空间向量知识点总结.doc

空间向量与立体几何知识点总结一、基本概念:1、空间向量：2、相反向量： 3、相等向量：4、共线向量： 5、共面向量：6、方向向量: 7、法向量8、空间向量基本定理：二、空间向量的坐标运算：1.向量的直角坐标运算设，则(1) ； (2) ；(3) (R)； (4) ；2.设A，B，则= .3、设，则； .4.夹角公式 设，则.5异面直线所成角=.6平面外一点到平面的距离 已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，到平面的距离为：空间向量与立体几何练习题一、选择题1.如图，棱长为的正方体在空间直角坐标系中，若分别是中点，则的坐标为（ ）A. w.w.w.k.s.5 u.c.o.m B.C. D.图2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）A B图CD3.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，则（ ）A. B.C. D.二、填空题4.若点,且,则点的坐标为_.5在正方体中，直线与平面夹角的余弦值为_.三、解答题1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB1与底面ABCD所成的角为，（1）求证（2）求二面角的正切值2在三棱锥中，, 是中点,点在上,且,(1)求证：；(2)求直线与夹角的余弦值；(3)求点到平面的距离的值.3在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值4、已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角5、已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（）D1E与平面BC1D所成角的大小；（）二面角DBC1C的大小；一、考点概要：1、空间向量及其运算(1)空间向量的基本知识：定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。空间向量基本定理：定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。共线向量(平行向量)：定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 。规定：零向量与任意向量共线;共线向量定理：对空间任意两个向量 平行的充要条件是：存在实数，使 。共面向量：定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或 在内，则说向量 平行于平面，记作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。共面向量定理：如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条件是：存在实数对x、y，使 。空间的三个向量共面的条件：当 、 、 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是 、 、 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得 ，或对于空间任意一定点O，有 。空间两向量的夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点O，作 ， (两个向量的起点一定要相同)，则叫做向量 与 的夹角，记作 ，且 。两个向量的数量积：定义：已知空间两个非零向量 、 ，则 叫做向量 、 的数量积，记作 ，即： 。规定：零向量与任一向量的数量积为0。注意：两个向量的数量积也叫向量 、 的点积(或内积)，它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。数量积的几何意义： 叫做向量 在 方向上的投影(其中为向量 和 的夹角)。即：数量积 等于向量 的模与向量 在 方向上的投影的乘积。基本性质：运算律：(2)空间向量的线性运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：加法：减法：数乘向量：运算律：加法交换律：加法结合律：数乘分配律： 二、复习点睛：1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。2、空间向量的坐标表示：(1)空间直角坐标系：空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向;构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使xOy=135(或45), yOz=90，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半;(2)空间向量的坐标表示：已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，x=OA，y=OB，z=OC，当 与 的方向相同时，x0，当 与 的方向相反时，x0，同理可确y、z(如图)。规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。设 ， ，则：(3)空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离： ;空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ;球面方程：二、复习点睛：4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。5、空间直角坐标系中的特殊点:(1)点(原点)的坐标：(0,0,0);(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z);(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z)6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样;9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。