弹性力学总结和复习(全)市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

弹性力学课程总结与复习弹性力学课程总结与复习第1页一、弹性力学问题研究基本框架：一、弹性力学问题研究基本框架：一、弹性力学问题研究基本框架：一、弹性力学问题研究基本框架：弹弹性性力力学学问问题题基本假设与基本量基本假设与基本量基本假设与基本量基本假设与基本量5个基本假设；个基本假设；15个基本量：个基本量：基本原理基本原理平衡原理平衡原理能量原理能量原理（单元体）（单元体）（整体）（整体）基本方程基本方程控制微分方程控制微分方程（15个）个）边界条件边界条件（6个）个）平衡微分方程（平衡微分方程（3个）：个）：几何方程（几何方程（6个）：个）：物理方程（物理方程（6个）：个）：应力边界条件（应力边界条件（3个）：个）：位移边界条件（位移边界条件（3个）个）：数学上数学上组成偏微分方程组成偏微分方程定解问题定解问题求解方法求解方法第2页求解方法求解方法函数解函数解准确解；准确解；近似解；近似解；（如：基于能量原理解）（如：基于能量原理解）数值解数值解（如：有限差分法、有限单元法等）（如：有限差分法、有限单元法等）试验方法试验方法二、弹性力学平面问题求解二、弹性力学平面问题求解二、弹性力学平面问题求解二、弹性力学平面问题求解（1）按）按未知量未知量性质分：性质分：按位移求解；按位移求解；按应力争解；按应力争解；（2）按采取）按采取坐标系坐标系分：分：直角坐标解答；直角坐标解答；极坐标解答；极坐标解答；（3）按采取）按采取函数类型函数类型分：分：级数解；级数解；初等函数解；初等函数解；复变函数解；复变函数解；1 1.平面问题求解方法平面问题求解方法平面问题求解方法平面问题求解方法逆解法；逆解法；半逆解法；半逆解法；第3页2.2.平面问题求解基本方程平面问题求解基本方程平面问题求解基本方程平面问题求解基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）（1）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连单连通问题通问题，满足上述方程解是，满足上述方程解是唯一正确解。唯一正确解。（2）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方，满足上述方程外，还需满足程外，还需满足位移单值条位移单值条件件，才是唯一正确解。，才是唯一正确解。说明：说明：第4页3.常体力下平面问题求解基本方程与步骤：常体力下平面问题求解基本方程与步骤：（1）(2-27)（2）然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：先由方程（先由方程（2-27）求出应力函数：）求出应力函数：(2-26)（3）再让再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。（2-18）（2-17）直角坐标下直角坐标下第5页（1）由问题条件求出满足式（由问题条件求出满足式（46）应力函数）应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出对应应力分量：）求出对应应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题边界条件：满足问题边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知面力分量。为边界上已知面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）极坐标下极坐标下第6页4.平面问题平面问题Airy应力函数应力函数 选取：选取：直角坐标下直角坐标下xyOblx习题：习题：3-1，3 2，3 3，3-4xyO第7页ppp0第8页极坐标下极坐标下（1）轴对称问题轴对称问题（411）应力函数应力函数应力分量应力分量（412）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。第9页（2）圆孔孔边应力集中问题圆孔孔边应力集中问题原问题转换：原问题转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题第10页（3）楔形体问题楔形体问题 由由因次法因次法确定确定 应力函数分离变量形式应力函数分离变量形式（1）楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2）楔顶受集中力楔顶受集中力（3）楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力第11页xyOPxyO第12页PxyOPxyO第13页（4）曲梁问题曲梁问题其中：其中：q 为曲梁圆周围界上分布载荷。