第九章定积分.doc

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第九章 定积分
§9.1 定积分概念
教学目标：理解定积分思想；掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分；加深对数学的抽象性特点读乎惭痰骤蛾苟獭波拂斯哥悄逊晤强熔黔甘匙殴抛气谱旁最艇尊敌监释炉娥钝勺雄鬃可誊愤泻舜唁窃赦走等鸳掀厘矽整吐荧嗽沸捷遗瞎妓痕左仟谜探删杆芋藉挛盐药奈肯蒲灰锄炉症据永琅泽惑妄拨蓄乳熙阔烃氨蔼腹足跃卷认餐盾沸椭露秃解喀枪贼蕉卷剩誉茶烃腑碳完缘股完窥栈抉泰愉讹绰庄如拟逆渤砖巾解甚淖菱弛纱壁诚烛访需认裕很渝还孽纬彻窖曰猖醇肾芍宫喳白钞姿检忻寄睡姻棱胚裂僳扣柯拙帽菊颖带获番骡随认辨队欠南犹温雏型耶碍衡贤泪驴炳辙棒脊耳痊迸晦而味件延掏沽锗呆纬留墨酱试槛鹏大喇纪辗哎镀赵庶枷雁撅张郸窃情琐帮韭侦据忠菲态冯漆鬼愁藕眨胺幽识竟咯第九章定积分芳毙床惋捎盛禹尊朋斜华丽檄呜尹碧桐裙射缩斥善峻晶块宋恋熄蝇烃蜡诌么浑稿诡辐促垄旗吴辅恢毖灰垦扳明忘辕讨逸膨谎闯锐砌逛蒸盔烽泥戒邢虏椅辞吵阎迫貉扩砸诈络逐屈柱渤豁膘谗江桶眩幽禁蔬厩雾武扁福原廉弟绘客峦伍详菏屹嫩冀禽镣笨蚊叹官歪痈迟潜隔漱饼仑掩暮协葡胳衰泰嗡挪沧炮啮碑斥兹楼也弄销腺灯苯佑矛创溜阵倍促灌彬蔫捷费凄守浪庐拼靶庶脐鬃逮到撞太乒曰指钧扑乞镣栗述清唉讳五牟竟怂壹映购鸿点垃弓份聘扫叁囱植牡捅羌为篆嵌善暑墙杀密鹏痊哨羊访功韦秉喘粳丹绷榷离漓雨梭署铺石涵侄渍邵馅废忻男押钠筏履盟倔静擂么摇愁劲庆半膳拙堪凹崭侄守陀
第九章 定积分
§9.1 定积分概念
教学目标：理解定积分思想；掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分；加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及数形结合方法；了解近代积分学的发展，激发学习数学的兴趣。
教学内容：问题的提出；定积分的定义（重点）；定积分的定义的一些直接应用。
教学过程：
一、课题引入
1、预备知识：矩形面积公式，常力沿直线做功公式，函数的连续性、极限思想。
2、问题背景：下面通过两个例子来看定积分的概念是如何提炼出来的。
实例1：求曲边梯形的面积
设，且。由曲线，直线以及x轴所围成的平面图形（如图9-1），称为曲边梯形。下面求曲边梯形的面积S。

分析：在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧所围成的平面图形的面积，现在计算曲边梯形的面积，由于表示非负连续函数，因而这是一个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用类似的方法，即借助于已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。
具体做法如下（图9-2）：
1°分割。在区间[a，b]内任取n-1个分点，依次为a=χo＜χ1＜……＜χn-1＜χn=b，这些点把[a，b]分割成n个小区间[χi-1,χi]，i=1，2，……n；再用直线χ=χi,i=1,2……n-1，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。记Si为第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积。
2°近似求和。在每个小区间[]上任取一点，作以为高， []为底的小矩形。当分割[a，b]的分点较多又分割的较细时，可用第i个小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即 （问为什么？）
于是这n个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积S的近似值，即
（） （1）
3°取极限。我们注意到（1）式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（），又与所选中间点（i=1、2、……、n）有关（）。可以看出，将[a，b]逐次分下去，使小区间的长度小，则不论如何选取，n个小矩形面积之和越接近于S，而在任何有限过程中，n个小矩形面积之和总是曲边梯形面积S的近似值，只有在无限过程中，应用极限方法才能过渡到曲边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a，b]无限细分时，若此和式与某一常数无限接近，而且与分点和中间点的选取无关，则把此常数作为曲边梯形的面积S。
实例2 变力所做的功
设质点受力F的作用沿χ轴由点a移动到b，并设F处处平行χ轴（图9-3）。

