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LOGO第三章第三章 离散系统时域分析离散系统时域分析3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应 一、差分与差分方程一、差分与差分方程 二、差分方程经典解二、差分方程经典解 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应一、单位序列响应 二、阶跃响应二、阶跃响应3.3 3.3 卷积和卷积和 一、序列分解与卷积和一、序列分解与卷积和 二、卷积图解二、卷积图解 三、不进位乘法三、不进位乘法 四、卷积和性质四、卷积和性质Company Name第1页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2)等称为等称为f(k)移位序列移位序列。仿照连续信号微分运算，定义离散信号仿照连续信号微分运算，定义离散信号差分差分运算。运算。1.差分运算差分运算离散信号改变率有两种表示形式：离散信号改变率有两种表示形式：Company Name第2页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应（1）一阶前向差分定义一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)f(k)（2）一阶后向差分定义一阶后向差分定义：f(k)=f(k)f(k 1)式中，式中，和和 称为差分算子，无标准区分。本书主要用称为差分算子，无标准区分。本书主要用后向差分，简称为后向差分，简称为差分差分。（3）差分线性性质差分线性性质：af1(k)+bf2(k)=a f1(k)+b f2(k)（4）二阶差分定义二阶差分定义：2f(k)=f(k)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)=f(k)f(k-1)f(k-1)f(k-2)=f(k)2 f(k-1)+f(k-2)（5）m m阶差分阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+bmf(k-m)所以，可定义：所以，可定义：Company Name第3页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应2.差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分方程式称为及其各阶差分方程式称为差分方程差分方程。将。将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得普通形式，得普通形式 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)差分方程本质上是递推代数方程，若已知初始条件和激励，差分方程本质上是递推代数方程，若已知初始条件和激励，利用利用迭代法迭代法可求得其数值解。可求得其数值解。例例：若描述某系统差分方程为：若描述某系统差分方程为 y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k),求求y(k)。解解：y(k)=3y(k 1)2y(k 2)+f(k)y(2)=3y(1)2y(0)+f(2)=2 y(3)=3y(2)2y(1)+f(3)=10 普通不易得到解析形式普通不易得到解析形式(闭合闭合)解。解。Company Name第4页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应二、差分方程经典解二、差分方程经典解y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解齐次解yh(k)齐次方程齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0其其特征方程特征方程为为 1+an-1 1+a0 n=0，即，即 n+an-1n 1+a0=0其根其根i(i=1，2，n)称为差分方程称为差分方程特征根特征根。齐次解形式取决于特征根齐次解形式取决于特征根。当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为：Ck当特征根当特征根为为r重根重根时，齐次解时，齐次解yn(k)形式为：形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+C1k+C0)k Company Name第5页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应2.特解特解yp(k):特解形式与激励形式雷同特解形式与激励形式雷同(r1）。（1）激励激励f(k)=km(m0）全部特征根均不等于全部特征根均不等于1时时;yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有有r重等于重等于1特征根时特征根时;yp(k)=krPmkm+P1k+P0（2）激励激励f(k)=ak 当当a不等于特征根时不等于特征根时;yp(k)=Pak 当当a是是r重特征根时重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励f(k)=cos(k)或或sin(k)且且全部特征根均不等于全部特征根均不等于ej ；yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k)Company Name第6页LOGO例例3-1-13-1-1：若描述某系统差分方程为若描述某系统差分方程为:y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k);已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励激励f(k)=2k，k0。求方程全解。求方程全解。解解：特征方程为特征方程为 2+4+4=0 可解得特征根可解得特征根1=2=2，其齐次解，其齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k特解为特解为 yp(k)=P(2)k ,k0代入差分方程得代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k，解得解得 P=1/4所以得特解：所以得特解：yp(k)=2k2 ,k0故全解为故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2 ,k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1,C2=1/4 3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应Company Name第7页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应 y(k)=yx(k)+yf(k),也能够也能够分别分别用经典法求解。