弹塑性力学陈明祥版的课后习题答案市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

弹塑性力弹塑性力学学陈明祥中国地质大学中国地质大学 力学教研室力学教研室第1页第一章第一章 绪绪 论论一、一、学科分类学科分类 弹塑性力学弹塑性力学二、二、弹塑性力学研究对象弹塑性力学研究对象三、三、弹塑性力学基本思绪与研究方法弹塑性力学基本思绪与研究方法四、四、弹塑性力学基本任务弹塑性力学基本任务五、五、弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算第2页一、学科分类一、学科分类 弹塑性力学弹塑性力学按运动是否分按运动是否分：静力学静力学：研究力系或物体平衡问题，不包括 物体运动状态改变；如飞机停在地 面或巡航。运动学运动学：研究物体怎样运动，不讨论运动与受 力关系；如飞行轨迹、速度、加速度。动力学：动力学：研究力与运动关系。怎样提供加速度？1 1、学科分类、学科分类 第3页 按研究对象分按研究对象分：普通力学普通力学：研究对象是刚体研究对象是刚体。研究力及其与 运动关系。分支学科有理论力学理论力学，分析力学分析力学等。流体力学流体力学：研究对象是气体或液体。包括到：水力学、空气动力学水力学、空气动力学等学科。固体力学固体力学：研究对象是可变形固体。研究材料 变形、流动和断裂时力学响应。其分支学科有：材料力学、结构力学、材料力学、结构力学、弹性力学、学、塑性力学、塑性力学、弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。弹塑性力学、断裂力学、流变学、疲劳等。第4页 按研究伎俩分按研究伎俩分：（理论分析、试验和数值计算）有试验力学、计算力学试验力学、计算力学二个方面分支。按应用领域分按应用领域分：有飞行力学飞行力学、船舶结构力学船舶结构力学、岩土力学、量岩土力学、量 子力学子力学等。第5页 2 2、弹塑性力学、弹塑性力学 弹塑性力学是固体力学一个主要分支弹塑性力学是固体力学一个主要分支 学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度学科，是研究可变形固体受到外荷载或温度 改变等原因影响而发生应力、应变和位改变等原因影响而发生应力、应变和位 移及其分布规律一门科学，是研究固体在移及其分布规律一门科学，是研究固体在 受载过程中产生弹性变形和塑性变形阶段受载过程中产生弹性变形和塑性变形阶段 这两个紧密相连变形阶段力学响应一门这两个紧密相连变形阶段力学响应一门 科学。科学。第6页二、二、弹塑性力学研究对象弹塑性力学研究对象 在研究对象上，材料力学研究对象是固体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。造成二者间这种差异根本原因是什么呢？弹塑性力学研究对象也是固体，是不受弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制能适应各种工程技术几何尺寸与形态限制能适应各种工程技术 问题需求物体。问题需求物体。第7页三、弹塑性力学基本思绪与研究方法三、弹塑性力学基本思绪与研究方法1 1、弹塑性力学分析问题基本思绪、弹塑性力学分析问题基本思绪 弹塑性力学与材料力学同属固体力学 分支学科，它们在分析问题处理问题基本 思绪上都是一致，但在研究问题基本方 法上各不相同。其基本思绪以下：第8页(1)(1)受力分析及静力平衡条件受力分析及静力平衡条件 (力分析力分析)物体受力作用处于平衡状态，应该满足条件 是什么？（静力平衡条件）(2)(2)变形几何相容条件变形几何相容条件 (几何分析几何分析)材料是均匀连续，在受力变形后仍应是连续。固体内既不产生“裂隙”，也不产生“重合”，此时材料变形应满足条件是什么？（几何相容条件）(3)(3)力与变形间本构关系力与变形间本构关系 (物理分析物理分析)固体材料受力作用必定产生对应变形。不一样材料，不一样变形，就有对应不一样 物理关系。第9页 弹塑性力学研究问题基本方法弹塑性力学研究问题基本方法以受力物以受力物体内某一体内某一点（单元点（单元体）为研体）为研究对象究对象 单元体受力单元体受力应力理论；应力理论；单元体变形单元体变形变形几何理论；变形几何理论；单元体受力与变形单元体受力与变形间关系间关系本构理本构理论；论；建立起普建立起普遍适用理论遍适用理论与解法。与解法。1 1、包括数学理论较复杂，并以其理论与解、包括数学理论较复杂，并以其理论与解 法严密性和普遍适用性为特点；法严密性和普遍适用性为特点；2 2、弹塑性工程解答普通认为是准确；、弹塑性工程解答普通认为是准确；3 3、可对初等力学理论解答准确度和可靠、可对初等力学理论解答准确度和可靠 进行度量。