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第十二章 轴对称----知识点总结
1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：
（1） 成轴对称的两个图形全等。
（2） 对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3） 对应点到对称轴的距离相等。
（4） 对应点的连线互相平行。

图1

5、线段的垂直平分线：
（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
如图2，
∵CA=CB，直线m⊥AB于C，
∴直线m是线段AB的垂直平分线。

图2

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
如图3，
∵CA=CB，直线m⊥AB于C，点P是直线m上的点。
图3
∴PA=PB 。
（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB，直线m是线段AB的垂直平分线，
∴点P在直线m上 。
6、等腰三角形：
（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
相等的两条边叫做腰。
第三条边叫做底。
‚两腰的夹角叫做顶角。
ƒ腰与底的夹角叫做底角。
说明：
图4

可见，底角只能是锐角。
（2）性质：
等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
‚“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。
如图5，在△ABC中
∵AB=AC
∴∠B=∠C 。
图5
ƒ三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。
（3）判定方法：
定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中，
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形 。
‚判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中
∵∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形 。
7、等边三角形：
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质：
等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
‚三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
ƒ等边三角形的三个内角都等于60°。
图6
如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。
（3）判定方法：
定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形 。
‚判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC中
∵∠A=∠B=∠C
∴△ABC是等边三角形 。
ƒ判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
如图6，在△ABC中
∵AB=AC（或AB=BC,AC=BC）
∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°）
∴△ABC是等边三角形 。
（4）重要结论1：在Rt△中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
如图7，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°
∴BC=AB或AB=2BC

图7

（5）重要结论2：在Rt△中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是。
8、平面直角坐标系中的轴对称：
（1） （2）
说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见12（1）。
9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。
‚成轴对称的两个图形只有一条对称轴。
10、常见的轴对称图形：
（1） 英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
（2） 中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。
（3） 数字。0 3 8
（4） 图形。

说明：圆有无数条对称轴。
‚正n边形有n条对称轴。
11、其他结论
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
12、掌握几个作图：
（1） 作出点A关于直线m对称的点A/ 。
作法：如图
以点A为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN交于两点C、D。
‚分别以点C,D为圆心，大于的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E。
ƒ作射线AE，设交直线mn于点F。
在射线AE上截取FA/=FA，点A/即为所求。
（2）课本34页例题。 
（3）课本37页9、10题。
（4）课本42页12.2-8 图2

13、作图题专练
A
C
·
·D
O
B
1、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

2、已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．
（1）如图，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小；
作法：

（2）如图，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大
作法：

（3）如图，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

变式练习
1、如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B求作：点P，使点P在MN上，且∠APM＝∠BPN

2、如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小.

3、如图已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

4、已知：如图点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小.

5、已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．