弹性和塑性力学基础广义虎克定律和弹性力学解题市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院弹性与塑性力学基础弹性与塑性力学基础第第 四四 章章广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题基本方程与方法基本方程与方法 第1页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.1 应力与应变关系提出应力与应变关系提出 4.1.2 虎克定律虎克定律 4.1.3 波桑比波桑比 4.1.4 广义虎克定律广义虎克定律 4-2 基本方程基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系弹性阶段本构关系 4.2.2 平衡方程平衡方程 4.2.3 几何方程几何方程 4.2.4 本构方程本构方程 4-3 边界条件边界条件 4.3.1 边界问题类型边界问题类型 4.3.2 位移边界问题位移边界问题 4.3.3 应力边界问题应力边界问题 4.3.4 混合边界问题混合边界问题 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第2页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.1 问题提出问题提出 弹性力学问题中，物体受力与变形情况，需用弹性力学问题中，物体受力与变形情况，需用1515个变量来个变量来 描述。即：描述。即：6 6个应力分量，个应力分量，3 3个位移分量，个位移分量，6 6个应变分量个应变分量。已学基本方程已学基本方程9 9个。包含：变形体平衡微分方程（微元个。包含：变形体平衡微分方程（微元 体力平衡）体力平衡）3 3个，几何方程（应变位移关系）个，几何方程（应变位移关系）6 6个。个。未知变量个数（未知变量个数（1515）多于方程数（）多于方程数（9 9）必须研究受力物体必须研究受力物体 应力与应变之间关系应力与应变之间关系物理方程。对于弹性问题，即广义物理方程。对于弹性问题，即广义 虎克定律。虎克定律。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第3页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.2 虎克定律虎克定律 1 1、单向拉伸（压缩、单向拉伸（压缩）：）：材料应变小于弹性百分比极限时，应力和应变之间关系是线弹材料应变小于弹性百分比极限时，应力和应变之间关系是线弹 性，二者之间满足虎克定律。其表示式以下：性，二者之间满足虎克定律。其表示式以下：拉伸或压缩方向：拉伸或压缩方向：x x =x x 与拉伸或压缩垂直方向：与拉伸或压缩垂直方向：y y=z z=-=-x x 式中：式中：弹性模量弹性模量，泊松比泊松比 2 2、纯剪：纯剪：在小变形情况下，由试验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与在小变形情况下，由试验可知，正应力与剪应变无关，剪应力与 正应变无关。剪应力与剪应变关系为：正应变无关。剪应力与剪应变关系为：xyxy=G xy xy 式中：式中：G剪切模量，剪切模量，弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第4页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态、平面应力状态:对于各向同性均匀材料，依据试验结果，在小变形情况下，对于各向同性均匀材料，依据试验结果，在小变形情况下，正应力和剪应变没相关系，而剪应力只与剪应变相关，且应力正应力和剪应变没相关系，而剪应力只与剪应变相关，且应力 叠加原理叠加原理是适用。是适用。平面双向拉（压）应力平面双向拉（压）应力 纯剪应力状态纯剪应力状态 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第5页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态、平面应力状态:因为应力因为应力 x作用：作用：x方向应变为方向应变为 y方向应变为方向应变为因为应力因为应力 y作用：作用：y方向应变为方向应变为x方向应变为方向应变为 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础同时有同时有 x和和 y作用在作用在x方向及方向及y方向方向应变为应变为 (4-3)平平面面应应力力时时虎虎克克定定律律第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第6页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 3 3、平面应力状态：、平面应力状态：在在 x x和和 y y作用下，作用下，z方向应变方向应变 z=-(x x y y)/E 在剪应力作用下，在剪应力作用下，X-Y 平面内平面内剪剪 应变与纯剪时相同，即：应变与纯剪时相同，即：式中，式中，为剪切弹性模量为剪切弹性模量 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础纯剪应力状态纯剪应力状态第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第7页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律广义虎克定律 用相同方法，能够导用相同方法，能够导 出出三维应力状态下三维应力状态下各各 向同性均匀材料广义向同性均匀材料广义 虎虎克克定定律律，其其形形式式为为：(4-4)（各向同性均匀材料各向同性均匀材料 含义，即材料内部各处含义，即材料内部各处 不一样方向含有相同不一样方向含有相同 、E、G 值值）弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第8页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 将式将式(4-4)前三式左右两边相加后，则有前三式左右两边相加后，则有 如令如令 则上式可写为则上式可写为 或或 (4-5)(4-5)表表明明：弹弹性性变变形形时时，体体积积改改变变与与三三个个正正应应力力之之和和即即应应力力张张量量球球张量成正比，而与应力偏量无关。