用经典法求解。y(j)=yx(j)+yf(j),j=0,1,2,n 1设设激励激励f(k)在在k=0时接入系统时接入系统，通常以通常以y(1),y(2),，y(n)描述系统描述系统初始状态初始状态。yf(1)=yf(2)=yf(n)=0 所所以以 y(1)=yx(1),y(2)=yx(2),，y(n)=yx(n)然然后后利利用用迭迭代代法法分分别别求求得得零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响应应初初始值始值yx(j)和和yf(j)(j=0,1,2,，n 1)Company Name第8页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应例例3-1-2：若描述某离散系统差分方程为：若描述某离散系统差分方程为:y(k)+3y(k 1)+2y(k 2)=f(k),已知激励已知激励f(k)=2k,k0，初，初始状态始状态y(1)=0,y(2)=1/2,求系统零输入响应、零状态响应求系统零输入响应、零状态响应和全响应。和全响应。解解：（：（1）yx(k)满足方程满足方程 yx(k)+3yx(k 1)+2yx(k 2)=0其初始状态其初始状态yx(1)=y(1)=0,yx(2)=y(2)=1/2首先递推求出初始值首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=3yx(k 1)2yx(k 2)yx(0)=3yx(1)2yx(2)=1 ,yx(1)=3yx(0)2yx(1)=3方程特征根为方程特征根为1=1，2=2 ，其解为其解为 yx(k)=Cx1(1)k+Cx2(2)k 将初始值代入将初始值代入 并解得并解得 Cx1=1,Cx2=2 所以所以 yx(k)=(1)k 2(2)k ,Company Name第9页LOGO3.1 LTI3.1 LTI离散系统响应离散系统响应 yf(k)+3yf(k 1)+2yf(k 2)=f(k)初始状态初始状态yf(1)=yf(2)=0递推求初始值递推求初始值 yf(0),yf(1)，yf(k)=3yf(k 1)2yf(k 2)+2k,k0 yf(0)=3yf(1)2yf(2)+1=1 yf(1)=3yf(0)2yf(1)+2=1分别求出齐次解和特解分别求出齐次解和特解，得，得 yf(k)=Cf1(1)k+Cf2(2)k+yp(k)=Cf1(1)k+Cf2(2)k+(1/3)2k代入初始值代入初始值求得求得 Cf1=1/3 ,Cf2=1 所以所以 yf(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k ,k0（2）零状态响应零状态响应yf(k)满足满足Company Name第10页LOGO3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应一、单位序列响应 由单位序列由单位序列(k)所引发所引发零状态响应零状态响应称为称为单位序列响应单位序列响应或或单单位样值响应位样值响应或或单位取样响应单位取样响应，或简称，或简称单位响应单位响应，记为，记为h(k)。h(k)=T0,(k)例例3-2-1 已知某系统差分方程为已知某系统差分方程为 y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应求单位序列响应h(k)。解解:依据依据h(k)定义定义 有有 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)（1）h(1)=h(2)=0（1）递推求初始值）递推求初始值h(0)和和h(1)。Company Name第11页LOGO3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 h(k)=h(k 1)+2h(k 2)+(k)h(0)=h(1)+2h(2)+(0)=1 h(1)=h(0)+2h(1)+(1)=1(2)求求h(k)。对于对于k 0，h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k)h(k 1)2h(k 2)=0 其特征方程为其特征方程为(+1)(2)=0 所以所以 h(k)=C1(1)k+C2(2)k ，k0h(0)=C1+C2=1,h(1)=C1+2C2=1 解得解得C1=1/3 ,C2=2/3 h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k ,k0或写为或写为h(k)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)方程（方程（1）移项写为）移项写为Company Name第12页LOGO3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应 例例3-2-2：若方程为：若方程为：y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)f(k 2)求单位序列响应求单位序列响应h(k)解解:h(k)满足满足 h(k)h(k 1)2h(k 2)=(k)(k 2)令只有令只有(k)作用时，系统单位序列响应作用时，系统单位序列响应h1(k),它满足它满足 h1(k)h1(k 1)2h1(k 2)=(k)依据线性时不变性，依据线性时不变性，h(k)=h1(k)h1(k 2)=(1/3)(1)k+(2/3)(2)k(k)(1/3)(1)k 2+(2/3)(2)k2(k 2)Company Name第13页LOGO3.2 3.2 单位序列响应和阶跃响应单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T(k),0因为因为，(k)=(k)(k 1)=(k)所以所以，h(k)=g(k)(k2k1)两个惯用求两个惯用求和公式：和公式：Company Name第14页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和一、卷积和一、卷积和1.序列时域分解序列时域分解任意离散序列任意离散序列f(k)可表示为可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1)+f(0)(k)+f(1)(k-1)+f(2)(k-2)+f(i)(k i)+Company Name第15页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和2.