资源描述
一次函数及其性质
l 知识点一 一次函数的定义
一般地，形如（，是常数，）的函数，叫做一次函数，当时，即，这时即是前一节所学过的正比例函数．
⑴一次函数的解析式的形式是，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．
⑵当，时，仍是一次函数．
⑶当，时，它不是一次函数．
⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
l 知识点二 一次函数的图象及其画法
⑴一次函数（，，为常数）的图象是一条直线．
⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．
①如果这个函数是正比例函数，通常取，两点；
②如果这个函数是一般的一次函数（），通常取，，即直线与两坐标轴的交点．
⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式的点在其对应的图象上，这个图象就是一条直线，反之，直线上的点的坐标满足，也就是说，直线与是一一对应的，所以通常把一次函数的图象叫做直线：，有时直接称为直线．
l 知识点三 一次函数的性质
⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小．
l 知识点四 一次函数的图象、性质与、的符号
⑴
一次
函数
，
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
⑵一次函数中，当时，其图象一定经过一、三象限；当时，其图象一定经过二、四象限．
当时，图象与轴交点在轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当时，图象与轴交点在轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．
反之，由一次函数的图象的位置也可以确定其系数、的符号．
l 知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式
⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法．
⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：
①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；
②将的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；
③解方程（组），得到待定系数的值；
④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．
类型一：点的坐标
方法： x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0；
若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；
若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；
若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；
1、已知A（4，b），B（a,-2），若A，B关于x轴对称，则a=_______,b=_________;若A,B关于y轴对称，则a=_______,b=__________;若若A，B关于原点对称，则a=_______,b=_________；
举一反三：
【变式1】若点M（1-x,1-y）在第二象限，那么点N（1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。
【变式2】若点A（m,n）在第二象限，则点（|m|,-n）在第____象限；
【变式3】若点P（2a-1,2-3b）是第二象限的点，则a,b的范围为______________________。
类型二：关于点的距离的问题
方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点的距离为；
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
点到原点之间的距离为
2、已知点P（3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点,则MQ=________; ,则EF两点之间的距离是__________;已知点G（2，-3）、H（3,4），则G、H两点之间的距离是_________；
举一反三：
【变式1】两点（3，-4）、（5，a）间的距离是2，则a的值为__________；
【变式2】已知点A（0,2）、B（-3，-2）、C（a,b），若C点在x轴上，且∠ACB=90°，则C点坐标为___________.
【变式3】点D（a,b）到x轴的距离是_________；到y轴的距离是____________；到原点的距离是____________；
类型三：正比例函数与一次函数定义
方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b，这时，y叫做常函数。
☆A与B成正比例óA=kB(k≠0)
3、当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？
思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k≠0．
举一反三：
【变式1】如果函数是正比例函数，那么（ ）.
A．m=2或m=0 B．m=2 C．m=0 D．m=1
【变式2】已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
【变式3】已知一次函数
（1）当m取何值时，y随x的增大而减小？
（2）当m取何值时，函数的图象过原点？
类型四：待定系数法求函数解析式
方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。
☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；
☆ 若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
4、求图象经过点（2，-1），且与直线y=2x+1平行的一次函数的表达式．
思路点拨：图象与y=2x+1平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为y=2x+b，再将点（2，-1）代入，求出b即可．
举一反三：
【 变式1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物时，弹簧的长度为6cm，挂4kg的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式．
分析:题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0时，y=6；当x=4时，y=7.2．求出k，b即可．
【变式2】已知直线y=2x+1．
（1）求已知直线与y轴交点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b与已知直线关于y轴对称，求k，b的值．
【变式3】判断三点A（3，1），B（0，-2），C（4，2）是否在同一条直线上．
分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明第三点在此直线上；若不成立，说明不在此直线上．
类型五：函数图象及其应用
方法：
函数
图象
性质
经过象限
变化规律
y=kx+b
（k、b为常数，
且k≠0）
k＞0
b＞0
b=0
b＜0
k＜0
b＞0
b=0
b＜0
☆一次函数y=kx+b（k≠0）中k、b的意义：
k(称为斜率)表示直线y=kx+b（k≠0） 的倾斜程度；
b（称为截距）表示直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点的 ，也表示直线在y轴上的 。
☆同一平面内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：
当 时，两直线平行。 当 时，两直线垂直。
当 时，两直线相交。 当 时，两直线交于y轴上同一点。
☆特殊直线方程：
X轴 : 直线 Y轴 : 直线
与X轴平行的直线 与Y轴平行的直线
一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线
5、图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)汽车共行驶了___________ km；
(2)汽车在行驶途中停留了___________ h；
(3)汽车在整个行驶过程中的平均速度为___________ km/h；
(4)汽车自出发后3h至4.5h之间行驶的方向是___________.
