曲率函数图形的描绘市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其计算公式曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径小结小结 思索题思索题 作业作业(curvature)(arc element)第第1页页 前面讲了单调性、极值、最值、凹凸前面讲了单调性、极值、最值、凹凸性。我们知道凹凸性反应是曲线弯曲方性。我们知道凹凸性反应是曲线弯曲方向，不过朝同一方向弯曲两条曲线，其向，不过朝同一方向弯曲两条曲线，其弯曲程度也不尽相同。弯曲程度也不尽相同。曲率就是表征弯曲率就是表征弯曲程度量，它等于单位旅程上方向（角曲程度量，它等于单位旅程上方向（角度度切线倾斜角）改变量。切线倾斜角）改变量。2第第2页页一、弧微分一、弧微分 要求要求3 为了得出曲线为了得出曲线 y=f(x)曲率公式曲率公式,先计先计算弧长函数算弧长函数s(x)对对x微分微分,称为弧微分称为弧微分.第第3页页4单调增函数单调增函数.如图，如图，于是于是弧弧 s增量为增量为那末那末第第4页页5取极限取极限,即即又又得得弧微分公式弧微分公式为单调增函数为单调增函数,第第5页页6如将如将代入公式代入公式,得得弧微分公式弧微分公式可化为参数方程形式可化为参数方程形式如曲线以极坐标方程给出如曲线以极坐标方程给出如曲线为参数方程如曲线为参数方程写到根式内写到根式内,得得第第6页页二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量。)弧段弯曲程度越大弧段弯曲程度越大,转角越大转角越大转角相同，转角相同，弧段越短，弯曲程度越大弧段越短，弯曲程度越大1.曲率定义曲率定义)第第7页页)yxo（设曲线设曲线C是光滑，是光滑，（定义定义曲线曲线C在点在点M处曲率处曲率8第第8页页例例1 1(1)直线曲率直线曲率(2)圆上各点处曲率圆上各点处曲率 直线曲率处处为零直线曲率处处为零;圆上各点处曲率等于半径倒数圆上各点处曲率等于半径倒数.圆半径越小曲率越大圆半径越小曲率越大.9第第9页页2.曲率计算公式曲率计算公式10(1)(2)第第10页页例例2 2解解显然显然,11第第11页页例例 3 曲率最小？曲率最小？t为何值时为何值时,曲线曲线 求出最小曲率求出最小曲率,写出该点曲率半径写出该点曲率半径.解解 要使要使K(t)最小最小,等价于等价于 最大最大,故当故当 即即曲率最小曲率最小,且且,|2sin|41ta,1|2sin|t|2sin|t 摆线摆线第第12页页三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义13第第13页页1.曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率互为倒数互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处曲率半径越大曲线上一点处曲率半径越大,曲线在该点处曲曲线在该点处曲率越小率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越大曲率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处曲率圆弧可近似代替该点附近曲线上一点处曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲线弧(称为曲线在该点附近二次近似称为曲线在该点附近二次近似).曲率圆曲率圆y=y(x)与曲线与曲线y=f(x)关系关系:过同一点过同一点有公切线有公切线圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同14第第14页页 例例4 4 设工件表面截线为抛物线设工件表面截线为抛物线y 0 4x2 现在要用现在要用砂轮磨削其内表面砂轮磨削其内表面 问用直径多大砂轮才比较适当？问用直径多大砂轮才比较适当？解解 砂轮半径不应大于抛物线顶点处曲率半径砂轮半径不应大于抛物线顶点处曲率半径 抛物线顶点处曲率半径为抛物线顶点处曲率半径为 r r K 1 1 25 所以所以,选取砂轮半径不得超出选取砂轮半径不得超出1 25单位长单位长 即直径不即直径不得超出得超出2 50单位长单位长 y 0 8x y0 8 y|x 0 0 y|x 0 0 8 把它们代入曲率公式把它们代入曲率公式 得得15第第15页页四、小结四、小结利用微分学理论利用微分学理论,研究曲线和曲面性质数研究曲线和曲面性质数学分支学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度描述曲线弯曲程度描述曲率曲率;曲线弧近似代替曲率圆曲线弧近似代替曲率圆(弧弧).16第第16页页作业作业习题习题3-7(1753-7(175页页)3.5.