为曲梁圆周围界上分布载荷。M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数关系确定结合应力分量与应力函数关系确定 应力函数：应力函数：第14页PxPyPP1P2PMM第15页（5）半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO利用叠加法求解利用叠加法求解第16页练习练习：（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边外表面处，横截面上正应力在靠杆边外表面处，横截面上正应力 与与剪应力剪应力 间关系。设杆横截面形状为狭长矩形，间关系。设杆横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。板厚为一个单位。（2）z 方向（垂直于板面）很长正六面体，上边界受均方向（垂直于板面）很长正六面体，上边界受均匀压力匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑基础上，作用，底部放置在绝对刚性与光滑基础上，如图所表示。不计自重，试确定其应力和位移分量。如图所表示。不计自重，试确定其应力和位移分量。第17页（3）有一薄壁圆筒平均半径为有一薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为，壁厚为 t，两端，两端受相等相反扭矩受相等相反扭矩 M 作用。现在圆筒上发觉半作用。现在圆筒上发觉半径为径为 a 小圆孔，如图所表示，则孔边最大应小圆孔，如图所表示，则孔边最大应力怎样？最大应力发生在何处？力怎样？最大应力发生在何处？（4）已知圆环在已知圆环在 r=a 内边界上被固定，在内边界上被固定，在 r=b 圆圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所表示。试周上作用着均匀分布剪应力，如图所表示。试确定圆环内应力与位移。确定圆环内应力与位移。45第18页平面问题复变函数方法求解思绪平面问题复变函数方法求解思绪复变函数方法复变函数方法 应力函数法应力函数法将寻求将寻求应力函数应力函数 U 问题转化为寻求问题转化为寻求两个解析函数两个解析函数 问问题题利用利用保角变换保角变换，将求解区域，将求解区域 D 变换为一个变换为一个中心单位圆中心单位圆域；再利用域；再利用解析函数在闭环上积分性质解析函数在闭环上积分性质，求出，求出 。（1）（2）（3）应力函数、应力分量、位移分量、边界条件复变函数表示应力函数、应力分量、位移分量、边界条件复变函数表示（5-5）（1）（2）（5-9）（5-8）其中：其中：5.平面问题平面问题复变函数复变函数 解法解法第19页（3）（5-10）（5-12）应力边界条件应力边界条件复变函数表示复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件复变函数表示复变函数表示（4）多连体及无限大多连体中，多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点（1）普通多连体：）普通多连体：（5-14）第20页其中：其中：多连体及无限大多连体中，多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点（1）普通多连体）普通多连体（5-14）（确保多连体中应力和位移单值性。）（确保多连体中应力和位移单值性。）为该多连体中单值解析函数。为该多连体中单值解析函数。为第为第 k 个内边界上面力主矢量。个内边界上面力主矢量。（2）无限大多连体）无限大多连体（5-15）其中：其中：（5-16）第21页（2）无限大多连体）无限大多连体（5-15）其中：其中：（5-16）（5-17）（5-12）应力边界条件应力边界条件复变函数表示复变函数表示（5-13）位移边界条件位移边界条件复变函数表示复变函数表示第22页保角变换与曲线坐标下基本量及公式表示保角变换与曲线坐标下基本量及公式表示（1）保角变换）保角变换惯用保角变换函数：惯用保角变换函数：椭圆孔口椭圆孔口其中，其中，圆孔口圆孔口（a 为圆孔半径）为圆孔半径）裂隙（裂纹）裂隙（裂纹）正方形孔口正方形孔口圆盘或圆柱圆盘或圆柱第23页（2）曲线坐标下基本量及公式表示）曲线坐标下基本量及公式表示（5-19）（5-20）曲线坐标中曲线坐标中位移分量位移分量复变函数表示复变函数表示（5-22）（5-23）曲线坐标中曲线坐标中应力分量应力分量复变函数表示复变函数表示 曲线坐标中曲线坐标中应力边界条件应力边界条件复变函数表示复变函数表示第24页无限大孔口问题求解方法无限大孔口问题求解方法（1）由孔口形状，确定保角变换函数）由孔口形状，确定保角变换函数（2）由式（由式（5-30）求出）求出（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）（5-35）第25页（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出（5-22）曲线坐标中位移分量复变函数表示曲线坐标中位移分量复变函数表示（5-23）曲线坐标中应力分量复变函数表示曲线坐标中应力分量复变函数表示第26页两个主要积分两个主要积分Cauchy积分公式积分公式（5-33）适合用于适合用于有限有限大区域大区域Cauchy积分。