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DMU 大 连 海 事 大 学 数 学 系王志平11月高等数学高等数学第1页DMU 第十章第十章积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长曲线积分对坐标曲线积分对面积曲面积分对坐标曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 第2页DMU 第十章第十章 曲线积分与曲面积分第一节第一节第一节第一节 对弧长曲线积分对弧长曲线积分对弧长曲线积分对弧长曲线积分第二节第二节第二节第二节 对坐标曲线积分对坐标曲线积分对坐标曲线积分对坐标曲线积分 第三节第三节第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用 第四节第四节第四节第四节 曲线积分与路径无关条件曲线积分与路径无关条件曲线积分与路径无关条件曲线积分与路径无关条件第五节第五节第五节第五节 对面积曲面积分对面积曲面积分对面积曲面积分对面积曲面积分第六节第六节第六节第六节 对坐标曲面积分对坐标曲面积分对坐标曲面积分对坐标曲面积分第七节第七节第七节第七节 高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式 通量通量通量通量 散度散度散度散度第八节第八节第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量环流量环流量环流量 与旋度与旋度与旋度与旋度第3页DMU 第一节第一节 对弧长曲线积分对弧长曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 总结总结第4页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分定义定义 第5页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分定义：设 L 是xoy面内一条光滑曲线弧,f(x,y)在 L上有界,都存在,L上对弧长曲线积分,记作若经过对 L 任意分割局部任意取点,以下“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，L 称为积分弧段.注：注：和对第6页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分性质性质性质性质（k 为常数)(L由 组成)(l 为曲线弧 L 长度)第7页DMU 对弧长曲线积分计算法对弧长曲线积分计算法基本思绪基本思绪:计算定积分转 化定理定理:且上连续函数,解释解释:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分弧微分：又(x,y)在L上 对弧长曲线积分对弧长曲线积分第8页DMU 假如曲线假如曲线假如曲线假如曲线 L L 方程为方程为方程为方程为则有假如方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧参数方程为则第9页DMU 例例1.1.计算计算计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间一段弧.解解:上点 O(0,0)对弧长曲线积分对弧长曲线积分注：注：注：注：化为定积分时上限一定大于下限第10页DMU 例例2.2.计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋一段弧.解解:线对弧长曲线积分对弧长曲线积分第11页DMU 例例3.3.计算计算计算计算其中为球面 被平面 所截圆周.解解:由对称性可知对弧长曲线积分对弧长曲线积分对弧长曲线积分也有类似于重积分对称性第12页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分第13页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分第14页DMU 对弧长曲线积分对弧长曲线积分第15页DMU 质量质心转动惯量对弧长曲线积分对弧长曲线积分第16页DMU 总结总结对弧长曲线积分对弧长曲线积分第17页DMU 第二节第二节 对坐标曲线积分对坐标曲线积分 n 定义及性质定义及性质 n 计算计算n 两类曲线积分之间关系两类曲线积分之间关系n 总结总结第18页DMU 对坐标曲线积分概念与性质对坐标曲线积分概念与性质对坐标曲线积分概念与性质对坐标曲线积分概念与性质1.引例引例:变力沿曲线所作功.设一质点受以下变力作用从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作功处理方法:变力所作功W.对坐标曲线积分对坐标曲线积分第19页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分1)1)“大化小大化小”.2)“常代变常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第20页DMU 3)3)“近似和近似和”4)“取极限取极限”(其中 为 n 个小弧段最大长度)记作对坐标曲线积分对坐标曲线积分第21页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分2.2.定义定义定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧 L 上对坐标曲线积分坐标曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在L 上定义了一个向量函数极限记作第22页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分对 x 曲线积分;对 y 曲线积分.若 为空间曲线弧,记若记,对坐标曲线积分也可写作类似地,第23页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分性质性质 定积分是第二类曲线积分特例.说明说明:对坐标曲线积分必须注意积分弧段方向方向!第24页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分计算定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 参数方程为则曲线积分连续,证实证实:下面先证存在,且有第25页DMU 对应参数设依据定义对应参数同理可证对坐标曲线积分对坐标曲线积分第26页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分若 L 方程为则对空间光滑曲线弧:类似有第27页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分第28页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分第29页DMU 例例例例2 2.