张量成正比，而与应力偏量无关。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第9页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 引入以上表示式后，广义虎克定律又可写为：引入以上表示式后，广义虎克定律又可写为：(4-6)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第10页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 由式由式(4-6)及式及式(4-5)，可得，可得 即：即：式中：式中：ex=x-0 为应变偏量分量，为应变偏量分量，为应力偏量分量。为应力偏量分量。用相同方法，可得：用相同方法，可得：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第11页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.4 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 所以，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成百分比，因为：所以，弹性阶段应力莫尔圆和应变莫尔圆是成百分比，因为：(4-7)弹弹性性阶阶段段应应力力主主轴轴和和应应变变主主轴轴重重合合（注注意意：应应力力或或应应变变球球张张量量对对应力主轴或应变主轴无影响应力主轴或应变主轴无影响）弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第12页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 各向同性体虎克定律各向同性体虎克定律(4-4)是以是以应力表示应变应力表示应变，在求解一些问题，在求解一些问题 时，有时需要用时，有时需要用应变表示应力应变表示应力关系。将式关系。将式(4-4)第一式作以下改变第一式作以下改变 即得式即得式(4-6)第一式第一式 利用式利用式(4-5)便可得便可得 由上式可得由上式可得弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第13页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-1 广义虎克定律广义虎克定律 4.1.3 广义虎克定律不一样形式广义虎克定律不一样形式 如引用如引用=并注意到并注意到 则有则有 用相同方法能够求出其它关系式，归纳以下用相同方法能够求出其它关系式，归纳以下(4-8)称为拉梅称为拉梅(Lam)弹性常数。用体积应变表示应力时则有弹性常数。用体积应变表示应力时则有 (4-9)如令，如令，则式则式(4-9)可写成可写成(K体积弹性模量体积弹性模量)(4-9)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第14页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.1 弹性阶段本构关系弹性阶段本构关系 在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（在弹性问题中，本构关系即广义虎克定律（6 6个方程）个方程）4.2.2 平衡方程（平衡方程（3 3个方程）个方程）(4-10)或或 (4-10)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第15页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.3 几何方程（应变位移关系，几何方程（应变位移关系，6 6个方程）个方程）(4-11)或或 (4-11)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第16页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.3 几何方程几何方程 由应变位移关由应变位移关 系导出应变系导出应变 协调方程：协调方程：(4-12)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第17页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.4 本构方程本构方程 弹性阶段本构关系为广义虎克定律弹性阶段本构关系为广义虎克定律 (4-13)或或(4-13)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第18页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-2 基本方程基本方程 4.2.4 本构方程本构方程 如用应变表示应力，则有如用应变表示应力，则有 (4-14)或或 (4-14)弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第19页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对详细问题给出解弹性力学问题时，除利用上述方程外，还应针对详细问题给出 弹性体表面上边界条件作为补充条件，方可求出定解。弹性体表面上边界条件作为补充条件，方可求出定解。4.3.1 边界问题类型边界问题类型 三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题三类：位移边界问题；应力边界问题；混合边界问题 1、位移边界问题位移边界问题 物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：物体在全部边界上位移分量已知。如平面问题位移边界条件为：其中，其中，us和和vs是位移边界值，是位移边界值，和和 在边界上是坐标已知函数在边界上是坐标已知函数 2、应力边界问题应力边界问题 物体在全部边界上所受面力是已知，面力分量在边界上是坐标物体在全部边界上所受面力是已知，面力分量在边界上是坐标已知函数。把面力已知条件转换成为应力方面已知条件，即为应力已知函数。把面力已知条件转换成为应力方面已知条件，即为应力边界条件。边界条件。