巧用公式计算钟表角.doc

巧用公式计算钟表角
在平日的学习过程和近几年中考试题中，我们常会遇到与钟表上的角度计算有关的问题,多数师生在解决这类问题时感到困难大,通常都会采用画简易的表盘示意图的形式，去数两针之间的所夹的格数，既费时又易错。若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易.我们知道，时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°，每分钟时针转动0.5°。假设时间是m时n分,在教学中笔者得到了钟表角的计算公式是:∣m×30°+0.5°n-6°n∣。 下面就常见的几种典型例题对此公式的应用加以举例说明:
一、 求某一时刻时针、分针的夹角．
例1.9点22分时，时针与分针的夹角是多少度？
解:9点22分时，时针转过了（9+）×30°=281°，分针转过了22×6°=132°，其度差为∣281°-132°∣=149°,∴时针与分针的夹角是149°．
例2.7点40分时，时针与分针的夹角是多少度？
解:7点40分时,时针转过了（7+）×30°=230°，分针转过了40×6°=240°，其度差为∣230°-240°∣=10°，∴时针与分针的夹角是10°．
例3。2点54分时,时针与分针的夹角是多少度？
分析:求法与上两例大致相同，不过一般情况我们求出的夹角是小于180°的角。
解:2点54分时,时针转过了（2+）×30°=87°，分针转过了54×6°=324°，其度差为∣87°-324°∣=237°，(大于180°，而习惯上所说的夹角都是小于180）∴时针与分针的夹角是360°-237°=123°．
二、求时针与分针的重合时间．
例4。12点后，时针与分针何时首次重合？
分析：时针与分针重合时，其角度差为0°，则可通过:时针转过的角度—分针转过的角度=0°这个关系式列方程求出具体的重合时间.
解:设x时y分时针与分针重合，则时针转了，分针转了6y度,则有30（x+)—6y=0．整理得y=x,当x=1时，得y=．∴时针与分针首次重合为1时分．
例5.在4点至5点间，时针与分针何时重合？
解:设4点y分时，时针与分针重合，则时针转过（4+)×30度，分针转过6y度，∴.解得y=，所以时针与分针在4点分重合。
三、求时针、分针互相垂直的时间
例6。5点和6点之间，什么时候时针和分针互相垂直？
分析：因为一般情况下，时针和分针的垂直出现两次。所以此类问题可按夹角为90°或—90°（即分针走过的角度减去时针走过的角度）两种情况处理。
解:设5点y分时，时针与分针互相垂直,则∣5×30+—6y∣ =90故有5×30+—6y =90或5×30+—6y =-90．解得y=或y=，所以经过或分，时针与分针互相垂直。
四、求时针、分针成一直线的时间．
例7.2点几分时，时针与分针可成一条直线？
分析：此类可按夹角为180°的情况处理。
解：设第y分钟，时针与分针成一条直线，则有∣2×30+-6y∣=180．此时应取-180,解得y=，所以2点分,时针与分针成一条直线．
例8.8点几分，时针与分针可成一条直线？
解：设第y分钟,时针与分针成一条直线，则有8×30+-6y =180．此时应取180.解得y=，所以8点分，时针与分针成一条直线．
评注:此类问题属于夹角问题的一个特例，因为6点时属于时针和分针成一直线的特例,所以解答时以6点为分界线。若时间小于6点,按夹角为—180°计算，若时间大于6点,则按夹角为180°解答。
几点说明：
1、公式中的时间按12小时制，若是24小时制，则换算为12小时制。如16点15分，则按4点15分代入公式计算。
2、若计算的结果大于180°，按照计算夹角的习惯方法,答案应为360°减去运算结果.