进行度量。第10页四、四、弹塑性力学基本任务弹塑性力学基本任务可归纳为以下几点：可归纳为以下几点：1 1建立求解固体应力、应变和位移分布规律建立求解固体应力、应变和位移分布规律 基本方程和理论；基本方程和理论；2 2给出初等理论无法求解问题理论和方法，给出初等理论无法求解问题理论和方法，以及对初等理论可靠性与准确度度量；以及对初等理论可靠性与准确度度量；3 3确定和充分发挥普通工程结构物承载能力，确定和充分发挥普通工程结构物承载能力，提升经济效益；提升经济效益；4 4为深入研究工程结构物强度、振动、稳定为深入研究工程结构物强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要理论基础。性、断裂等力学问题，奠定必要理论基础。第11页五、五、弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设（1 1）连续性假设：假定物质充满了物体所）连续性假设：假定物质充满了物体所 占有全部空间，不留下任何空隙。占有全部空间，不留下任何空隙。（2 2）均匀性与各向同性假设：假定物体内）均匀性与各向同性假设：假定物体内 部各点处，以及每一点处各个方向上部各点处，以及每一点处各个方向上 物理性质相同。物理性质相同。（3 3）力学模型简化假设：）力学模型简化假设：（A A）完全弹性假设）完全弹性假设 ；（B B）弹塑性假设。）弹塑性假设。第12页 几何假设几何假设小变形条件小变形条件（A A）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，能够）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，能够 不考虑因变形而引发力作用线方向改变；不考虑因变形而引发力作用线方向改变；从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。（B B）在研究问题过程中能够略去相关二次及二）在研究问题过程中能够略去相关二次及二 次以上高阶微量；次以上高阶微量；假定物体在受力以后，体内位移和变形是微小假定物体在受力以后，体内位移和变形是微小 ，即体内各点位移都远远小于物体原始尺寸，而，即体内各点位移都远远小于物体原始尺寸，而 且应变且应变(包含线应变与角应变包含线应变与角应变 )均远远小于均远远小于1 1。依据。依据 这一假定：这一假定：第13页六、六、弹塑性力学发展概况弹塑性力学发展概况 1678 1678年年英国科学家虎克英国科学家虎克(R.Hooke)(R.Hooke)提出提出 了固体材了固体材 料弹性变形与所受外力成正比料弹性变形与所受外力成正比虎克定律。虎克定律。19世纪代，法国科学家纳维叶(C.L.M.H.Navier)、柯西(A.L.Cauchy)和圣文南(A.J.C.B.SaintVenant)等建立了弹性力学理论基础。第14页法国科学家库伦(C.A.Corlomb1773年）、屈雷斯卡(H.Tresca1864年）、圣文南和莱(M.Levy)波兰力学家胡勃(M.T.Houber19）、米塞斯(R.vonMises19）、普朗特(L.Prandtl1924)罗伊斯(A.Reuss1930)、享奇（H.Hencky)、纳戴(A.L.Nadai)、伊留申(A.A.)说明了应力、应变概念和理论；弹性力学和弹塑性力学基本理论框架得以确立。第15页七、张量概念及其基本运算七、张量概念及其基本运算（附录一）附录一）1、张量概念、张量概念 张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介张量分析是研究固体力学、流体力学及连续介 质力学主要数学工具质力学主要数学工具 。张量分析含有高度概括、形式简练特点。张量分析含有高度概括、形式简练特点。任一物理现象都是按照一定客观规律进行，任一物理现象都是按照一定客观规律进行，它们是不以人们意志为转移。它们是不以人们意志为转移。分析研究物理现象方法和工具选取与人们分析研究物理现象方法和工具选取与人们 当初对客观事物认识水平相关，会影响问题当初对客观事物认识水平相关，会影响问题 求解与表述。求解与表述。第16页 全部与坐标系选取无关量，统称为全部与坐标系选取无关量，统称为物理恒量物理恒量。在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明在一定单位制下，只需指明其大小即足以被说明 物理量，统称为物理量，统称为标量标量。