弹性力学习题答案市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

第四章第四章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（习题讲解）（习题讲解）第1页习题习题4-1 试导出位移分量坐标变换式试导出位移分量坐标变换式Suv第2页习题习题4-2设有内径为设有内径为 a 而外径为而外径为 b 圆筒受内压力圆筒受内压力 q，试求内半径及，试求内半径及外半径改变，并求圆筒厚度改变。外半径改变，并求圆筒厚度改变。解：解：轴对称问题径向位移公式（轴对称问题径向位移公式（平面应变平面应变）：）：对于圆筒轴对称问题，有对于圆筒轴对称问题，有 ur 不随不随 改变，即改变，即又由又由位移单值条件位移单值条件，有，有常数常数A、B由应力边界条件确定。由应力边界条件确定。应力分量：应力分量：边界条件：边界条件：第3页第4页习题习题4-3 设有刚体，含有半径为设有刚体，含有半径为 b 圆柱形孔道，孔道内放置一外半圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为径为 b而内半径为而内半径为 a圆筒，受内压力圆筒，受内压力 q，试求圆筒壁应力。，试求圆筒壁应力。解：解：刚体边界条件：边界条件：代入边界条件，有代入边界条件，有将常数将常数A、C 代入，有代入，有第5页将常数将常数A、C 代入，有代入，有刚体第6页习题习题4-4矩形薄板受纯剪，剪力集度为矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所表示。假如离板边较，如图所表示。假如离板边较远处有一小圆孔，试求孔边最大和最小正应力。远处有一小圆孔，试求孔边最大和最小正应力。45解：解：xyrxyr(a)由图（由图（a）给出孔边）给出孔边应力结果：应力结果：得：得：第7页习题习题4-5楔形体在两侧受有均布剪应力楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所表示。试求其应力分量。，如图所表示。试求其应力分量。xyOqq解：解：（1）应力函数 确定由因次分析法，可知由因次分析法，可知代入相容方程：代入相容方程：得到：得到：第8页（2）应力分量确定xyOqq由由对称性对称性，应为应为 偶函数偶函数；应为应为 奇函数奇函数，因而有，因而有，（3）由边界条件确定常数）由边界条件确定常数边界条件：边界条件：代入，有：代入，有：代入应力分量式，有代入应力分量式，有第9页xyOqq代入应力分量式，有代入应力分量式，有第10页习题习题4-6三角形悬臂梁在自由端受集中荷载三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所表示。试用公式，如图所表示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上正应力和剪应力，并与材料力学中）求任一铅直截面上正应力和剪应力，并与材料力学中结果对比。结果对比。xyOP解：解：由亲密尔（由亲密尔（J.H.Michell）解答，得）解答，得由应力分量坐标变换式：由应力分量坐标变换式：（4-21）亲密尔（亲密尔（J.H.Michell）解答）解答第11页由坐标变换式：由坐标变换式：第12页x材料力学结果：材料力学结果：截面弯矩截面弯矩xyOP截面惯性矩截面惯性矩截面正应力截面正应力 弹性力学结果弹性力学结果二者结果相差较大。二者结果相差较大。第13页习题习题4-7曲梁在两端受相反两个力曲梁在两端受相反两个力 P 作用，如图所表示。试求其应力分作用，如图所表示。试求其应力分量。量。xyrabOPP解：解：（1）应力函数确定分析：分析：任取一截面任取一截面 ，截面弯矩为，截面弯矩为将其代入相容方程：将其代入相容方程：（a）第14页上述欧拉方程解：上述欧拉方程解：（b）代入应力函数为代入应力函数为（c）（2）应力分量确定（d）第15页边界条件：边界条件：代入应力分量得：代入应力分量得：端部条件（右端）：端部条件（右端）：代入剪应力分量得：代入剪应力分量得：（f）联立求解式（联立求解式（e）、（）、（f），得：），得：xyrabOPP（e）自然满足自然满足（d）（d）第16页其中，其中，代入应力分量式（代入应力分量式（d），有：），有：（f）xyrabOPP第17页习题习题4-8设有没有限大薄板，在板内小孔中受有集中力设有没有限大薄板，在板内小孔中受有集中力P，如图所表示。