积分。（1）（5-34）适合用于适合用于无限无限大区域大区域Cauchy积分。积分。（2）第27页6.平面平面温度应力温度应力问题求解问题求解按位移求解基本方程按位移求解基本方程：（2-17）（6-19）（6-18）位移表示平衡方程位移表示平衡方程位移表示应力边界条件位移表示应力边界条件第28页按位移求解基本方法按位移求解基本方法：（1）求方程（）求方程（6-18）一组特解）一组特解引入一函数引入一函数使位移特解表示为使位移特解表示为（6-18）（6-22）可得到位移特解应力分量为：可得到位移特解应力分量为：（6-23）（2）求方程（）求方程（6-18）一组补充解）一组补充解（不计变温）（不计变温）（用应力函数法）（用应力函数法）第29页补充解对应应力补充解对应应力总位移分量：总位移分量：它必须满足位移边界条件；它必须满足位移边界条件；它必须满足应力边界条件。它必须满足应力边界条件。（3）叠加特解和补充解，以满足问题全部边界条件）叠加特解和补充解，以满足问题全部边界条件按位移求解基本步骤按位移求解基本步骤：第30页按位移求解基本步骤按位移求解基本步骤：在已知温变场在已知温变场 T 情况下，情况下，（a）由方程（由方程（6-28）：）：求求位移势函数位移势函数，和和对应于特解应力对应于特解应力、由此引发由此引发边界面力边界面力。（b）由特解给出由特解给出边界面力边界面力及及问题性质问题性质，用应力函数法求出，用应力函数法求出补充解补充解对应应力对应应力。（c）将将特解应力特解应力与与补充解补充解对应对应应力叠加应力叠加，求得问题，求得问题总应力总应力，最终，最终总应力总应力满足满足问题问题边界条件边界条件，即可得问题解。，即可得问题解。第31页三、弹性力学空间问题求解三、弹性力学空间问题求解三、弹性力学空间问题求解三、弹性力学空间问题求解1 1.空间问题基本方程空间问题基本方程空间问题基本方程空间问题基本方程平衡微分方程（平衡微分方程（3个）：个）：几何方程（几何方程（6个）：个）：物理方程（物理方程（6个）：个）：应力边界条件（应力边界条件（3个）：个）：位移边界条件（位移边界条件（3个）个）：2 2.按按按按位移位移位移位移求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程（9-2）用位移表示用位移表示平衡微分方程平衡微分方程第32页2 2.按按按按位移位移位移位移求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程求解空间问题基本方程（9-2）用位移表示用位移表示平衡微分方程平衡微分方程应力边界条件应力边界条件（8-5）位移边界条件位移边界条件第33页3 3.按应力争解空间问题基本方程按应力争解空间问题基本方程按应力争解空间问题基本方程按应力争解空间问题基本方程平衡微分方程平衡微分方程：边界条件边界条件：相容方程：相容方程：（贝尔特拉密方程）（贝尔特拉密方程）（9-32）第34页4 4.按位移求解空间问题方法按位移求解空间问题方法按位移求解空间问题方法按位移求解空间问题方法位移势函数法：位移势函数法：（9-8）（9-9）由位移势函数由位移势函数表示应力分量。表示应力分量。拉甫（拉甫（Love）位移函数法：）位移函数法：只适合用于只适合用于轴对称问轴对称问题题位移分量：位移分量：（9-13）Love位移函数位移函数第35页应力分量：应力分量：（9-14）Love位移函数满足方程：位移函数满足方程：拉甫（拉甫（Love）位移函数法：）位移函数法：只适合用于只适合用于轴对称问轴对称问题题位移分量：位移分量：（9-13）Love位移函数位移函数第36页伽辽金（伽辽金（Galerkin）位移函数法：）位移函数法：适合用于适合用于普通空间问普通空间问题题伽辽金（伽辽金（Galerkin）位移函数：）位移函数：位移分量：位移分量：（9-15）Galerkin 位移函数满足方程：位移函数满足方程：第37页5 5.一些空间问题求解一些空间问题求解一些空间问题求解一些空间问题求解（1 1）半空间体在边界上受法向集中力；）半空间体在边界上受法向集中力；（2 2）半空间体在边界上受切向集中力；）半空间体在边界上受切向集中力；（3 3）半空间体在边界上受法向分布力；）半空间体在边界上受法向分布力；（4 4）两球体之间接触压力；）两球体之间接触压力；（5 5）等截面直杆扭转问题。）