点差法求椭圆中点弦知识讲解.doc

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。
一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、
为的中点 　　
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是

即，故所求直线的方程为，即。
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点平分的弦，且、
则，
，
两式相减，得

故直线
由　消去，得

这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）

若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又 ，
两式相减得
即
，即
点的坐标为。
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点、，弦的中点，则
，
又 ，
两式相减得
即，即
，即
由，得
点在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。
解：设椭圆的方程为，则┅┅①
设弦端点、，弦的中点，则
， ，
又，
两式相减得
即
┅┅②
联立①②解得，
所求椭圆的方程是
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，
两式相减得，
即
，，
　　这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内
联立，得　则必须满足，
即，解得
五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

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