比如温度、质量、功等。比如温度、质量、功等。在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向在一定单位制下，除指明其大小还应指出其方向 物理量，称为物理量，称为矢量矢量。比如速度、加速度等。比如速度、加速度等。绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需绝对标量只需一个量就可确定，而绝对矢量则需 三个分量来确定。三个分量来确定。若我们以若我们以r r表示维度，以表示维度，以n n表示幂次，则关于三维表示幂次，则关于三维 空间，描述一切物理恒量分量数目可统一地表空间，描述一切物理恒量分量数目可统一地表 示成：示成：（1 1）第17页 现令现令n n为这些物理量阶次，并统一称这些物为这些物理量阶次，并统一称这些物 理量为张量。理量为张量。二阶以上张量已不可能在三维空间有显著直二阶以上张量已不可能在三维空间有显著直 观几何意义，但它做为物理恒量，其分量间观几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来处理定义。可由坐标变换关系式来处理定义。当当n=0n=0时，零阶张量，时，零阶张量，M=1M=1，标量；，标量；当当n=1n=1时，一阶张量，时，一阶张量，M=3M=3，矢量；，矢量；、当取当取n n时，时，n n阶张量，阶张量，M=3M=3n n。第18页 在张量讨论中，都采取下标字母符号，来表在张量讨论中，都采取下标字母符号，来表 示和区分该张量全部分量。示和区分该张量全部分量。不重复出现下标符号称为自由标号。自由标不重复出现下标符号称为自由标号。自由标 号在其方程内只罗列不求和。以自由标号数号在其方程内只罗列不求和。以自由标号数 量确定张量阶次。量确定张量阶次。重复出现，且只能重复出现一次下标符号称重复出现，且只能重复出现一次下标符号称 为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，为哑标号或假标号。哑标号在其方程内先罗列，再不求和。再不求和。2.2.下标识号法下标识号法 本教程张量下标符号变程，仅限于三维空间，本教程张量下标符号变程，仅限于三维空间，即变程为即变程为3 3。第19页3.3.求和约定求和约定 关于哑标号应了解为取其变程关于哑标号应了解为取其变程N N内全部数值，内全部数值，然后再求和，这就叫做求和约定。然后再求和，这就叫做求和约定。比如：比如：（I-2I-2）（I-4I-4）（I-5I-5）第20页 关于求和标号，即哑标有：关于求和标号，即哑标有：求和标号可任意变换字母求和标号可任意变换字母表示。表示。求和约定只适合用于字母标号，不适合用于数字标号。求和约定只适合用于字母标号，不适合用于数字标号。在运算中，括号内求和标号应在进行其它运算前在运算中，括号内求和标号应在进行其它运算前 优先求和。例：优先求和。例：（I-12I-12）（I-13I-13）第21页 关于自由标号：关于自由标号：在同一方程式中，各张量自由标号相同，在同一方程式中，各张量自由标号相同，即同阶且标号字母相同。即同阶且标号字母相同。自由标号数量确定了张量阶次。自由标号数量确定了张量阶次。关于关于Kronecker deltaKronecker delta（）符号：）符号：是张量分析中一个基本符号称为是张量分析中一个基本符号称为柯氏符号柯氏符号（或（或柯罗尼克尔符号柯罗尼克尔符号），亦称），亦称单位张量单位张量。其定义为：。其定义为：（I-17I-17）第22页4.4.张量基本运算张量基本运算 A A、张量加减：张量加减：张量能够用矩阵表示，称为张量能够用矩阵表示，称为张量矩阵张量矩阵，如：，如：凡是同阶两个或几个张量能够相加凡是同阶两个或几个张量能够相加(或相减或相减)，并得到同阶张量，它分量等于原来张量中标号并得到同阶张量，它分量等于原来张量中标号相同诸分量之代数和。相同诸分量之代数和。即：即：其中各分量（元素）为：其中各分量（元素）为：（I-19I-19）（I-20I-20）第23页B B、张量乘积张量乘积 对于任何阶诸张量都可进行乘法运算。对于任何阶诸张量都可进行乘法运算。两个任意阶张量乘法定义为：第一个张量两个任意阶张量乘法定义为：第一个张量 每一个分量乘以第二个张量中每一个分量，每一个分量乘以第二个张量中每一个分量，它们所组成集合依然是一个张量，称为第一它们所组成集合依然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量乘积，即积张量。积个张量乘以第二个张量乘积，即积张量。