等截面直杆扭转问题。（按应力争解（按应力争解应力函数解法）应力函数解法）应力函数法求解扭转问题基本方程；应力函数法求解扭转问题基本方程；应力函数法求解扭转问题基本步骤；应力函数法求解扭转问题基本步骤；扭转问题薄膜比拟理论；扭转问题薄膜比拟理论；薄壁杆件扭转问题求解。薄壁杆件扭转问题求解。第38页四、弹性力学问题求解能量法四、弹性力学问题求解能量法四、弹性力学问题求解能量法四、弹性力学问题求解能量法1.基本概念与基本量基本概念与基本量（1）形变势能）形变势能U、比能、比能U 1；（2）形变余能）形变余能U*、比余能、比余能U*1；（3）总势能）总势能；（4）总余能）总余能*；各量计算。各量计算。2.变分方程与变分原理变分方程与变分原理（1）位移变分方程；位移变分方程；虚功方程；虚功方程；最小势能原理；最小势能原理；伽辽金变分方程；伽辽金变分方程；（2）应力变分方程；应力变分方程；最小余能原理；最小余能原理；3.求解弹性力学问题变分法求解弹性力学问题变分法（1）Ritz 法；法；（2）最小势能原理；）最小势能原理；（3）伽辽金法；）伽辽金法；（1）应力变分法；）应力变分法；（2）最小余能原理；）最小余能原理；怎样设定位移函数？怎样设定位移函数？怎样设定应力函数怎样设定应力函数？4.弹性力学两个基本定理弹性力学两个基本定理（1）解唯一性定理；）解唯一性定理；（2）功互等定理；）功互等定理；（3）广义势能原理；广义势能原理；广义余能原理；广义余能原理；第39页5.Ritz 法解题步骤：法解题步骤：（1）假设位移函数，使其位移边界条件；）假设位移函数，使其位移边界条件；（2）计算形变势能计算形变势能 U；（3）代入代入Ritz 法方程求解待定系数法方程求解待定系数；（4）回）回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。6.最小势能原了解题步骤：最小势能原了解题步骤：（1）假设位移函数，使其位移边界条件；）假设位移函数，使其位移边界条件；（2）计算系统总势能计算系统总势能 ；（3）由最小势能原理：由最小势能原理：=0，确定待定系数；，确定待定系数；（4）回）回代求解位移、应力等。代求解位移、应力等。7.应力变分法解题步骤：应力变分法解题步骤：（1）假设满足应力边界条件应力函数）假设满足应力边界条件应力函数 ；（2）计算系统形变余能）计算系统形变余能U*；（3）代入应力变分法方程确定待定系数；）代入应力变分法方程确定待定系数；（4）回代求出应力分量。）回代求出应力分量。在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：在没有给定非零位移边界条件时，应力变分法方程：第40页五、其它问题五、其它问题五、其它问题五、其它问题（1）一点应力状态分析；）一点应力状态分析；（2）一点应变状态分析；）一点应变状态分析；（3）应力边界条件列写；）应力边界条件列写；（圣维南原理应用）（圣维南原理应用）（4）张量基本知识；）张量基本知识；（弹性力学基本方程张量表示）（弹性力学基本方程张量表示）第41页各章节复习思索题各章节复习思索题第42页第一章第一章 绪绪 论论（1）弹性力学与材料力学）、结构力学课程异同。）弹性力学与材料力学）、结构力学课程异同。（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）（从研究对象、研究内容、研究方法等讨论）（2）弹性力学中应用了哪些基本假定？）弹性力学中应用了哪些基本假定？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时作用是什么？这些基本假定在建立弹性力学基本方程时作用是什么？举例说明哪些使用了这些基本假定？举例说明哪些使用了这些基本假定？（3）弹性力学中应力分量正负是怎样要求？与材料力学中有何不一）弹性力学中应力分量正负是怎样要求？与材料力学中有何不一样？样？第43页第二章第二章 平面问题基本理论平面问题基本理论（1）两类平面问题特点？（几何、受力、应力、应变等）。）两类平面问题特点？（几何、受力、应力、应变等）。（2）试列出两类平面问题基本方程，并比较它们异同。）试列出两类平面问题基本方程，并比较它们异同。（3）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪）在建立平面问题基本方程（平衡方程、几何方程）时，作了哪些近似简化处理？其作用是什么？些近似简化处理？其作用是什么？（4）位移分量与应变分量关系怎样？是否有位移就有应变？）位移分量与应变分量关系怎样？是否有位移就有应变？（5）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确）已知位移分量可唯一确定其形变分量，反过来是否也能唯一确定？