，如图所表示。试用以下应力函数求其应力分量。试用以下应力函数求其应力分量。解：解：（1）应力分量）应力分量提醒：须要考虑位移单值条件。提醒：须要考虑位移单值条件。（2）确定常数）确定常数r取二分之一径为取二分之一径为 r 圆板为隔离体，圆板为隔离体，其上受力如图。其上受力如图。由圆板平衡，得由圆板平衡，得代入应力分量，有代入应力分量，有第18页r代入应力分量，有代入应力分量，有恒等式恒等式（3）由位移单值条件确定常数）由位移单值条件确定常数 A第19页由物理方程与几何方程：由物理方程与几何方程：r其中：其中：应力分量：应力分量：积分得：积分得：代入：代入：将将 ur 代入积分得：代入积分得：第20页将将 ur u 代入代入r ,要使上式对任意要使上式对任意 r、成立，有成立，有其中：其中：L为常数。为常数。（a）（b）求解式（求解式（a），），有有（c）将式（将式（b）变为：）变为：（d）第21页（d）求解式（求解式（b），），有有（e）（f）将将 代入代入 u ,有有 由位移单值条件，由位移单值条件，有有第22页代入应力分量：代入应力分量：r得到：得到：第23页习题习题4-9半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q,如图所表示。如图所表示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：试证半平面体中直角坐标应力分量为：（叠加法）（叠加法）qxyOP证法证法1:aa第24页qxyOPaaxyOaaqPxyOaaqP（叠加法）（叠加法）证法证法1:分析思绪：分析思绪：第25页xyOqPqxyP求解步骤：求解步骤：由楔形体在一面受均布压力问题结果：由楔形体在一面受均布压力问题结果：（4-25）第26页xyOqP（由应力分量坐标变换）（由应力分量坐标变换）应力分量直角坐标形式应力分量直角坐标形式第27页xyOaaqPy y+axyOqP第28页xyOaaqP第29页xyOaaq0PxyOqPy ya第30页xyOaaq0P第31页q0 xyOPaa第32页（积分法）（积分法）证法证法2:qxyOPyx 利用半限平面边界上作使利用半限平面边界上作使用方法向集中力用方法向集中力 P 结果，有：结果，有：由图中几何关系，有：由图中几何关系，有：（1）将以上关系式代入式（将以上关系式代入式（1），有），有第33页qxyOPyx（2）（1）（3）第34页qxyOPyx（3）积分上式，有：积分上式，有：第35页(a)(b)PP第36页(c)a第37页补充题补充题xyOMP列写图示问题边界条件列写图示问题边界条件第38页xyOMP第39页试证实：试证实：补充题补充题满足极坐标下平衡微分方程（满足极坐标下平衡微分方程（4-1）补充题补充题证实极坐标系下应变协调方程可表示为证实极坐标系下应变协调方程可表示为:轴对称情况下：轴对称情况下：第40页补充题补充题设弹性体受径向和环向常体力：设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证实以下应力分量作用，试证实以下应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）一个特解）一个特解：证实证实:（41）代入极坐标下平衡微分方程代入极坐标下平衡微分方程:显然，有显然，有:（1）表明式（表明式（1）为方程（）为方程（4-1）一个特解。一个特解。第41页在弹性体受径向和环向常体力：在弹性体受径向和环向常体力：作用下，以下应力分量可否作用下，以下应力分量可否为某个问题可能解？为某个问题可能解？思索题：思索题：（2）答案：答案：不能成为某个问题解。不能成为某个问题解。为何？为何？第42页第43页第44页有一薄壁圆筒平均半径为有一薄壁圆筒平均半径为 R，壁厚为，壁厚为 t，两端受相等相反扭矩，两端受相等相反扭矩 M 作作用。现在圆筒上发觉半径为用。现在圆筒上发觉半径为 a 小圆孔，如图所表示，则孔边最大应力小圆孔，如图所表示，则孔边最大应力怎样？最大应力发生在何处？怎样？最大应力发生在何处？p2a有一薄壁压力容器，受内压有一薄壁压力容器，受内压 p 作用，其平均半径为作用，其平均半径为 R，壁厚为，壁厚为 t。现。现在容器壁上发觉二分之一径为在容器壁上发觉二分之一径为 a 小圆孔，如图所表示，则孔边最大应小圆孔，如图所表示，则孔边最大应力怎样？最大应力发生在何处？力怎样？最大应力发生在何处？补充题补充题1.补充题补充题2.第45页