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第20页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题（平面问题）应力边界问题（平面问题）由由平平衡衡微微分分方方程程采采取取正正平平行行六六面面体体，到到物物体体边边界界上上，将将成成为为三三角形或三棱柱角形或三棱柱(它斜面它斜面AB与物体边界重合与物体边界重合).平平面面问问题题如如图图所所表表示示，用用N代代表表边边界界面面AB外外法法线线方方向向，并并令令N方方向余弦为向余弦为 几何尺寸：设边界面几何尺寸：设边界面AB长度为长度为dS，则有：则有：PA ldS，PBmdS。垂直于垂直于XOY面方向尺寸仍取一个单位面方向尺寸仍取一个单位 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 第21页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题（平面问题）应力边界问题（平面问题）由由平衡条件平衡条件 FX=0 得得 略去含略去含dS2高阶微量项，得高阶微量项，得 其中其中(X)s和和(yx)s是应力分量边界值是应力分量边界值,由由 FY=0，可得另一相同方程。，可得另一相同方程。边界各点应力分量与面力分量关系边界各点应力分量与面力分量关系 (4-16)(4-16)式即为平面问题应力边界条件式即为平面问题应力边界条件 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 第22页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题（平面问题）应力边界问题（平面问题）考虑第三个平衡条件考虑第三个平衡条件 M=0，有，有 特例：垂直于特例：垂直于x轴边界上，轴边界上，l=1，m0，应力边界条件简化为应力边界条件简化为 垂直于垂直于y轴边界上，轴边界上，l=0，m=1，应力边界条件简化为应力边界条件简化为 即：应力分量边界值等于对应面力分量即：应力分量边界值等于对应面力分量弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 第23页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-3 边界条件边界条件 2、应力边界问题应力边界问题 注意注意:(1)垂直于垂直于x轴边界上应力边界条件中并没有轴边界上应力边界条件中并没有 y (2)垂直于垂直于y轴边界上应力边界条件中并没有轴边界上应力边界条件中并没有 x 由此可见，平行于边界正应力，其边界值与面力分量并由此可见，平行于边界正应力，其边界值与面力分量并不直接相关。不直接相关。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法受力平衡图受力平衡图 第24页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 边界条件边界条件 3、混合边界问题混合边界问题 部分边界含有位移边界条件，部分边界则含有应力边界条件部分边界含有位移边界条件，部分边界则含有应力边界条件.混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件混合边界条件：同时存在位移边界条件和应力边界条件弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法混合边界问题实例：混合边界问题实例：(a)连杆支承边连杆支承边(x轴轴)(b)齿槽边界齿槽边界(x轴轴)第25页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 边界条件边界条件 垂直于垂直于x轴边界（轴边界（l=1,m=0）是连杆支承边）是连杆支承边(图图a)x方向：位移边界条件：方向：位移边界条件：y方向：应力边界条件：方向：应力边界条件：垂直于垂直于x轴边界是齿槽边轴边界是齿槽边(图图b)x方向：应力边界条件：方向：应力边界条件：y方向：位移边界条件：方向：位移边界条件：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第26页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 弹性力学问题求解方法弹性力学问题求解方法：(a)位移法；位移法；(b)应力法。应力法。位移法：位移法：取取位移分量为基本未知变量位移分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。求解弹性力学问题。应力法：应力法：取取应力分量为基本未知变量应力分量为基本未知变量，利用基本方程和边界条件，利用基本方程和边界条件，求解弹性力学问题。求解弹性力学问题。位移法求解弹性力学问题基本步骤位移法求解弹性力学问题基本步骤 利用几何方程用位移表示应变利用几何方程用位移表示应变 代入本构方程，得到用位代入本构方程，得到用位移表示应力分量移表示应力分量 代入平衡微分方程，得出关于位移方程式代入平衡微分方程，得出关于位移方程式 利用边界条件，求解关于位移分量方程组，得出位移分量利用边界条件，求解关于位移分量方程组，得出位移分量 代入几何方程，求出应变分量代入几何方程，求出应变分量 代入本构方程，求出应代入本构方程，求出应力分量。力分量。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第27页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 用位移表示应变用位移表示应变几何方程：几何方程：用应变表示应力用应变表示应力本构方程：本构方程：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第28页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 代入代入 ，得：，得：（A A）弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第29页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 将将(A)(A)式表示各应力分量代入平衡微分方程，式表示各应力分量代入平衡微分方程，由第由第1 1式，得：式，得：弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第30页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 因为，因为，所以，上式可变为：所以，上式可变为：(B-1)(B-1)(B-1)(B-1)式中：式中：2 2称为拉普拉斯算子，称为拉普拉斯算子，为体积应变，为体积应变，弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第31页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 用一样方法，可得另外两相同表示式。