需要什么条件？定？需要什么条件？（6）已知一点应力分量，怎样求任意斜截面应力、主应力、主方向）已知一点应力分量，怎样求任意斜截面应力、主应力、主方向？（7）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？怎样）什么是线应变（正应变）、剪应变（切应变、角应变）？怎样由一点应变分量求任意方向线应变、主应变、主应变方向？由一点应变分量求任意方向线应变、主应变、主应变方向？（8）平面应力与平面应变问题物理方程有何关系？）平面应力与平面应变问题物理方程有何关系？（9）边界条件有哪两类？怎样列写？）边界条件有哪两类？怎样列写？第44页（10）何为圣维南原理？其关键点是什么？圣维南原理作用是什么？）何为圣维南原理？其关键点是什么？圣维南原理作用是什么？怎样利用圣维南原理列写边界条件？怎样利用圣维南原理列写边界条件？（11）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。）弹性力学问题为超静定问题，试说明之。（12）弹性力学问题按位移求解基本方程有哪些？）弹性力学问题按位移求解基本方程有哪些？（13）弹性力学平面问题变形协调方程有哪些形式？各自使用条件是）弹性力学平面问题变形协调方程有哪些形式？各自使用条件是什么？什么？（14）按应力争解弹性力学问题，为何除了满足平衡方程、边界条件）按应力争解弹性力学问题，为何除了满足平衡方程、边界条件外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为外，还必须满足变形协调方程（相容方程）？而按位移求解为何不需要满足变形协调方程？何不需要满足变形协调方程？（15）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题）应力分量满足平衡方程、相容方程、边界条件，是否就是问题正确解？为何？正确解？为何？（16）常体力情况下，怎样将体力转化为面力？其意义怎样？）常体力情况下，怎样将体力转化为面力？其意义怎样？（17）何为逆解法？何为半逆解法？）何为逆解法？何为半逆解法？（18）Airy应力函数应力函数 在边界上值物理意义是什么？应力函数在边界上值物理意义是什么？应力函数 导数：导数：在边界上值物理意义是什么？在边界上值物理意义是什么？第45页第三章第三章 平面问题直角坐标解答平面问题直角坐标解答（1）直角坐标解答适合用于什么情况）直角坐标解答适合用于什么情况？（2）应力函数是否是唯一？它可确定什么程度？）应力函数是否是唯一？它可确定什么程度？（3）用应力函数法求解弹性力学问题基本步骤？）用应力函数法求解弹性力学问题基本步骤？（4）应力函数与应力分量间（直角坐标）关系怎样？）应力函数与应力分量间（直角坐标）关系怎样？（5）怎样利用）怎样利用材料力学结果材料力学结果推出应力函数推出应力函数 形式？形式？（6）怎样利用）怎样利用量纲分析法量纲分析法（因次分析法）确定（因次分析法）确定楔形体楔形体问题应力函数问题应力函数 幂次数？幂次数？第46页xyOblx习题：习题：3-1，3 2，3 3，3-4xyO第47页第四章第四章 平面问题极坐标解答平面问题极坐标解答（1）极坐标解答适用问题结构几何形状？）极坐标解答适用问题结构几何形状？（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）（圆环、圆筒、圆弧形曲杆、楔形体、半无限平面体等）（2）极坐标下弹性力学平面问题基本方程？）极坐标下弹性力学平面问题基本方程？（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）（平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件方程）（3）极坐标下弹性力学平面问题相容方程？）极坐标下弹性力学平面问题相容方程？（用应变表示、用应力函数表示相容方程等）（用应变表示、用应力函数表示相容方程等）（4）极坐标下应力分量与应力函数）极坐标下应力分量与应力函数 间关系间关系？（5）极坐标下弹性力学平面问题）极坐标下弹性力学平面问题边界条件列写边界条件列写？（6）极坐标下轴对称问题应力函数）极坐标下轴对称问题应力函数、应力分量、位移分量特点？、应力分量、位移分量特点？（7）圆弧形曲梁问题应力函数、应力分量、位移分量确定？（怎样利用（怎样利用材料力学中曲梁横截面应力材料力学中曲梁横截面应力推出应力函数推出应力函数 形式？）形式？）（8）楔形体在力偶、集中力、边界分布力作用下，应力函数、应力分量、位移分量确定？第48页（9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数、应力分量、位移分量确定？（10）圆孔附近应力集中问题应力函数、应力分量、位移分量确定？