积 张量阶数等于因子张量阶数之和。比如：张量阶数等于因子张量阶数之和。比如：张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配 律和结合律。比如：律和结合律。比如：（I-21I-21）（I-22I-22）第24页C C、张量函数求导：张量函数求导：一个张量是坐标函数，则该张量每个分量都一个张量是坐标函数，则该张量每个分量都 是坐标参数是坐标参数 x xi i 函数。函数。对张量求导，就是把张量每个分量都对坐标参数对张量求导，就是把张量每个分量都对坐标参数 求导数。求导数。对张量坐标参数求导数时，采取在张量下标对张量坐标参数求导数时，采取在张量下标 符号前上方加符号前上方加“”方式来表示。方式来表示。比如：比如：，就表示对一阶张量就表示对一阶张量 每一个分量对坐标参数每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。对张量坐标参数求导数时，采取在张量下标对张量坐标参数求导数时，采取在张量下标 符号前上方加符号前上方加“”方式来表示。方式来表示。比如：比如：，就表示对一阶张量就表示对一阶张量 每一个分量对坐标参数每一个分量对坐标参数 x xi i 求导。求导。第25页 假如在微商中下标符号假如在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用结果，将产生一个新升高一阶作用结果，将产生一个新升高一阶 张量；张量；假如在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子假如在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用结果将产生一个新降低一阶张量。作用结果将产生一个新降低一阶张量。比如：比如：（I-23I-23）（I-24I-24）（I-I-2525）（I-I-2525）假如在微商中下标符号假如在微商中下标符号 i i 是一个自由下标，则是一个自由下标，则 算子算子 作用结果，将产生一个新升高一阶作用结果，将产生一个新升高一阶 张量；张量；假如在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子假如在微商中，下标符号是一个哑标号，则算子 作用结果将产生一个新降低一阶张量。作用结果将产生一个新降低一阶张量。比如：比如：第26页4.4.张量分解张量分解张量普通是非对称。若张量张量普通是非对称。若张量 分量满足分量满足则称为则称为反对称张量反对称张量。显然反对称张量中标号重复。显然反对称张量中标号重复分量分量(也即主对角元素也即主对角元素)为零，即为零，即 。则则 称为称为对称张量对称张量。假如假如 分量满足分量满足（I-27I-27）（I-28I-28）第27页第二章第二章 应力理论应力理论一、应力概念一、应力概念应力状态概念应力状态概念二、应力分量转换方程二、应力分量转换方程三、主应力三、主应力应力主方向应力主方向应力张量不变量应力张量不变量四、最大四、最大(最小最小)剪应力剪应力五、空间应力圆五、空间应力圆.应力椭球应力椭球 六、应力张量分解六、应力张量分解七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量 .主偏应力主偏应力.应力偏量不变量应力偏量不变量八、八面体应力八、八面体应力等效应力等效应力九、平衡（或运动）微分方程九、平衡（或运动）微分方程第28页一、应力概念一、应力概念 应力状态概念应力状态概念 应力：应力：受力物体受力物体 内某点某截面上内内某点某截面上内 力分布集度。力分布集度。1 1、应力概念、应力概念第29页2 2、应力状态概念：、应力状态概念：受力物体内某点处所取受力物体内某点处所取 无限多截面上应力情况总和，就显示和表无限多截面上应力情况总和，就显示和表 明了该点应力状态明了该点应力状态应力应力正应力正应力剪应力剪应力必须指明两点：必须指明两点：1.1.是哪一点应力；是哪一点应力；2.2.是该点哪个微截面应力。是该点哪个微截面应力。表示表示应力及符号规则：应力及符号规则：正应力：正应力：剪应力：剪应力：第一个字母表明该应力作第一个字母表明该应力作用截面外法线方向同哪一个用截面外法线方向同哪一个坐标轴相平行。坐标轴相平行。第二个字母表明该应力第二个字母表明该应力指向同哪个坐标轴相平行。指向同哪个坐标轴相平行。第30页 应力正负号规则：应力正负号规则：第31页3.3.应力张量应力张量 数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式九个数所定义量，叫做二阶张量。