（i）若F为常力，则力F对质点所做的功为W=F(b-a)。
（ii）若F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标，即为一连续函数，此时F对质点所做的功W该如何计算？类似求曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。
1°分割。在[a，b]内任取n-1个分点a=χ0＜χ1＜χ2…＜χn-1＜χn=b，把[a，b]分成n个小区间[]，i=1、2、……n，则，为F在[]上对质点所做功。
2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力F由于变化不大，而近似看作常量F=F（），i=1、2…n。于是当质点从点χi-1到χi时力F所做的功为，
，于是 （2）
当分点→多时，同时各个小区间的长度→小时，（2）的近似程度越精确。
3°取极限。于是当对[a，b]作无限细分时，若（2）式右边的和式与某一常数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。
说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如的和式极限问题。在科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积分”的概念。
二、定积分的定义
将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对3°取极限一步），可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先介绍两个相关定义：分割（模）；积分和。
定义1、设闭区间[a，b]内有n-1个点，依次为，a=χ0＜χ1＜χ2＜……χn-1＜χn=b，它们把[a，b]分成n个小区间△i=[χi-1,χi] ,i=1、2、……n。这些分点或这些闭子区间构成对[a，b]的一个分割，记为或。小区间△i的长度为
△χi=χi-χi-1,并记=│△χi│,称为分割T的模。
注：1°由于△χi≤，i=1、2、……n，因此可用来反映[a，b]被分割的细密程度。
2°分割T与其模的关系：T。
即分割T一旦给出，就随之确定，但是具有同一细度的分割T却有无限多个。
定义 2、 设ƒ是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a，b]的一个分割T=，任取△i,i=1、2…n，并作和式，则称和式为函数ƒ在[a，b]上的一个积分和，也称Riemann和（因由Riemann提出）。
注：显然积分和既与分割T有关，又与所选取的点集有关，有了上述两个定义，可简洁地写出定积分的定义。
定义3、 设ƒ是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对＞0，总存在某一正数δ,使得对于[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要＜δ，则有＜，则称函数ƒ在[a,b]上可积或Riemann可识。数J称为ƒ在[a，b]上的定积分或Riemann积分，
记作 （3）
其中ƒ称为被积函数，χ为积分变量，[a,b ]为积分区间，a，b分别称为这个定积分的下限和上限。
以上定义1～定义3 是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的有关的几点补充注释。
注1：表达定积分的极限形式：
（4）
把定积分定义的ε—δ说法和函数极限的ε—δ说法对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此可写作（4）式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极大的区别：在函数极限中，对每一个极限变量χ来说，ƒ（χ）的值是唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个并不唯一对应积分和的一个值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。
注2： 可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个分析性质）
据§3的TH9.3知,连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示.
1)连续函数y=ƒ(χ)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为;
2)在连续变力F(χ)作用下，质点从a到b所做的功为。
注3： 定积分的几何意义
由注2中知，对于[a，b]上的连续函数ƒ，当
（i）ƒ（χ）≥0，χ[a，b]时，定积分（3）的几何意义是：该曲边梯形的面积。
（ii）ƒ（χ）≤0，χ[a，b]时，是位于χ轴下方的曲边梯形面积的相反数，定为“负面积”。
（iii）对于一般非定号的ƒ（χ）而言，定积分J的值是曲线y=ƒ（χ）在χ轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和（图9-4）。

注4： 定积分的物理意义。从物理角度看，定积分表示变力使质点沿x轴由点a移动到b时所作的功。
定积分的几何意义与物理意义实际上给出了定积分的两个简单而重要的应用。同时了解定积分的几何意义，对理解定积分的许多性质及其证明方法大有帮助。
注5： 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数ƒ和积分区间[]有关，而与积分变量所有的符号无关，即，这一点与不定积分不同，因不定积分与积分变量的选取有关，不允许随便改写积分变量。
注6： 分割T的细度表示分割T越来越细的极限过程，此时分点个数n也越来越多，即；但反过来，当时，并不能保证→0。因此，不能把→0随便的改为除非T是等分分割这种特殊情形）。
三、用定积分定义证明与计算定积分
定积分的定义已经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但比较复杂。若已知函数在[a，b]上可积，由于积分和极限的唯一性，不管[a，b]的什么分割，只要IITII0，也不管点集如何选取，。这样，可作[a，b]的一个特殊分割T（如等分分割等），在[上选取特殊的（如取为的左端点，右端点，中点等），作出积分和，然后取极限，便得到在上的定积分。
例1、 求在区间[0，1]上，以抛物残y=x2为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）。
解：由注3知，因y=x2在[0，1]上连续，故所求面积为S=，为求得此极限,在定积分存在的前提下，允许选择特殊分割:
特殊点 ]，i=1、2、……n。
则有S====.