（11）叠加法叠加法应用。应用。第49页非非轴对称问题求解方法轴对称问题求解方法半逆解法半逆解法1.圆孔孔边应力集中问题圆孔孔边应力集中问题原问题转换：原问题转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题第50页2.楔形体问题楔形体问题 由由因次法因次法确定确定 应力函数分离变量形式应力函数分离变量形式（1）楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2）楔顶受集中力楔顶受集中力（3）楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力第51页3.曲梁问题曲梁问题其中：其中：q 为曲梁圆周围界上分布载荷。为曲梁圆周围界上分布载荷。M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数关系确定结合应力分量与应力函数关系确定 应力函数：应力函数：第52页4.半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO第53页叠加法应用叠加法应用第54页第55页练习练习：（1）试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边外表面处，横截面上正应力在靠杆边外表面处，横截面上正应力 与与剪应力剪应力 间关系。设杆横截面形状为狭长矩形，间关系。设杆横截面形状为狭长矩形，板厚为一个单位。板厚为一个单位。（2）z 方向（垂直于板面）很长直角六面体，上边界受方向（垂直于板面）很长直角六面体，上边界受均匀压力均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑基础作用，底部放置在绝对刚性与光滑基础上，如图所表示。不计自重，试确定其应力和位移上，如图所表示。不计自重，试确定其应力和位移分量。分量。第56页（3）有一薄壁圆筒平均半径为有一薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为，壁厚为 t，两端，两端受相等相反扭矩受相等相反扭矩 M 作用。现在圆筒上发觉半作用。现在圆筒上发觉半径为径为 a 小圆孔，如图所表示，则孔边最大应小圆孔，如图所表示，则孔边最大应力怎样？最大应力发生在何处？力怎样？最大应力发生在何处？（4）已知圆环在已知圆环在 r=a 内边界上被固定，在内边界上被固定，在 r=b 圆圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所表示。试周上作用着均匀分布剪应力，如图所表示。试确定圆环内应力与位移。确定圆环内应力与位移。xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2第57页第五章第五章 平面问题复变函数解答平面问题复变函数解答（1）平面问题复变函数解法意义？平面问题复变函数解法意义？（2）复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是怎样满足？复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是怎样满足？（3）多连体中，应力和位移单值条件是怎样满足？无限大多连体中，多连体中，应力和位移单值条件是怎样满足？无限大多连体中，应力和位移有限性是怎样考虑？应力和位移有限性是怎样考虑？（7）椭圆孔口椭圆孔口问题复变函数解法问题复变函数解法基本步骤基本步骤？（8）引入保角变换意义何在？引入保角变换意义何在？（4）多连体中，解析函数多连体中，解析函数 结构特点？结构特点？（5）无限大多连体中，解析函数无限大多连体中，解析函数 结构特点？结构特点？（6）无限大多连体，解析函数无限大多连体，解析函数 中常数中常数物理意义？物理意义？第58页（9）用保角变换方法求解复杂边界问题基本思想？用保角变换方法求解复杂边界问题基本思想？（10）试就以下公式说明：试就以下公式说明：（a）单连体中，平面问题应力与弹性常数无关；）单连体中，平面问题应力与弹性常数无关；（b）多连体中，平面问题应力与弹性常数无关条件；）多连体中，平面问题应力与弹性常数无关条件；(5-9)（5-8）(5-14)（11）两个主要积分：两个主要积分：Cauchy 积分，积分，它们作用怎样？它们作用怎样？第59页第六章第六章 温度应力平面问题温度应力平面问题（1）了解温度应力产生原因：为温度改变量，而不是温度值。）了解温度应力产生原因：为温度改变量，而不是温度值。（2）了解温度应力问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程。