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线性代数知识点总结 姜翠萍
线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一)要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数,奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理
5、克莱姆法则
（二）基本要求
1、理解n阶行列式的定义
2、掌握n阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即
5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：
归化为上三角或下三角行列式，
各行（列)元素之和等于同一个常数的行列式,
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
(一）要点
1、矩阵的概念
矩阵是一个矩阵表。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.
注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵:对角阵；数量阵;单位阵;三角形矩阵；对称矩阵
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法
(1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵.
如果两矩阵与相乘，有，则称矩阵与可换。
注：矩阵乘积不一定符合交换
(2）方阵的幂：对于阶矩阵及自然数,
规定,其中为单位阵 .
(3） 设多项式函数，为方阵,矩阵的多项式,其中为单位阵。
(4）阶矩阵和，则。
（5）阶矩阵，则
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵的伴随矩阵记为，
矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵可逆的又一充分必要条件:可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩:矩阵的阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
（二）要求
1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法;矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
（2）特殊分法的分块矩阵的乘法,例如，,将矩阵分块为
,其中(）是矩阵的第列，
则
又如将阶矩阵分块为,其中（）是矩阵的第列。
（3）设对角分块矩阵
，均为方阵，
可逆的充要条件是均可逆,，且
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价，记为。
矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型：若，则
，，为阶单位矩阵。
因此阶矩阵可逆的充要条件为.
第三章 线性方程组
（一）要点
1、n维向量;向量的线性运算及其有关运算律
记所有维向量的集合为，中定义了维向量的线性运算，则称为 维向量空间。
2、向量间的线性关系
（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定
（2)线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法
（1）设有两个向量组
向量组和可以相互表示,称向量组和等价。向量组的等价具有传递性.
（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
（1）线性方程组的消元解法
(2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定
(3）线性方程组解的结构
（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法
（5）非齐次方程组解的求法
（二）要求
1、理解n维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律
2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念
3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理
4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法
5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法
6、会用消元法解线性方程组
7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法
8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法
9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法
第四章 矩阵的特征值与特征向量
(一)要点
1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质
2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件
3、实对称矩阵的特征值和特征向量
向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法;正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化
（二）要求
1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质
2、掌握特征值与特征向量的求法
3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质
4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法
5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。
第五章 二次型
（一）要点
1、二次型与对称矩阵:
二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系
2、二次型与对称矩阵的标准形
配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形
3、二次型与对称矩阵的有定性
二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定
（二)要求
1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法.
2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型
3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性.
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