所以，有：用一样方法，可得另外两相同表示式。所以，有：(B1)(B1)(B2)(B2)(B3)(B3)至此，至此，1515个基本方程均已被利用个基本方程均已被利用1 1次，得到了关于位移分量次，得到了关于位移分量3 3个个方程式方程式(B1-B3)(B1-B3)。再利用边界条件，即可由求解出位移分量。再利用边界条件，即可由求解出位移分量u,v,w。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第32页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 边界条件应用：边界条件应用：1 1、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面位移，则由、若边界条件为位移边界条件，即已知物体表面位移，则由 方程方程 B1-B3 B1-B3 和直接应用边界条件，即可求解出和直接应用边界条件，即可求解出u,v,w。2 2、若在物体表面给定是面力条件，即为应力边界条件时，则、若在物体表面给定是面力条件，即为应力边界条件时，则必须进行适当变换，即利用虎克定律必须进行适当变换，即利用虎克定律(应变表示应力形式应变表示应力形式)和应力和应力边界条件表示式，将物体表面面力条件与位移分量边界值联络边界条件表示式，将物体表面面力条件与位移分量边界值联络起来。起来。由：由：虎克定律虎克定律 应力边界条件应力边界条件 几何方程几何方程 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第33页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第34页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-4 按位移求解弹性力学问题按位移求解弹性力学问题 位移法求解弹性力学问题基本过程位移法求解弹性力学问题基本过程 可得：可得：由上述边界条件和方程由上述边界条件和方程B1-B3B1-B3，即可求解出，即可求解出u,v,w,求出求出6 6个应个应变分量变分量 求出求出6 6个应力分量。个应力分量。弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法第35页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法 利用广义虎克定律，得到用应力分量表示协调条件；利用广义虎克定律，得到用应力分量表示协调条件；将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足将平衡微分方程代入协调条件，化简方程组，得出满足平衡微分方程协调条件；平衡微分方程协调条件；利用边界条件，求解关于应力分量方程组，得出各应力利用边界条件，求解关于应力分量方程组，得出各应力量；量；利用广义虎克定律，求各应变分量；利用广义虎克定律，求各应变分量；代入几何方程，求位移变分量；代入几何方程，求位移变分量；第36页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法 利用广义虎克定律，消去协调条件中应变分量：利用广义虎克定律，消去协调条件中应变分量：用用应应变变分分量量表表示示协协调调条条件件第37页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法用用应应力力分分量量表表示示协协调调条条件件（4-214-21）第38页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法 将将（4-214-21）中第一式与第三式相加，利用）中第一式与第三式相加，利用平衡微分方程，平衡微分方程，可得：可得：即：即：第39页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法用一样方法，可用一样方法，可得：得：即有：即有：（4-22）第40页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法将将（4-224-22）中三式相加，）中三式相加，得：得：（4-23）再将再将（4-234-23）中）中 代入（代入（4-224-22），可），可得：得：用一样方法，用一样方法，可可得另外两个类似方程：得另外两个类似方程：（4-244-24）-A-A第41页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法利用平衡微分方程，将利用平衡微分方程，将（4-24-2）中第四式变为如形式）中第四式变为如形式：整理化简后，得：整理化简后，得：用一样方法，用一样方法，可可得另外两个类似方程。得另外两个类似方程。（4-244-24）-B-B第42页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法所以，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示变形协调条件所以，利用平衡微分方程，可将用应力分量表示变形协调条件变为：变为：（4-244-24）第43页哈工大（威海）哈工大（威海）材料学院材料学院4-5 按应力争解弹性力学问题按应力争解弹性力学问题 应力法求解弹性力学问题基本过程应力法求解弹性力学问题基本过程弹弹性性与与塑塑性性力力 学学 基基 础础第四章第四章 广义虎克定律和弹性力学解题广义虎克定律和弹性力学解题 基本方程与方法基本方程与方法 利用边界条件，求解方程组利用边界条件，求解方程组(4-24)(4-24)，得出各应力量；，得出各应力量；利用广义虎克定律，求各应变分量；利用广义虎克定律，求各应变分量；利用几何方程，求位移变分量；利用几何方程，求位移变分量；第44页