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第12章 一次函数复习——知识点归纳
1、变量：在一个变化过程中不断发生变化的量；常量：在一个变化过程中保持不变的量。
例： 在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是________.
2、函数：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，（y称为因变量，）称y是x的函数，如果x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时函数值。
注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
判断x是否为y的函数，只要看x取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应
例：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中是一次函数的有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
3、自变量的取范围：确定自变量的取范的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，自变量的取范围还要和实际情况相符合，使之有意义。
例：1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=·
2、函数中的自变量x的取值范围是 .
4、函数的图象
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
6、描点法画函数图象的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
注意：根据“两点确定一条直线”的道理（也叫 两点法）。 一般的，一次函数y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-，0）两点画直线即可；正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。
7、函数的表示方法
1.列表法 2.图象法 3.解析式法
例：1、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是______________．
2、平行四边形相邻的两边长为x、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．
（第3题图）
3、小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 图中的
折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函
数关系. 下列说法错误的是 ( )
A．他离家8km共用了30min B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min D．公交车的速度是350m/min

8、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数 叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
(1) 解析式：y=kx（k是常数，k≠0）
(2) 必过点：（0，0）、 （1，k）
(3) 走向：当k>0时，图像经过第一、三象限，图象从左向右上升（斜向上）；当k<0时，图像经过第二、四象限，图象从左向右下降（斜向下）。
(4) 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
例：1、正比例函数，当m 时，y随x的增大而增大.
2、若是正比例函数，则b的值是
3、函数y=(k-1)x，y随x增大而减小，则k的范围是 ( )
A. B. C. D.
4、过点的正比例函数解析式是 （ ）
A. B. C. D.
10、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b(k、b是常数，k≠0)的函数 叫一次函数. 当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，称它为直线y=kx+b。
正比例函数与一次函数图象之间的关系：一次函数y=kx＋b的图象可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：（0，b）和（-，0）
（3）走向： k>0，图象必经过第一、三象限；k<0，图象必经过第二、四象限
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
（4）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（和正比例函数增减性一样）
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
例：1、若关于x的函数是一次函数，则m= ，n .
2、将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线 .
3、若直线和直线的交点坐标为(),则____________.
4、一次函数，的图象都经过A（-2，0），且与y轴分别交于B、C两点，则△ABC的面积为___________.
5、已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（ ）
Ａ．3m+1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m－1
6、已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
10、一次函数y=kx＋b的图象.

b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
例：1、直线不经过第 象限．
2、若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、一次函数y=ax+b的图像如图所示，则下面结论中正确的是（ ）

A．a＜0,b＜0 　　B．a＜0,b＞0
C．a＞0,b＞0 　D．a＞0,b＜0

3、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

11、一次函数的平移：【口诀：上加下减】
直线y=kx+b+n是由直线y=kx+b向上平移n个单位得到的；
直线y=kx+b-n是由直线y=kx+b向下平移n个单位得到的；
12、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
（1）两直线平行：k1=k2且b1 b2, （2）两直线相交：k1k2
（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2
也就是说，在两个一次函数表达式中：
　　当表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；
　　当表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；
　　当表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；
　　当表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
13、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
　　（1）根据已知条件设出函数关系式；
　　（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
　　（3）解方程得出未知系数的值；
　　（4）将求出的值代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
例：1、 过点P（8，2）且与直线y=x+1平行的一次函数解析式为_________．
2、已知y是x的一次函数，根据下表写出函数表达式，并填空．
x
1
3
4
9
31
y
1
5

14、一次函数的应用
0
y
x、
15
20
27
39.5
淮北市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示。
（1）写出与的函数关系式；
（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？

15、一次函数与一元一次方程的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
16、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
例：画出函数的图象，利用图象求：（1）方程的解；（2）不等式的解；（3）若，求的取值范围。

17、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同. （2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.