举一反三：
【变式1】图中，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s与时间t的函数关系，求它们行进的速度关系。
【变式2】（2011四川内江）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( )
A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：
根据图象解答下列问题：
（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？
（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19升.
①求排水时y与x之间的关系式；
②如果排水时间为 2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量.
分析：依题意解读图象可知：从0—4分钟在进水，4—15分钟在清洗，此时，洗衣机内有水40升，15分钟后开始放水.
类型六：一次函数的性质
方法：⑴当时，一次函数的图象从左到右上升，随的增大而增大；
⑵当时，一次函数的图象从左到右下降，随的增大而减小
6、己知一次函数y=kx十b的图象交x轴于点A（一6，0），交y轴于点B，且△AOB的面积为12，y随x的增大而增大，求k，b的值．
思路点拨：设函数的图象与y轴交于点B（0，b），则OB=,由△AOB 的面积，可求出b，又由点A在直线上，可求出k并由函数的性质确定k的取值．
举一反三：
【变式1】已知关于x的一次函数．
（1）m为何值时，函数的图象经过原点?
（2）m为何值时，函数的图象经过点（0，－2）?
（3）m为何值时，函数的图象和直线y=－x平行?
（4）m为何值时，y随x的增大而减小？
【变式2】函数在直角坐标系中的图象可能是（ ）．
【变式3】一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第三象限，则m、n的范围是__________。
类型七：平移
方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k， b则将平移后的点代入解析式求出b即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
7、过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是____ _____。
举一反三：
【变式1】 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
【变式2】直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=____________；
【变式3】把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________。
类型八：交点问题及直线围成的面积问题
方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；
往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
8、已知直线m经过两点（1,6）、（-3，-2），它和x轴、y轴的交点式B、A，直线n过点（2，-2），且与y轴交点的纵坐标是-3，它和x轴、y轴的交点是D、C；
（1） 分别写出两条直线解析式，并画草图；
（2） 计算四边形ABCD的面积；
（3） 若直线AB与DC交于点E，求△BCE的面积。
举一反三：
【变式1】如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2），直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6；
（4） 求△COP的面积；
（5） 求点A的坐标及p的值；
（6） 若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。
【变式2】已知：经过点（-3，-2），它与x轴，y轴分别交于点B、A，直线经过点（2，-2），且与y轴交于点C（0，-3），它与x轴交于点D
（1）求直线的解析式；
（2）若直线与交于点P，求的值。
【变式3】如图，已知点A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求△ABC的面积。
类型九：一次函数综合
10、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（0，1），C（-1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E。
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若y轴上的一点P满足∠APE=45°，请直接写出点P的坐标。
思路点拨：（1）由A，B两点的坐标知，△AOB为等腰直角三角形，所以∠OAB=45°（2）△OCD与△BDE的面积相等，等价于△ACE与△AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为AB中点，故P为（0,0）时，∠APE=45°.
举一反三：
【变式1】在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，点P沿边按A→B→C→D的方向向点D运动（但不与A，D两点重合）。求△APD的面积y()与点P所行的路程x（cm）之间的函数关系式及自变量的取值范围。
【变式2】如图，直线与x轴y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。
（1）求的值；
（2）若点P（，）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：在（2）的条件下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为，并说明理由。
【变式3】已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB
(1)求两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积。
一次函数练习
一、选择题
1.若是正比例函数，则b的值是（ ）
A.0 B. C. D.