求求求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解解:取 参数方程对坐标曲线积分对坐标曲线积分第30页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分两类曲线积分之间关系两类曲线积分之间关系设有向光滑弧 L 参数方程为则L上(x,y)处切向量为则两类曲线积分有以下联络第31页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分类似地类似地类似地类似地,在在在在空间曲线空间曲线空间曲线空间曲线 上两类曲线积分联络是上两类曲线积分联络是上两类曲线积分联络是上两类曲线积分联络是令记 A 在 t 上投影为则第32页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分总结总结第33页DMU 第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用 n 格林公式格林公式 n 格林公式应用格林公式应用n 总结总结第34页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式格林公式复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域第35页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用yxoab第36页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用第37页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式应用格林公式应用1.1.直接用直接用直接用直接用第38页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用2.2.L L不封闭，取不封闭，取不封闭，取不封闭，取L+lL+l封闭封闭封闭封闭第39页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用3.3.P(x,y),Q(x,yP(x,y),Q(x,y)一阶偏导不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续一阶偏导不连续A.A.代入法：将积分弧段方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段方程直接代入分母中。代入法：将积分弧段方程直接代入分母中。B.B.直接法直接法直接法直接法第40页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用C.C.将不连续点挖去（积分弧方程与分母不一样）将不连续点挖去（积分弧方程与分母不一样）将不连续点挖去（积分弧方程与分母不一样）将不连续点挖去（积分弧方程与分母不一样）第41页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用第42页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用第43页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用4.4.求二重积分求二重积分求二重积分求二重积分第44页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用5.求面积求面积第45页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用总结总结第46页DMU 第四节第四节 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关n n 全微分求积全微分求积全微分求积全微分求积n n 题型题型题型题型n n 小结小结小结小结第47页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关GyxoBA曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关则称曲线积分则称曲线积分定义：定义：假如在区域假如在区域 G 内有内有在在 G内与路径无关内与路径无关,不然称为与路径相关。不然称为与路径相关。第48页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关平面上曲线积分与路径无关等价条件平面上曲线积分与路径无关等价条件定理定理.设D 是单连通域,在D 内含有一阶连续偏导数,(1)沿D 中任意光滑闭曲线 L,有(2)对D 中任一分段光滑曲线 L,曲线积分(3)(4)在 D 内每一点都有与路径无关,只与起止点相关.函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数全微分,即 第49页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用说明说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为 证实：证实：证实：证实：(1)(2)(1)(2)设为D 内任意两条由A 到B 有向分段光滑曲线,则(依据条件(1)第50页DMU 格林公式及其应用格林公式及其应用 (2)(3)(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证所以有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数 第51页DMU (3)(4)(3)(4)设存在函数 u(x,y)使得则P,Q 在 D 内含有连续偏导数,从而在D内每一点都有格林公式及其应用格林公式及其应用第52页DMU (4)(1)(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式格林公式,得所围区域为证毕格林公式及其应用格林公式及其应用第53页DMU 对坐标曲线积分对坐标曲线积分说明说明说明说明:依据定理,若在某区域内则2)可用积分法求d u=P dx+Q dy在域 D 内原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便积分路径;第54页DMU 例例例例1 1.验证验证验证验证是某个函数全微分,并求出这个函数.证证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x,y)使。对坐标曲线积分对坐标曲线积分第55页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关题型题型1.1.与路径无关与路径无关第56页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第57页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第58页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关1.1.与参数相关与参数相关 第59页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第60页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关第61页DMU 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关小结小结第62页DMU 第五节第五节 对面积曲面积分对面积曲面积分 n n 概念概念概念概念n n 主要结论主要结论主要结论主要结论 n n 对面积曲面积分计算对面积曲面积分计算对面积曲面积分计算对面积曲面积分计算第63页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分概念概念概念概念第64页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分定义定义定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,曲面积分其中 叫做积分曲面.