依据这一定九个数所定义量，叫做二阶张量。依据这一定义，物体内一点处应力状态可用二阶张量形式义，物体内一点处应力状态可用二阶张量形式来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力张量元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是张量元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是一个对称二阶张量，简称为一个对称二阶张量，简称为应力张量应力张量。或或（2 23 3）据剪应力互等定理据剪应力互等定理 ,应力张量应是应力张量应是一个对称二阶张量。一个对称二阶张量。第32页二二.应力分量转换方程应力分量转换方程 1、任意斜截面上应力、任意斜截面上应力 已知已知 ：求：求：P PP Px x 、P Py y、P Pz z 斜截面外法线为斜截面外法线为 n n，方向余弦分别为方向余弦分别为 L L1 1 、L L2 2 、L L3 3；面积：面积：S SABCABC=1=1；S SOBCOBC=L L1 1，S SOACOAC=L L2 2，S SOABOAB=L L3 3。第33页则由单元体力系平衡条件：则由单元体力系平衡条件：、得：得：（2 24 4）（2 25 5）（26）（2 27 7）（2 28 8）第34页2 2、应力分量转换方程、应力分量转换方程 标坐轴标坐轴xyzxyz表表2 21 1 第35页（2 21010）第36页 3 3、平面应力状态、平面应力状态 注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号差异。注意：材力与弹塑性力学中关于应力符号差异。第37页（2 22222）（2 22121）（2 21111）第38页三三.主应力主应力 应力主方向应力主方向 应力张量不变量应力张量不变量 主平面：一点应力状态剪应力等于零截面称为主平面；主平面：一点应力状态剪应力等于零截面称为主平面；主应力主应力 ：主平面上正应力称为该点主应力；：主平面上正应力称为该点主应力；主方向主方向 ：主平面法线方向即为主方向；：主平面法线方向即为主方向；主单元体：由主平面截取单元体称为主单元体。主单元体：由主平面截取单元体称为主单元体。设斜截面设斜截面ABCABC为主平面，则：为主平面，则：3lPnzs=第39页则由则由2-42-4得：得：（2 21212）（2 21313）（2 21818）第40页 理论上可证实：当一点应力状态确定时，理论上可证实：当一点应力状态确定时，由式由式2-182-18必可求出三个实根，即为主应力，且必可求出三个实根，即为主应力，且 。主应力彼此正交。主应力彼此正交。(2(219)19)（2 22020）第41页 正应力极值就是主应力正应力极值就是主应力 （2 22424）（2 22525）由由2-242-24及及得：得：对上式取极值求出方向余弦式，再对上式取极值求出方向余弦式，再代回式代回式2-252-25得：得：，即正应力取极，即正应力取极值截面上剪应力为零，此正应力即为值截面上剪应力为零，此正应力即为主应力。主方向彼此正交。主应力。主方向彼此正交。第42页四四.最大最大(最小最小)剪应力剪应力 由由2-252-25及及求出：求出：第43页讨论式（讨论式（b b），可得其解如表），可得其解如表-所表示：所表示：表表2 23 3001001001000000第44页 主剪应力主剪应力为：为：第45页 最大（最小）剪应力最大（最小）剪应力为：为：（2 22727）最大（最小）剪应力作用截面上普通正应最大（最小）剪应力作用截面上普通正应 力不为零，即：力不为零，即：（2 22828）第46页五五.空间应力圆空间应力圆 应力椭球应力椭球一点应力状态一点应力状态用解析法研究用解析法研究用几何法研究用几何法研究解析理论解析理论莫尔应力圆莫尔应力圆 若三个坐标轴方向都恰取为应力主方向，则由式若三个坐标轴方向都恰取为应力主方向，则由式(2(224)24)或或(2(215)15)可求出用，外法线为可求出用，外法线为n n斜截面上正应斜截面上正应力力其表示式为其表示式为:1、空间应力圆、空间应力圆第47页在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式（永远是正值，所以式（c c）中右端分子和分母应有相）中右端分子和分母应有相同正、负号。同正、负号。在式（在式（c c）中，设）中，设 永远是正值，所以式（永远是正值，所以式（c c）中右端分子和分母应有相）中右端分子和分母应有相同正、负号。