2.当时,函数的函数值为 ( )
A.-25 B.-7 C. 8 D.11
3.函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
4.一次函数不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5.若把一次函数y=2x－3,向上平移3个单位长度，得到图象解析式是( )
A、y=2x B、 y=2x－6 C、 y=5x－3 D、y=－x－3
6.一次函数的图象与直线y= -x+1平行，且过点（8，2），此一次函数的解析式为：（ ）
A、y=2x-14 B、y=-x-6 C、y=-x+10 D、y=4x
7．如果直线y＝2x＋m与两坐标轴围成的三角形面积等于m，则m的值是（ ）
A、±3 B、3 C、±4 D、4
8．点A（，）和B（，）在同一直线上，且．若，则，的关系是（ ）A、 B、 C、 D、无法确定．
9.若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 （ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2
x
y
0
2
10、一次函数（是常数，）的图象如图所示，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
11.已知函数,当-1＜x≤1时，y 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知两个一次函数y=x+3k和y=2x－6的图象交点在y轴上，则k的值为（ ）
A、3 B、1 C、2 D、－2
13．已知一次函数y=kx－k，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（ ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限
C、第二、三、四象限 D、第一、三、四象限
14.当时，函数y=ax+b与在同一坐标系中的图象大致是（ ）
15．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论①k<0；②a>0；③当x<3时，y1<y2中，正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16.汽车由Ａ地驶往相距120km的B地，它的平均速度是30km/h，则汽车距Ｂ地路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t的取值范围是（ ）
A．S=120－30t (0≤t≤4) B．S=120－30t (t>0)
C．S=30t (0≤t≤40) D．S=30t (t<4)
二、填空题
1.若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
2．在函数中，自变量的取值范围是 。
3．把函数的图像向 平移 个单位得到函数。
4．直线y=2x+b经过点(1，3)，则b= _________
5. 已知一次函数y=-3x+2，它的图像不经过第 象限.
6.若一次函数y＝mx-(m-2)过点(0,3)，则m= ．
7.函数y= -x+2的图象与x轴，y轴围成的三角形面积为_________________.
8．已知函数y=－3x+b的图象过点（1，－2）和（a，－4），则a=__________
9．某一次函数图象过点（－1，5），且函数y的值随自变量x的值的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式___________
10．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组的解是________．
11.若直线y=kx+b平行直线y=5x+3，且过点（2，-1），则k=______ ,b=______ .
12．直线y=2x+3与y=3x－2b的图象交x轴上同一点，则b=_______.
13．写出一个图象经过点（－1，－1），且不经过第一象限的函数关系式____________.
14．一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象平行，且与直线y=－2x－1交于y轴上同一点，则这个一次函数的关系式为____________.
0
3
4
0.7
1
y(元)
x(分)
15.在某公用电话亭打电话时，需付电话费y（元）与通话时间 x（分钟）之间的函数关系用图象表示如图.小明打了2分钟需付费______元；小莉打了8分钟需付费_______元.
三、计算题
1．画出函数y=-2x+5的图象，结合图象回答下列问题：
（1）这个函数中，随着x的增大，它的图象从左到右是怎样变化的？
（2）当x取何值时，y=0？
（3）当x取何值时，函数的图象在x轴的下方？
2．已知一次函数y=（4m+1）x-（m+1），
（1）m为何值时，y随x的增大而减小？
（2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴的下方？
（3）m为何值时，直线位于第二，三，四象限？
3．已知关于x的一次函数y=（3a-7）x+a-2的图象与y轴的交点在x轴的上方，
且当x1<x2时，对应的函数值满足y1>y2，求a的取值范围．
4.已知直线.
(1) 求已知直线与y轴的交点A的坐标;
(2) 若直线与已知直线关于y轴对称，求k与b的值.
5．已知直线y=-x+3与y=2x-1，求它们与y轴所围成的三角形的面积．
6．如图，已知直线L1：y1=k1x+b1和L2：y2=k2x+b2相交于点M（1，3），根据图象判断：
（1）x取何值时，y1=y2？（2）x取何值时，y1>y2？（3）x取何值时，y1<y2？
7.已知与成正比例,且时,.
(1)求与的函数关系式;
(2)当时,求的值;
(3)将所得函数图象平移,使它过点(2,-1).求平移后直线的解析式.
8. 如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B。
(1) 求A、B两点的坐标；
(2) 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的
面积。
9.已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1.
（1） 求两直线与y轴交点A，B的坐标;
x
y
A
B
C
（2） 求两直线交点C的坐标;
（3） 求△ABC的面积.
10.小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象，小明9点离开家，15点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：①小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？②何时开始第一次休息？休息时间多长？③小强何时距家21㎞？（写出计算过程）
11.王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．
(1)小强让爷爷先上多少米？
(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
(3)小强经过多少时间追上爷爷?
12．某水果店超市，营销员的个人收入与他每月的销售量成一次函数关系，其图象如下：请你根据图象提供的信息，解答以下问题：
（1）求营销员的个人收入y元与营销员每月销售量x千克（x≥0）之间的函数关系式；
（2）营销员佳妮想得到收入1400元，她应销售多少水果？
1000
2000
4000
3000
400
800
1200
y（元）
x（千克）
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