任意任意序列作用下零状态响应序列作用下零状态响应yf(k)f(k)依据依据h(k)定义：定义：(k)h(k)由时不变性：由时不变性：(k-i)h(k-i)f(i)(k-i)由齐次性：由齐次性：f(i)h(k-i)由叠加性：由叠加性：f(k)yf(k)卷积和卷积和Company Name第16页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和3.卷积和定义卷积和定义 已知定义在区间（已知定义在区间（，）上两个函数）上两个函数f1(k)和和f2(k)，则定义和则定义和 为为f1(k)与与f2(k)卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(k)=f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设变量：求和是在虚设变量 i 下进行，下进行，i 为求和变量，为求和变量，k 为参变为参变量。结果仍为量。结果仍为k 函数。函数。Company Name第17页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和例例3-3-1：f(k)=a k(k),h(k)=b k(k)，求求yf(k)。解解：yf(k)=f(k)*h(k)当当i k时，时，(k-i)=0(k)*(k)=(k+1)(k)Company Name第18页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和二、卷积图解法二、卷积图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：k换为换为 i得得 f1(i)，f2(i)（2）反转平移反转平移：由：由f2(i)反转反转 f2(i)右移右移k f2(k i)（3）乘积乘积：f1(i)f2(k i)（4）求和求和：i 从从 到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。Company Name第19页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和例例3-3-2：f1(k)、f2(k)如图所表示，如图所表示，已知已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求，求f(2)=？解解：（1）换元）换元（2）f2(i)反转得反转得f2(i)（3）f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4）f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2)=4.5f2(i)f2(2i)Company Name第20页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积f(k)=全部两序列序号之和为全部两序列序号之和为k 那些样本乘积之和。如那些样本乘积之和。如k=2时时f(2)=+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+例例 f1(k)=0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0 f2(k)=0，f2(0)，f2(1)，0=+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+f1(i)f2(k i)+Company Name第21页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)=0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0 排成乘法排成乘法Company Name第22页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和例例 f1(k)=0，2，1，5，0 k=1 f2(k)=0，3，4，0，6，0 k=03，4，0，62，1，5解解15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+6，11，19，32，6，30求求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)=0，6，11，19，32，6，30 k=1教材上还提出一个列教材上还提出一个列表法，本质是一样。表法，本质是一样。Company Name第23页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和四、卷积和性质四、卷积和性质1.满足乘法三律满足乘法三律：(1)交换律交换律,(2)分配律分配律,(3)结合律结合律.2.f(k)*(k)=f(k)，f(k)*(k k0)=f(k k0)3.f(k)*(k)=4.f1(k k1)*f2(k k2)=f1(k k1 k2)*f2(k)5.f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)求卷积和是本章重点。求卷积和是本章重点。Company Name第24页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和例例3-3-3:如图复合系统由三个子系统组成，其中如图复合系统由三个子系统组成，其中h1(k)=(k)，h2(k)=(k 5)，求复合系统单位序列响应，求复合系统单位序列响应h(k)。解解:依据依据h(k)定义，有定义，有h(k)=(k)*h1(k)(k)*h2(k)*h1(k)=h1(k)h2(k)*h1(k)=h1(k)*h1(k)h2(k)*h1(k)=(k)*(k)(k 5)*(k)=(k+1)(k)(k+1 5)(k 5)=(k+1)(k)(k 4)(k 5)Company Name第25页LOGO3.3 3.3 卷积和卷积和例例3-3-4:如图复合系统由两个子系统级联组成，其中如图复合系统由两个子系统级联组成，其中h1(k)=2cos(k)，h2(k)=ak(k)，激励激励f(k)=(k)a(k-1)，求复合系统零状态响应响应，求复合系统零状态响应响应yf(k)。解解yf(k)=f(k)*h1(k)*h2(k)=2cos(k)*ak(k)*(k)a(k-1)=2cos(k)*ak(k)-ak(k-1)=2cos(k)*(k)=2cos(k)Company Name第26页