同正、负号。第48页 第49页六、六、应力张量分解应力张量分解+（2 23030）第50页 通常对于金属材料有：通常对于金属材料有：通常将通常将应力张量进行分解应力张量进行分解，更有利于研究固，更有利于研究固 体材料塑性变形行为。体材料塑性变形行为。岩土材料在球应力张量作用下，普通也会出岩土材料在球应力张量作用下，普通也会出 现塑性体变，从而出现奇异屈服面。现塑性体变，从而出现奇异屈服面。球应力张量球应力张量体变：只是弹性变形体变：只是弹性变形畸变：首先产生弹性畸变，畸变：首先产生弹性畸变，当应力到达一定极值时，当应力到达一定极值时，将产生塑性畸变。将产生塑性畸变。偏斜应力张量偏斜应力张量第51页七、偏斜应力张量七、偏斜应力张量.主偏应力主偏应力.应力偏量不变应力偏量不变量量1 1、偏斜应力张量偏斜应力张量.主偏应力主偏应力=第52页2 2、应力偏量不变量、应力偏量不变量第53页=作用八面体产生畸变，是塑性力学中主要力作用八面体产生畸变，是塑性力学中主要力 学参量。学参量。八、八、8 8 面体应力面体应力 等效应力等效应力 第54页2 2、等效应力、等效应力（2-432-43）材料处于单向拉伸应力状态时，材料处于单向拉伸应力状态时，；应力状态应力状态 确定了，确定了，值就确定了，与坐标轴值就确定了，与坐标轴 选择无关；选择无关；等效应力等效应力 与球应力状态无关，是塑性力学中重与球应力状态无关，是塑性力学中重 要力学参量。计算中是使用要力学参量。计算中是使用 绝对值。绝对值。等效应力又称为有效应力或应力强度，等效应力又称为有效应力或应力强度，用用 表示表示.第55页九、九、平衡（或运动）微分方程平衡（或运动）微分方程 第56页 平衡微分方程平衡微分方程：一个客观弹性力学问题，在物体体内任意一点一个客观弹性力学问题，在物体体内任意一点 应力分量和体力分量必定满足这组方程。应力分量和体力分量必定满足这组方程。求解应力场问题是一个静不定问题。求解应力场问题是一个静不定问题。体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。（2-442-44）（2-452-45）第57页十、十、静力边界条件静力边界条件 一个客观弹塑性力学问题，在物体边界上任意一个客观弹塑性力学问题，在物体边界上任意 一点应力分量和面力分量必定满足这组方程。一点应力分量和面力分量必定满足这组方程。面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之取负。（2-462-46）（2-472-47）第58页 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量与相 应面力分量直接对应相等。应面力分量直接对应相等。关于平面问题应力边界条件（关于平面问题应力边界条件（xoyxoy平面）：平面）：（2-492-49）第59页例例2-72-7：图图216所表示为一变截面薄板梁，所表示为一变截面薄板梁，板厚度为单位板厚度为单位 1，跨度为。梁上表面，跨度为。梁上表面 承受三角形分布载荷作用，下斜表面承承受三角形分布载荷作用，下斜表面承 受均布切向面力作用，左端面上作用受均布切向面力作用，左端面上作用 面力详细分布情况不清，但分布面力面力详细分布情况不清，但分布面力 协力为切向集中力协力为切向集中力P，协力偶力偶矩，协力偶力偶矩 为为M。试确定此问题上述三边界上应。试确定此问题上述三边界上应 力边界条件。力边界条件。第60页第61页第62页例例2-72-7：解：解：左边界：左边界：下边界：据圣文南原理和平衡原理得：下边界：据圣文南原理和平衡原理得：上边界：上边界：（1 1）（2 2）（3 3）第63页第三章第三章 变形几何理论变形几何理论一、位移、应变、几何方程、一、位移、应变、几何方程、应变状态、应变张量应变状态、应变张量三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程四、主应变、最大四、主应变、最大(最小最小)剪应变、体积应变剪应变、体积应变七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆七、应变速度、应变增量、应变莫尔圆六、应变协调方程六、应变协调方程五、应变张量分解、等效应变五、应变张量分解、等效应变二、位移边界条件二、位移边界条件第64页一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量一、位移、应变、应变状态、几何方程、应变张量1 1、位移分量和相对位移分量、位移分量和相对位移分量位移位移刚性位移：反应物体整体位置变动刚性位移：反应物体整体位置变动变形位移：反应物体形状和尺寸发生改变变形位移：反应物体形状和尺寸发生改变 研究物体在外力作用下变形规律，只需研究物体内各点研究物体在外力作用下变形规律，只需研究物体内各点相对位置变动情况，即研究变形位移。