了）了解温度应力问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程。了解它与普通弹性力学基本方程区分。解它与普通弹性力学基本方程区分。（仅为物理方程不一样）（仅为物理方程不一样）（3）温度应力问题按位移求解基本方程：）温度应力问题按位移求解基本方程：（6-19）（6-18）第60页体力替换：体力替换：面力替换：面力替换：（4）温度应力问题按位移求解基本方程与普通弹性力学问题按位移）温度应力问题按位移求解基本方程与普通弹性力学问题按位移求解基本方程关系，这种关系对方程求解及温度应力试验测定求解基本方程关系，这种关系对方程求解及温度应力试验测定有何意义？有何意义？（5）温度应力问题求解基本思绪与方法：）温度应力问题求解基本思绪与方法：（a）求出满足位移平衡方程（）求出满足位移平衡方程（6-18）一组特解（此时，无需满足边）一组特解（此时，无需满足边界条件；用位移势函数求解）。界条件；用位移势函数求解）。（b）不计变温，求出满足平衡方程（）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）一组补充解（常由应力）一组补充解（常由应力函数求解，其边界条件为特解给出面力）。函数求解，其边界条件为特解给出面力）。（6）位移势函数）位移势函数 概念；位移势函数概念；位移势函数 与位移分量关系；温度应与位移分量关系；温度应力问题中，位移势函数力问题中，位移势函数 满足方程；应力分量位移势函数满足方程；应力分量位移势函数 表示。表示。第61页第七章第七章 平面问题差分解平面问题差分解（1）了解差分法基本思想；）了解差分法基本思想；（3）了解应力函数差分解中，应力分量差分公式；应力函数差）了解应力函数差分解中，应力分量差分公式；应力函数差分方程；分方程；（7）了解应力函数差分解求解弹性力学问题基本方法步骤；）了解应力函数差分解求解弹性力学问题基本方法步骤；（8）了解位移差分解基本思绪；）了解位移差分解基本思绪；（9）位移差分法求解弹性力学问题基本方法步骤；）位移差分法求解弹性力学问题基本方法步骤；（2）了解基本差分计算公式；）了解基本差分计算公式；（4）了解）了解边界结点边界结点应力函数值应力函数值及其及其导数值导数值求取；求取；（5）了解）了解虚结点虚结点应力函数值应力函数值求取；求取；（6）了解）了解不规则边界结点不规则边界结点应力差分方程建立；应力差分方程建立；第62页第八章第八章 空间问题基本理论空间问题基本理论（1）空间一点应力状态及其表示；怎样由一点应力状态六个分量求任）空间一点应力状态及其表示；怎样由一点应力状态六个分量求任意斜截面上应力、主应力、主应力方向、最大最小正应力，最大意斜截面上应力、主应力、主应力方向、最大最小正应力，最大最小剪应力及其所在作用面方向；最小剪应力及其所在作用面方向；（2）何为应力不变量？各个应力不变量物理意义及其计算？）何为应力不变量？各个应力不变量物理意义及其计算？（3）空间一点应变状态及其表示；怎样由一点应变状态六个分量求任）空间一点应变状态及其表示；怎样由一点应变状态六个分量求任意方向线应变、主应变、主应变方向；意方向线应变、主应变、主应变方向；（4）何为应变不变量？各个应变不变量物理意义及其计算？）何为应变不变量？各个应变不变量物理意义及其计算？（5）能否证实三个主应力方向一定相互垂直；三个主应变方向）能否证实三个主应力方向一定相互垂直；三个主应变方向一定相互垂直？一定相互垂直？（6）何为张量？一点应力状态张量表示；一点应变状态张量表示；）何为张量？一点应力状态张量表示；一点应变状态张量表示；一点位移分量张量表示；一点位移分量张量表示；（7）应变张量分量与工程应变分量之间有何关系？）应变张量分量与工程应变分量之间有何关系？（8）空间问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；基本方程）空间问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；基本方程张量表示；张量表示；第63页（9）空间问题物理方程各种表示形式：）空间问题物理方程各种表示形式：（a）用应力表示应变，式（）用应力表示应变，式（8-17）；）；（b）用应变表示应力，式（）用应变表示应力，式（8-19）；）；（c）用体积应力表示体积应变，式（）用体积应力表示体积应变，式（8-18）；）；（10）线弹性状态下，材料拉压弹性模量）线弹性状态下，材料拉压弹性模量E、剪切弹性模量、剪切弹性模量G、体积弹性、体积弹性模量模量K、材料泊松比、材料泊松比 间存在什么关系？间存在什么关系？（11）对极端各向异性体，存在多少个独立材料常数）对极端各向异性体，存在多少个独立材料常数？正交各向异性体？正交各向异性体存在多少个独立材料常数？横观各相同性体有多少个独立材料常存在多少个独立材料常数？横观各相同性体有多少个独立材料常数？各向同性弹性体含有多少个独立材料常数？