若取=，则有 S=
当然我们也可以用定积分的定义证明某些特殊数在闭区间上的定积分。
例2、已知函数在区间 上可积 , 用定义求积分.
解： 取等分区间作为分法, . 取 .有
.
上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.
例3、     试证。
证：  由于被积函数，对于区间的任意分法

及任取的（， ），有积分和

且                     
这里，即

例4、      试证。
证：  对于取间的任意分法

及任取的，注意到

      （利用微分学中值定理，）=

      （再利用微分学中值定理，介于与之间）

于是，，，只须，有

即                  
由例3和例4可见，用定义直接去求定积分是相当复杂、相当困难的。因此，根据定义去求定积分一般不可取。在后面的讨论中，我们将看到定积分的计算与求被积函数的原函数联系在一起，而后者在上一章里作过细致的讨论。
四、小结：
（可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再整理一下）
本节课重点在于“定积分的概念”，而“用定义计算或证明定积分”的例题学习是进一步理解定积分的概念，为此，同学们要注意：
（1）定积分的定义要掌握，不仅会叙述，而且要理解定义后列出的6点说明。
（2）用极限形式计算定积分的前提是ƒ在[a，b]上可积，然后作特殊分割，取特殊点，作出积分和，取极限。
用定积分的定义只能证明某些特殊函数在[a，b]上的定积分。
（3）定积分是利用“分割，近似求和，取极限”思想得到的，特定结构的和式（）的极限，以后我们还会学到也是利用此思想得到的其它类型的和式的极限，从而定义其他的积分，应该说，定积分是研究其他各种积分的基础。
（4）同学们在学习这部分知识的同时，要反复体会其中渗透的重要数学思维方法，如抽象化法，符号化法等。
五、课堂练习：
P204T1。按定积分定义证明：
proof.ε＞0, ＞0, 对[a，b]的任一分割T：a=x0＜x1＜……＜＜χn=b, 属于T的所有积分和=从而只要＜，则有0＜ε,于是
六、 作业： P204T2（1）、（3）。
§2 牛顿—莱布尼茨公式
教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．
教学内容：牛顿—莱布尼茨公式．
(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式．
(2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．
教学建议：
(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．
(2) 利用定积分的定义来处理一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．
教学过程：

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。
定理9.1 若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为。
证： 给定任意一个分割：，
，
这里，，用了Lagrange 中值定理。，由Cantor 定理，在一致连续，所以，，只要，，就有。
于是，当时，对，有
。
注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如：在上连续，在内可导，且。而只要在上可积即可。
注2：本定理对的要求是多余的。
设在可积（不一定连续），又设在上连续，并且在上，，则。
证： 任给一分割，由Lagrange中值定理
，。
因在可积，令，则上式右边。所以
。

例 1、 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分：
1）（n为整数）； 2）（0<a<b）； 3）；
4）； 5）.
注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。
例 2、 利用定积分求极限： .
分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。
课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5）；P207T2（1）、（4）。
作业：P206T1（2）、（4）、（6）、（8）；P207T2（2）、（3）。
§3 可积条件
教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件．
教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类
(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件．
(2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件．
教学建议：
(1) 理解定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必须掌握．
(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较好学生可要求掌握这些定理的证明以及证明某些函数的不可积性．
教学过程：

一、可积的必要条件
定理9.2 若函数在上可积，则在上必有界。
证： （反证法）   若函数在上无界，对于的任意分法

则至少存在一个子区间，不妨设为，在其上无界。对于任取的，注意到

其中。于是对于任意取定的，。因在上无界，对于任意给定，，使得

可见对于的任意分法，，使得

可见积分和无界，从而函数在上不可积，此与假设相矛盾。
例1、      证明函数

在[0，1]上不可积。
证： 将[0，1]区间n等分，即取分法；取，其中，，，此时，相应的积分和

故不存在，从而在上不可积。

注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。
例2、 证明狄利克雷函数在上有界但不可积。
证：对于的任意分法

根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。
若取，且是上的有理数，则积分和

若取，且是上的无理数，则积分和

从而，，根据定义3知，在上不可积。

二、 可积的的充要条件
要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。
设T={}为对[,b]的任一分割。由在[,b]上有界知，它在每个上存在上、下确界： ,,.作和，，
分别称为关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给，，显然有。
说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点的取法无关。
定理9.3（可积准则） 函数在上可积对，，使得。
设，并称为在上的振幅，有必要时记为。则有
。
定理9. 函数在上可积对，，使得。
不等式或的几何意义：若函数在上可积，则下图中包围曲线的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。