相对位置变动情况，即研究变形位移。通常物体内各点通常物体内各点位移应是点位置坐位移应是点位置坐标函数，参考标函数，参考oxyzoxyz坐标即为：坐标即为：（3-1）位移函数应是位置坐标单值连续函数。位移函数应是位置坐标单值连续函数。位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形猛烈程位移分量函数不能直接表明物体各点处材料变形猛烈程 度，还需要研究物体内各点相对位移。度，还需要研究物体内各点相对位移。第65页第66页第67页2 2、应变概念、应变概念 、几何方程、几何方程 在物体内任一点在物体内任一点 M M 处截取一单元体，处截取一单元体，考查其变形（由平考查其变形（由平面推广到空间）。面推广到空间）。在小变形前提在小变形前提下建立应变概念和下建立应变概念和几何方程。几何方程。应变概念应变概念第68页 考查单元体在考查单元体在xyxy平面上投影平面上投影ABCDABCD变形。变形。当微分体变形并出现位移后，其在当微分体变形并出现位移后，其在xoyxoy平面上投平面上投 影影ABCD ABCD 就移至新位置就移至新位置 ，如图所表示。，如图所表示。应变概念应变概念第69页 应变概念应变概念沿沿x x方向棱边方向棱边 线应变线应变 ，据定义有：，据定义有：也即：也即：（略去高阶微量得：）（略去高阶微量得：）A A点点x x，y y方向所夹直角改变量，即剪应变（角应变）：方向所夹直角改变量，即剪应变（角应变）：也即：也即：第70页 应变概念应变概念线应变线应变角应变角应变应变符号规则：应变符号规则：表征某点某方向伸长变形线应变取正，反之表征某点某方向伸长变形线应变取正，反之取负；取负；表征某点两坐标轴正方向所夹直角降低角应变表征某点两坐标轴正方向所夹直角降低角应变取正，反之取负。显然：取正，反之取负。显然：xy=xy=yxyx。1.1.包括受力物体包括受力物体内某点；内某点；2.2.包括该点某一包括该点某一方向；方向；3.3.是一个无量纲是一个无量纲物理量。物理量。1 1、包括受力物、包括受力物体内某一点；体内某一点；2 2、包括过该点、包括过该点某两相垂直方某两相垂直方向；向；3 3、是一个有单、是一个有单位，无量纲物位，无量纲物理量。理量。第71页 几何方程：几何方程：（3-2）该式表明了一点处位移分量和应变分量所应满足关该式表明了一点处位移分量和应变分量所应满足关系，称为几何方程，也称为柯西系，称为几何方程，也称为柯西(Augustin-Louis(Augustin-Louis Cauchy)Cauchy)几何关系。其缩写式为：几何关系。其缩写式为：（3-7）第72页3 3、应变状态、应变张量、应变状态、应变张量=（3-6）受力物体内某点处线应变和剪应变总和，反应和表征了该受力物体内某点处线应变和剪应变总和，反应和表征了该点变形程度点变形程度(状态状态)，称之为应变状态。，称之为应变状态。一点应变状态可用二阶张量形式来表示，称为应变张量，一点应变状态可用二阶张量形式来表示，称为应变张量，用用 表示，即：表示，即：第73页 由几何方程式能够看出，当物体内一点位移由几何方程式能够看出，当物体内一点位移 分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，分量完全确定时，则应变分量亦已完全确定，因为应变是位移微分形式。不过当应变分量因为应变是位移微分形式。不过当应变分量 完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，完全确定时，位移分量则不一定能求解出来，这是因为物体位移除了包含有纯变形位移这是因为物体位移除了包含有纯变形位移 外，还可能包含有刚性位移。外，还可能包含有刚性位移。第74页三、应变分量转换方程三、应变分量转换方程 任意方向上线应变计算：任意方向上线应变计算：第75页 应变分量转换方程应变分量转换方程一点应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：一点应变状态是一个二阶对称张量，则其分量转换方程为：(3-12)(3-13)第76页 应变状态与应力状态都是二阶对称张量，应变状态与应力状态都是二阶对称张量，所以在数学上二者所遵照坐标变换法则是所以在数学上二者所遵照坐标变换法则是 相同。