北师大版三角函数知识点及例题.doc

三角函数
1.特殊角的三角函数值：
sin= 0
cos= 1
tan= 0
sin3=
cos3=
tan3=
sin=
cos=
tan=1
sin6=
cos6=
tan6=
sin9=1
cos9=0
tan9无意义
2．角度制与弧度制的互化：

3

6
9

18
27
36
0

3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： 扇形面积公式:S=
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
4.任意角的三角函数
设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=
(1)正弦sin= 余弦cos= 正切tan=
(2)各象限的符号：
— +

+ —
-
x
y
++
O
— —
+
x
y
O
— +

— +

y
O

sin cos tan

5.同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）商数关系：=tan
6.诱导公式：记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。
，，．
，，．
，，．
，，．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
，．
，．
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．
倍角公式
sin2=2sin·cos
cos2=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2

两角和与差的三角函数关系
sin()=sin·coscos·sin
cos()=cos·cossin·sin

7、三角函数公式：

降幂公式： 升幂公式 ：
1+cos= cos2
1-cos= sin2

8正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

9．正弦定理 ：
.
余弦定理：
;
;
.
三角形面积定理..
1．直角三角形中各元素间的关系：
如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。
2．斜三角形中各元素间的关系：
在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
。（R为外接圆半径）
（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。
3．三角形的面积公式：
（1）△＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
（2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
（3）△＝＝＝；
（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）
（5）△＝；
（6）△＝；；
（7）△＝r·s。
4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是：
设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。
（1）角与角关系：A+B+C = π；
（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；
（3）边与角关系：
正弦定理 （R为外接圆半径）；
余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA；
它们的变形形式有：a = 2R sinA，，。
5．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；
（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r为三角形内切圆半径，p为周长之半。
（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。
四．【典例解析】

例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；
（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，
；
根据正弦定理，
；
根据正弦定理，

（2）根据正弦定理，

因为＜＜，所以，或
①当时， ，

②当时，
，

例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；
（2）在ABC中，已知，，，解三角形
解析：（1）∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
解法一：∵cos ∴
解法二：∵sin
又∵＞＜∴＜，即＜＜
∴
（2）由余弦定理的推论得：
cos
；
cos
；

题型2：三角形面积
例3．在中，，，，求的值和的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A的值。

又,
,

。
解法二：由计算它的对偶关系式的值。
①

,
②
　 ①　+　②　得　　。
　 ①　－　②　得　　。
从而　。
例4．在锐角中，则的值等于 ，
的取值范围为 .
答案  2
解析 设由正弦定理得

由锐角得，
又，故，

例5．在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解 （1）因为，，又由
得，
（2）对于，又，或，由余弦定理得
，

例6．在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
解法二:由余弦定理得: .又,.
所以 ①
又，
，即
由正弦定理得，故 ②
由①，②解得.

题型4：三角形中求值问题
例7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。
解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。
cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin=－2(sin － )2+ ；
当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。
例8．在中，角所对的边分别为，且满足，．
（I）求的面积； （II）若，求的值．
解（Ⅰ）
又，，而，所以，所以的面积为：
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以
所以
例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。
分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。
在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。
在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，
∴=sin60°=。
解法二：在△ABC中，
由面积公式得bcsinA=acsinB。
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。
∴=sinA=。
例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。
解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，
从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式，
得。
所以
题型6：正、余弦定理判断三角形形状
例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
答案：C
解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，
∴sin（A－B）＝0，∴A＝B
例12．在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。
解（I）∵为锐角，
∴

∵
∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵
∴ ∴
∴
21.在中，为锐角，角所对的边分别为，且
（I）求的值；
（II）若，求的值。
解（I）∵为锐角，
∴

∵
∴
（II）由（I）知，∴
由得
，即
又∵
∴ ∴ ∴

五．【思维总结】
1．解斜三角形的常规思维方法是：
（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
（2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；
（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
2．三角形内切圆的半径：，特别地，；
3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，，…
4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，，…
5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。