出支路而变为汇出支路而变为汇点。点。第27页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-28页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图4、方框图、方框图流图流图注意：加法器前引入增益为注意：加法器前引入增益为1支路支路5、流图简化基本规则：、流图简化基本规则：（1）支路串联：支路增益相乘。）支路串联：支路增益相乘。X2=H2X3=H2H1X1（2）支路并联：支路增益相加。）支路并联：支路增益相加。X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X1第28页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-29页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图（3）混联：）混联：X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2第29页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-30页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图（4）自环消除：）自环消除：X3=H1X1+H2X2+H3X3全部来向支路除全部来向支路除1H3第30页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-31页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图例例：化简以下流图。：化简以下流图。注意化简详细过程可能不一样，但注意化简详细过程可能不一样，但最终止果一定相同。最终止果一定相同。解解：消：消x3消消x2消消x4消自环消自环第31页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-32页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图二、梅森公式二、梅森公式 上述化简求上述化简求H复杂。利用复杂。利用Mason公式方便。公式方便。系统函数系统函数H(.)记为记为H。梅森公式为：。梅森公式为：称为信号流图特征称为信号流图特征行列式行列式为全部不一样回路增益之和；为全部不一样回路增益之和；为全部两两不接触回路增益乘积之和；为全部两两不接触回路增益乘积之和；为全部三三不接触回路增益乘积之和；为全部三三不接触回路增益乘积之和；i表示由源点到汇点第表示由源点到汇点第i条前向通路标号条前向通路标号Pi是由源点到汇点第是由源点到汇点第i条前向通路增益；条前向通路增益；i称为第称为第i条前向通路特征行列式余因子条前向通路特征行列式余因子。消去接触回路消去接触回路第32页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-33页电子教案电子教案7.3 7.3 信号流图信号流图例例求以下信号流图系统函数求以下信号流图系统函数解解(1)首先找出全部回路：首先找出全部回路：L1=H3GL2=2H1H2H3H5L3=H1H4H5(2)求特征行列式求特征行列式=1-（H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5）+H3GH1H4H5(4)求各前向通路余因子：求各前向通路余因子：1=1，2=1-GH3(3)然后找出全部前向通路：然后找出全部前向通路：p1=2H1H2H3p2=H1H4第33页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-34页电子教案电子教案7.4 7.4 系统模拟系统模拟7.4 7.4 系统模拟系统模拟对框图也可利用梅森公式求系统函数。对框图也可利用梅森公式求系统函数。Mason公式是由流图公式是由流图H(s)或或H(z)下面讨论，由下面讨论，由H(s)或或H(z)流图或方框图流图或方框图一、直接实现一、直接实现-利用利用Mason公式来实现公式来实现例例分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除分子中每项看成是一条前向通路。分母中，除1之外，之外，其余每项看成一个回路。画流图时，全部前向通路与全其余每项看成一个回路。画流图时，全部前向通路与全部回路相接触。全部回路均相接触。部回路相接触。全部回路均相接触。第34页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-35页电子教案电子教案7.4 7.4 系统模拟系统模拟二、级联实现二、级联实现将将H分解为若干简单（一阶或二阶子系统）系统函分解为若干简单（一阶或二阶子系统）系统函数乘积，即数乘积，即H=H1H2Hn一、二阶子系统函数一、二阶子系统函数三、并联实现三、并联实现将将H展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然展开成部分分式，将每个分式分别进行模拟，然后将它们并联起来。后将它们并联起来。第35页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-36页电子教案电子教案7.4 7.4 系统模拟系统模拟例例H(s)=第36页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-37页电子教案电子教案7.4 7.4 系统模拟系统模拟第37页信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第7-38页电子教案电子教案7.4 7.4 系统模拟系统模拟第38页