比较公式相同。比较公式3-12和和29，知其分量间，知其分量间对应关系为：对应关系为：但且 因为因为应变张量与应力张量二者在数学上遵应变张量与应力张量二者在数学上遵 循相同坐标变换法则，所以可知主应变、循相同坐标变换法则，所以可知主应变、应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张应变主方向、最大（最小）剪应力、应变张 量分解、量分解、等等对应关系式均可直接导出。对应关系式均可直接导出。第77页四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变四、主应变、应变主方向、最大（最小）剪应变 过物体内任一点，一定存在着三个相互垂直平面过物体内任一点，一定存在着三个相互垂直平面,在这在这 些平面间剪应变为零，将其称之为些平面间剪应变为零，将其称之为应变主平面应变主平面。应变主平面外法线方向称为应变主平面外法线方向称为应变主方向或应变主轴应变主方向或应变主轴。应。应 变主轴彼此正交。变主轴彼此正交。应变主方向上线应应变主方向上线应变就是变就是主应变主应变。一点应变。一点应变状态主应变有三个即：状态主应变有三个即：当一点应变状态确定是，当一点应变状态确定是，其主应变、应变主方向由其主应变、应变主方向由 下式确定：下式确定：主应变、应变主方向主应变、应变主方向第78页（3-18）（3-19）（3-22）应变不变量：应变不变量：（3-23）第79页 理论上可证实：三个应变主轴是彼此垂直。理论上可证实：三个应变主轴是彼此垂直。理论上普通认为：应力主方向与应变主方向彼此理论上普通认为：应力主方向与应变主方向彼此 对应相同。通常简称为主方向。对应相同。通常简称为主方向。(2)(2)、最大（最小）剪应变、最大（最小）剪应变 理论上可证实：当一点应变状态确定时，该点理论上可证实：当一点应变状态确定时，该点 三个主应变一定也是三个实数根。而且按代数值三个主应变一定也是三个实数根。而且按代数值 排列：排列：（3-24）（3-25）第80页五、应变张量分解、八面体应变、等效应变五、应变张量分解、八面体应变、等效应变应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：应变张量也可分解为应变球张量和应变偏张量，即：（3-27）（3-28）（3-27）应变张量分解应变张量分解 第81页 偏斜应变张量偏斜应变张量.应变偏量不变量应变偏量不变量 应变偏张量为：应变偏张量为：对应应变偏量不变量为：对应应变偏量不变量为：(3-30）（3-29）第82页 八面体应变、等效应变八面体应变、等效应变 八面体应变公式为：八面体应变公式为：等效应变为：等效应变为：（3-34）（3-31）（3-32）第83页六、变形连续性条件六、变形连续性条件 由几何方程可知，六个独立应变分量是表征一由几何方程可知，六个独立应变分量是表征一 点应变状态，彼此间是不能相互独立。所以，点应变状态，彼此间是不能相互独立。所以，六个独立应变分量应满足一定条件六个独立应变分量应满足一定条件变形连变形连 续性条件。续性条件。三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 函函数。数。以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个以平面问题为以平面问题为例例：（：（oxyoxy平面）平面）几何方程几何方程3 3个个 三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。位移分量位移分量2 2个个几何方程几何方程3 3个个平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 函函数。数。三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 函函数。数。若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 函函数。数。位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，则位移没有单值解。位移没有单值解。三个几何方程必须彼三个几何方程必须彼此协调，同时成立。此协调，同时成立。平面问题（平面问题（oxyoxy平面）中，位移平面）中，位移分量分量u u、v v、w w 都都是坐标是坐标 x x、y y 函函数。数。位移分量位移分量2 2个个 若无附加条件，则若无附加条件，