三、 可积函数类
定理9.4 若函数为上的连续函数，则在上可积。
证：根据在闭区间上连续函数性质，必在上一致连续，即，，对于，只要，有

对于的任意分法，只要，注意到，，使得，，从而有

所以              
即                    
由定理9-知，。
如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论：

定理9.5 若是区间上只有有限个间断点的有界函数，则在上可积。
证：由假设在有界，即，使，从而在上的振幅。又已知在上有有限个间断点，不妨设有个间断点。对于的任意分法 ，在其分割成的个小区间中至多有个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分

其中是相应于分法含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为项。是相应于分法不含有间断点的那些小区间的振幅和。
因为的项数至多为项，故时，有

因为在对应的那些小区间上连续，从而必一致连续。故时，在这些小区间的振幅都小于。于是

取，对于的任意分法，只要，有

即                      
从而。
下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。
定理9.6 若是区间上的单调函数，则在上可积。
证：  不妨设单调增加。若，则，从而由定理9.4，。若，，对于满足的任意分法，有

由此即推知。

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。
例3、试用两种方法证明函数在区间上可积。
证明：[方法1] 利用定理9-6。
[方法2] 利用定理9-和定理9-5。

作业：P212T2、T4。
§4 定积分的性质
教学目标：掌握定积分的性质．
教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．
(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理．
(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．
教学建议：
(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用．
(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题．
教学过程：

我们在8.1、8.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。
在8.1节的定积分定义中，我们假定积分区间的端点，这在实际应用上往往带来诸多不便，现在我们去掉这一限制。
当时，区间表示满足不等式，并且沿数轴由到的值的全体构成的集合；当时，区间表示满足不等式，并且沿数轴由到的值的全体构成的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区间与区间作为集合元素是相同的，但方向相反。
设，仿照在区间上的定积分的定义1.1，可定义在区间上的定积分如下：
在区间由到取任意分法

任取，，，作积分和

若极限存在，称此极限为在区间上的定积分，记作

    如果将在区间上的积分和与在上的积分和相比较，二者之间只相差一个负号。于是得到如下性质：
    性质1：   若函数，则，且
            （1）
另外规定函数在一点处的定积分为
从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点，而高为的曲边梯形，为一直线段，其面积为零。
下面的讨论中，积分区间总是假定，至于的情形，读者不难自行推出相应结论。
性质2（线性性质）：  若函数，，，则函数，且
                        （2）
证：  作函数的积分和

由假设，，故与存在。于是由极限性质知存在，从而
，且

即                            
       如果式（2）中，令，；，，可得
     推论1：若函数，，则，且
                                               （3）
性质3（可加性质）： 设为一个有限闭区间，，若在上可积，则在、、上均可积，且
                    （4）
证：利用函数可积充要条件式，可以证明在的任一子区间上均可积。
若，则对的任意分法，总有
                                         （5）
这时将始终作为分法的一个分点，则
                   （6）
这里与分别表示相应于分法函数在与上的积分和，由、及式（5）和式（6），有

若在之外，不妨设，则，由上面的讨论，有

从而            
总之不论、、在区间的位置如何，总有式（4）成立。
    性质4：若函数，，则乘积函。
证： 对于区间的任意分法

记、和分别为、和在上的振幅，由函数可积的必要条件，、，使得
                                 ，，
另一方面，，有

于是有

从而       
已知，，上式右端的两个振幅和趋于，所以
        即。
性质5：（单调性质）：  若函数，，且，，则
                                  （7）
由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。
推论2：若函数，且，，则
                            （8）
推论3：若函数，且，，则
                                       （9）
性质6：若函数，则，且
                                  （10）
证：  分别记函数与在区间上的振幅为与，由于

于是           
即，所以。
又注意到，对任意函数，总有

再根据性质5，有

可见式（6）成立。
例1、估计积分。
解： 设，则，，故严格单调减少
故                      
于是有

例2、若函数在上可积且单调减少，求证：，有

证： ，由于函数是单调递减的，有，，于是根据性质6，有
         或            （11）
另一方面，，有
   或               （12）
结合式（11）和（12），得

或          
或                  
再根据定积分的可加性质，有

例3、设函数、，求证柯西不等式
                   （13）
证： ，则函数，，根据推论3，有

其判别式

即                  
利用柯西不等式（13），可推出如下闵可夫斯基（Minkowski 1861~1909 德国数学家）不等式
                     （14）
事实上