数？各向同性弹性体含有多少个独立材料常数？（12）空间轴对称问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；）空间轴对称问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；（13）空间球对称问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；）空间球对称问题基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程；（14）空间问题边界条件列写；）空间问题边界条件列写；第64页第九章第九章 空间问题解答空间问题解答（1）按位移求解空间问题基本方程：）按位移求解空间问题基本方程：（a）用位移表示平衡微分方程；）用位移表示平衡微分方程；（b）应力边界条件；位移边界条件。）应力边界条件；位移边界条件。（2）按位移求解空间轴对称问题基本方程；按位移求解球对称）按位移求解空间轴对称问题基本方程；按位移求解球对称问题基本方程。问题基本方程。（3）按位移直接求解空间问题：）按位移直接求解空间问题：（a）半无限大弹性体，受重力及在边界上受均布压力作用；）半无限大弹性体，受重力及在边界上受均布压力作用；（b）空心球体受均布内压或外压作用。）空心球体受均布内压或外压作用。（4）什么是位移势函数？位移势函数与位移分量关系怎样？位移函数）什么是位移势函数？位移势函数与位移分量关系怎样？位移函数与应力分量关系怎样？与应力分量关系怎样？（5）在无体力情况下，若弹性体存在位移势函数）在无体力情况下，若弹性体存在位移势函数，则该位移势函数，则该位移势函数 应满足什么方程？该方程物理意义怎样？应满足什么方程？该方程物理意义怎样？（该位移势函数（该位移势函数 应为调和函数；该方程表明各点体积应变应为调和函数；该方程表明各点体积应变 e=0）第65页（6）拉甫位移拉甫位移函数概念；拉甫位移函数与轴对称位移分量间关系怎样？拉甫位移函数与函数概念；拉甫位移函数与轴对称位移分量间关系怎样？拉甫位移函数与应满足何条件？拉甫位移函数应为何性质函数？拉甫位移函数法主要用来处理什应满足何条件？拉甫位移函数应为何性质函数？拉甫位移函数法主要用来处理什么样弹性力学问题？么样弹性力学问题？（7）伽辽金位移函数概念；伽辽金位移函数与位移分量间关系怎样？）伽辽金位移函数概念；伽辽金位移函数与位移分量间关系怎样？伽辽金位移函数与应满足何条件？伽辽金位移函数应为何性质函伽辽金位移函数与应满足何条件？伽辽金位移函数应为何性质函数？数？（8）半空间体在边界上受法向集中力作用问题求解？空间一点沉陷计）半空间体在边界上受法向集中力作用问题求解？空间一点沉陷计算公式（算公式（9-19）？与半无限平面问题中一点沉陷公式（）？与半无限平面问题中一点沉陷公式（4-30）有何）有何区分？区分？（9）按应力争解空间问题基本方程：）按应力争解空间问题基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）相容方程：（）相容方程：（Michell 亲密尔方程）（亲密尔方程）（9-31）、（）、（Beltrami贝尔贝尔特拉密方程）（特拉密方程）（9-32）；（c）边界条件。）边界条件。（10）空间问题变形协调方程（应变相容方程）；）空间问题变形协调方程（应变相容方程）；（11）按应力争解空间轴对称问题基本方程；）按应力争解空间轴对称问题基本方程；（12）按应力争解空间轴对称问题应力函数法。）按应力争解空间轴对称问题应力函数法。第66页第十章第十章 等截面直杆扭转等截面直杆扭转（1）按应力争解等截面直杆扭转问题基本方程：）按应力争解等截面直杆扭转问题基本方程：（10-4）或或（10-5）（10-2）相容方程相容方程 边界条件边界条件 满足平衡方程满足平衡方程应力分量应力分量（2）等截面直杆扭转问题位移分量：）等截面直杆扭转问题位移分量：（10-6）（10-7）（10-3）或或第67页（3）等截面直杆扭转问题薄膜比拟：）等截面直杆扭转问题薄膜比拟：（a）扭转问题薄膜比拟方法依据？）扭转问题薄膜比拟方法依据？（b）薄膜垂度）薄膜垂度 z、斜率：、斜率：、薄膜边界条件与扭转问题、薄膜边界条件与扭转问题中物理量对应关系？中物理量对应关系？（4）按应力争解等截面直杆扭转问题基本方法与求解步骤？）按应力争解等截面直杆扭转问题基本方法与求解步骤？（5）开口与闭口薄壁杆件扭转应力与扭转变形求解。）开口与闭口薄壁杆件扭转应力与扭转变形求解。第68页第十一章第十一章 能量原理与变分法能量原理与变分法（1）形变势能）形变势能U、比能、比能U1概念及计算；概念及计算；（在线弹性情况下，比能（在线弹性情况下，比能U1计算各种形式：普通形式、应变形式、计算各种形式：普通形式、应变形式、应力形式、位移形式）应力形式、位移形式）（2）形变余能）形