据此定义,曲面形构件质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在 上一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积任意取点,第65页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分性质：性质：性质：性质：第66页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第67页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第68页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分计算计算定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有则曲面积分证实证实:由定义知第69页DMU 而对面积曲面积分对面积曲面积分第70页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第71页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第72页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第73页DMU 对面积曲面积分对面积曲面积分第74页DMU 例例2.2.计算计算计算计算其中 是由平面坐标面所围成四面体表面.解解:设上部分,则与 原式=分别表示 在平面 对面积曲面积分对面积曲面积分第75页DMU 第六节第六节 对坐标曲面积分对坐标曲面积分 有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影 n n 定义及性质定义及性质定义及性质定义及性质n n 计算计算计算计算n n 两类曲面积分之间关系两类曲面积分之间关系两类曲面积分之间关系两类曲面积分之间关系n n 总结总结总结总结第76页DMU 曲面分类曲面分类双侧曲面双侧曲面单侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和曲面分上侧和下侧下侧曲面分内侧和曲面分内侧和外侧外侧曲面分左侧和曲面分左侧和右侧右侧(单侧曲面经典单侧曲面经典)对坐标曲面积分对坐标曲面积分第77页DMU 对坐标曲面积分对坐标曲面积分有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影有向曲面及投影其方向使用方法向量指向表示:方向余弦 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 时,说明流入 流体质量少于 当 0 时,说明流入 流体质量多于流出,则单位时间经过 流量为 当=0 时,说明流入与流出 流体质量相等.流出,表明 内有泉;表明 内有洞;依据高斯公式,流量也可表为第110页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度方向向外任一闭曲面,记 所围域为,设 是包含点 M 且为了揭示场内任意点M 处特征,在式两边同除以 体积 V,并令 以任意方式缩小至点 M 则有此式反应了流速场在点M 特点:其值为正,负或 0,分别反应在该点有流体涌出,吸入,或没有任何改变.第111页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度定义定义定义定义:设有向量场其中P,Q,R 含有连续一阶偏导数,是场内一片有向 则称曲面,其单位法向量 n,为向量场 A 经过有向曲面 通量(流量).在场中点 M(x,y,z)处 称为向量场 A 在点 M 散度.记作第112页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值大小反应了源强度.若向量场 A 处处有,则称 A 为无源场.比如比如,匀速场 故它是无源场.说明说明:由引例可知,散度是通量对体积改变率,且第113页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度*例例例例5.5.5.5.置于原点,电量为 q 点电荷产生场强为解解:计算结果与仅原点有点电荷事实相符.第114页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度设设设设小结小结第115页DMU 高斯公式高斯公式 通量通量 散度散度第116页DMU 第八节第八节 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度n n 斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式 n n 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度第117页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度定理定理.设光滑曲面 边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式斯托克斯公式)一个空间域内含有连续一阶偏导数,侧与 正向符合右手法则,则有在包含 在内或记为或记为第118页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度例例1.1.利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分利用斯托克斯公式计算积分其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面解解:记三角形域为,取上侧,则所截三角形整个边界,方向如图所表示.利用对称性第119页DMU 例例2.2.为柱面为柱面为柱面为柱面与平面 y=z 交线,从 z 轴正向看为顺时针,计算解解:设为平面 z=y 上被 所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度第120页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度第121页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度斯托克斯公式设曲面 法向量为 曲线 单位切向量为则斯托克斯公式可写为 环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度环流量与旋度第122页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度令,引进一个向量记作向量 rot A 称为向量场 A 称为向量场A定义定义:沿有向闭曲线 环流量环流量.或于是得斯托克斯公式向量形式:旋度旋度.第123页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为,点 M 线速度为(此即“旋度”一词起源)旋度力学意义旋度力学意义旋度力学意义旋度力学意义:第124页DMU 斯托克斯公式斯托克斯公式 环流量与旋度环流量与旋度向量场 A 产生旋度场 穿过 通量 注意 与 方向形成右手系!为向量场 A 沿 环流量斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式物理意义物理意义物理意义物理意义:例例4.求电场强度 旋度.解解:(除原点外)第125页
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