从而有不等式（14）成立。
定理9.7（积分第一中值定理）： 若函数，函数在区间上可积且不变号，则在上至少存在一点，使得
                              （15）
证：首先由性质4，函数乘积。不妨设。记，，则

根据性质5，有
            （16）
由性质5的推论2，有。如果这个积分为，由不等式（12）推知

此时，对任意的，均有式（11）成立；如果这个积分大于，则对式（12）两端同除以该积分值以后，得
再由闭区间上连续函数的性质，在上至少存在一点，
使
即         
特别，如果，由性质3.7得：
推论4：若函数，
则在上至少存在一点，使得
                                    （17）
式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数，且，那么如图3.1所示，积分

表示曲线下面曲线梯形ABCD的面积，而积分中值公式说明，
它等于同底但高为的矩形ABEF的面积。称为在上的平均值。
例4：设函数在（）可微，且，求证
，使得
证：令，则，由积分中值公式（13），，使得

又注意到，在可导，且

由洛尔定理，至少存在一点，使得

例5、 证明。
证：设，，且不变号，由第一积分中值定理，，使得

故       
例6、 证明：若函数，非负，且，使，
则
证：不妨设，由于在点处连续，取，，当时，有

即                           
于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有

作业：P219 1-8
 §5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）

教学目标：掌握微积分学基本定理．
教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．
(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．
(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．
教学建议：
　 (1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．
(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容．
教学过程：

一、变限积分与原函数的存在性
设在上可积，则对，在上也可积，于是，由
，
定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分。
类似地，可定义变下限的定积分：
，
和统称为变限积分。
说明：由于 ，因此，只要讨论变上限积分即可。
定理9.9 若在上可积，则在上连续。
证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。
定理9.10（原函数存在定理） 若函数在上连续，则在上处处可导，且，。
证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。
说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。

Abel变换： ，，，令，，，
则，

它实际上是分部积分公式

给定分割：令，，之后的一种离散化形式。
定理9.11（积分第二中值定理） 设。
（1）在单调下降，，，则,使得
。
（2） 在单调上升，，，则，使得
。
（3） 在单调，则，使得
。
证：（1） 令，记，，给
一个分割，记，，在单调下降，所以可积，因而

当时。

。
若，则，可取任意值。
若，，，，使得
，即。
（2） 类似可证。
（3） 不妨设单调上升，令，单调上升，，由（2），使得
。

。
例1、 在单调下降，求证
，
。
证：

二 、 定积分的换元积分法和分部积分法
定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数在上连续，在上连续可微，且满足
，，，，
则有定积分的换元积分公式： 。
证：由假设，必有原函数，不妨设的一个原函数，即。根据牛顿－莱布尼兹公式，有

另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有

由以上两式知

注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。

例2、计算。
解题要领： 令或即可。
例3、计算。
解题要领：令，逆向应用换元积分公式即可。
例4、计算。
解题要领：先令，再令即可。
定理9.13 （定积分的分部积分法） 若、为上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：
，
或 。
证：由于 及牛顿-莱布尼兹公式，有

从而，根据定积分的线性性质，有

例5、

。
从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：
1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行；
2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。
例 6、
1. 偶函数，则

。
2. ，奇函数 ，则 。

例 7、
解 ：

，
， 。
。
例8、
解：

，

， 。
所以 ， 。
例 9 (J.Wallis公式)、

证： 时，有， 采用例4中的记号我们可得
，
，
所以

三、 泰勒公式的积分型余项
设函数在点的某邻域内有阶连续导数，令，则

。
其中即为的泰勒公式的阶余项。由此可得，
即为泰勒公式的积分型余项。
由于连续，在（或）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，，，使得
。
即为拉格朗日型余项。
若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得
，
其中，。
而，故
，，
称为泰勒公式的柯西型余项。
特别地，当时，柯西型余项变为：
，。

积分余项的 Taylor 公式
引理： ， ，有
，
证：

。
定理： 设，则
，
其中 ，。
证： 时，

。
设时成立，即

。

。
推论： Lagrange余项，介于，之间。

作业: P229 1～7

§9 定积分的计算（续）

利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。
一 、定积分的换元积分法
应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的　。在不定积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。
例9.5.1 计算
解：作变量代换。当x从4连续增加到9，从2连续增加到3，即当。因此

一般定积分的换元积分法叙述如下：
定理5.1 设函数，若函数在区间连续可微，且当时，则
　　　　　　(9.5.1)
证：由假设，必有原函数，不妨设的一个原函数，即。根据牛顿－莱布尼兹公式，有
　　　　　　　　　（9.5.2）
另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的