第第17页页图形描绘步骤图形描绘步骤作图举例作图举例渐近线渐近线(asymptotic line)3.6 函数图形描绘函数图形描绘18第第18页页 现在我们还不能很好地现在我们还不能很好地作出函数图形作出函数图形,因为还不知因为还不知道怎样求曲线渐近线道怎样求曲线渐近线.中中学学就就会会求求了了.第第19页页若动点若动点 P 沿着曲线沿着曲线 y=f(x)某一方向无某一方向无限远离坐标原点时限远离坐标原点时,动点动点 P 到一直线到一直线 L 距离距离趋于零趋于零,则称此直线则称此直线 L 为曲线为曲线 y=f(x)一条一条渐近线渐近线.一、曲线渐近线一、曲线渐近线定义定义定义定义第第20页页曲线渐近线曲线渐近线水平渐近线水平渐近线垂直渐近线垂直渐近线第第21页页1.铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线铅直渐近线.或或(垂直于垂直于x轴轴渐近线渐近线)222.水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线.或或(b为常数为常数)(平行于平行于x轴轴渐近线渐近线)(limxf两种渐近线定义两种渐近线定义第第22页页*3 斜渐近线斜渐近线斜渐近线斜渐近线若若(P75 题题13)函数图形描绘函数图形描绘第第23页页第第24页页 曲线能够穿过曲线能够穿过其渐近线其渐近线.解解例例1第第25页页解解例例2第第26页页例例.求曲线求曲线渐近线渐近线.解解:为水平渐近线为水平渐近线;为垂直渐近线为垂直渐近线.第第27页页利用函数特征描绘函数图形利用函数特征描绘函数图形.确定函数定义域、值域、间断点确定函数定义域、值域、间断点,函数是否有奇偶性、周期性函数是否有奇偶性、周期性.判定判定和拐点和拐点,讨论函数单调性和极值讨论函数单调性和极值,曲线凹凸性曲线凹凸性渐近线渐近线.适当计算曲线上一些点坐标适当计算曲线上一些点坐标,是否与坐标轴是否有交点是否与坐标轴是否有交点.尤其注意尤其注意函数图形描绘函数图形描绘二、图形描绘步骤二、图形描绘步骤28第第28页页29例例解解非奇非偶函数非奇非偶函数,三、作图举例三、作图举例第第29页页不存在不存在拐点拐点极小极小值值间间断断点点无斜渐近线无斜渐近线.列表确定函数单调区间列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:30第第30页页作图作图拐点拐点极小值极小值补充点补充点不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点水平渐近线水平渐近线:垂直渐近线垂直渐近线:函数图形描绘函数图形描绘第第31页页解解极大极大拐点拐点例例第第32页页曲线无水平渐近线曲线无水平渐近线.第第33页页第第34页页 练习练习 解解 (1)函数定义域为函数定义域为(3)(3 )令令f (x)0得得x 3 令令f (x)0得得x 6 (3)曲线性态分析表曲线性态分析表(3)3)(3 3)3(3 6)6(6(6 )x f (x)f (x)y f(x)图形图形0 00 011/311/3拐点拐点4 4极大极大 (4)曲线有铅直渐近线曲线有铅直渐近线x3与水平渐近线与水平渐近线y 1 (5)特殊点函数值特殊点函数值 f(0)1 f(1)8 f(9)8 f(15)11/4 函数图形描绘函数图形描绘第第35页页63912-3-6-9-12-153-3(3)3)(3 3)3(3 6)6(6(6 )x y f(x)图形图形11/311/3拐点拐点4 4极大极大 铅直渐近线为铅直渐近线为x3 水平渐近线为水平渐近线为y 1 f(0)1 f(1)8 f(9)8 f(15)11/4 y=1x=-3(3,4)(-1,-8)(-9,-8)练习练习 解解 函数性态分析表函数性态分析表 第第36页页37四、小结四、小结 利用一阶、二阶导数符号确定函数升降、利用一阶、二阶导数符号确定函数升降、最大值最大值最小值最小值凹凹凸凸单单增增单单减减极大值极大值拐点拐点极小值极小值非极值非极值不不可可导导极大值极大值地描绘图形基础地描绘图形基础.凹凸以及极值点和拐点是掌握函数性态、较准确凹凸以及极值点和拐点是掌握函数性态、较准确第第37页页思索与练习 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)现有水平渐近线又有铅直渐近线现有水平渐近线又有铅直渐近线.拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线凹区间是凹区间是 ,渐近线渐近线 .第第38页页39解答提醒 1.曲线曲线(A)没有渐近线；没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；仅有铅直渐近线；(D)现有水平渐近线又有铅直渐近线现有水平渐近线又有铅直渐近线.提醒提醒:第第39页页拐点为拐点为 ,凸区间是凸区间是 ,2.曲线凹区间是凹区间是 ,提醒提醒:及及渐近线渐近线 .40第第40页页