一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测图像去噪算法.pdf

第 51 卷 第 1 期2024 年北京化工大学学报(自然科学版)Journal of Beijing University of Chemical Technology(Natural Science)Vol.51,No.12024引用格式:王鸿,崔丽鸿,孙海禄.一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测图像去噪算法J.北京化工大学学报(自然科学版),2024,51(1):128-134.WANG Hong,CUI LiHong,SUN HaiLu.An image denoising algorithm for singularity set detection based on a waveletframe with random unidirectional variationJ.Journal of Beijing University of Chemical Technology(Natural Science),2024,51(1):128-134.一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测图像去噪算法王摇 鸿1摇 崔丽鸿1*摇 孙海禄2(1.北京化工大学 数理学院,北京摇 100029;2.河北地质大学 信息工程学院,石家庄摇 050031)摘摇 要:在图像恢复过程中,奇点集检测结果的准确性很大程度上会受到噪声的干扰,并且在其检测的迭代过程中易陷入局部最优。利用随机全局搜索的思想,借鉴遗传算法的变异操作,提出一种基于小波框架的具有随机单向变异操作的奇点集检测图像去噪算法,在保证图像恢复效果的同时,极大缩短了运算时间。最后通过实验验证了该算法的有效性。关键词:图像恢复;奇点集检测;随机全局搜索;单向变异;小波框架中图分类号:TP391摇 摇 DOI:10.13543/j.bhxbzr.2024.01.015收稿日期:2021-08-10第一作者:女,1995 年生,硕士生*通信联系人E鄄mail:引摇 言图像恢复是图像处理中十分重要的一个环节,主要包括图像去噪、图像去模糊、图像修复等,已被广泛应用于医学、军事、教育、航空航天等各领域。图像恢复通过对退化的图像进行处理,来达到恢复图像质量的目的。图像恢复通常可归结为求解一个线性逆问题f=Au+n式中,f 为噪声图像,u 为待恢复图像,A 为线性算子,n 为方差是 啄 的高斯噪声。上述问题通常是不适定的,这使得它的求解是非平凡的。为了从不适定的线性逆问题中获取高质量的恢复图像,需要对图像进行适当的建模。已有文献中提出了许多基于小波或小波框架的图像恢复模型,使用最多的有分析模型1、综合模型2、平衡模型3等。文献4表明,一种好的图像恢复模型在最大限度抑制噪声的同时,既能对图像进行平滑处理,又能恢复或保留边缘等重要的图像特征,作者在文中提出以下模型infu,祝椰姿 Wu祝c椰22+椰酌 Wu祝椰1+12椰Au-f椰22(1)式中,W 为小波框架变换,u 为要恢复的图像,祝 为奇点集,姿 和 酌 为参数。该模型利用小波框架域的l2范数保持图像平滑,l1范数保留边缘锐化。同时因为小波框架系数中的较大值指示了奇点集的位置,所以该模型可通过简单的数值迭代方式快速有效地确定奇点集 祝。图像去噪的难点是在降低噪声的同时如何保留图像边缘等奇点集的特征。文献5提出了基于模糊边缘的检测方法,首先将滤波器的集合输入到模糊系统,再通过模糊推理决定一个像素是属于边缘还是非边缘。Dhivya 等6提出一种新的模糊逻辑方法,主要用于不需要寻找阈值的数字图像边缘检测。除此之外,Canny 边缘检测算法也被广泛应用于图像处理和计算机视觉问题中。文献7提出一种基于改进 Canny 边缘检测的遥感影像分割算法,在遥感影像的分割中得到了较好的结果。文献8提出一种基于边缘检测全变分(TV)模型的图像去噪方法,该方法首先采用 Canny 算法对图像边缘进行检测,并用边缘膨胀算法对边缘部分作膨胀处理,之后提取边缘区域和非边缘区域,用 TV 图像去噪模型和均值滤波算法分别对图像的边缘区域和非边缘区域进行去噪。最近,文献9提出一种基于特征的图像配准(FBIR)方法,其结合了改进的带有模糊逻辑的 Canny 方法,实现了图像边缘的精确检测。然而在小波变换域中,噪声在最低分解级别中占主导地位,因此在此级别检测到的边缘相关系数和正则系数仍然包含大量噪声10,从而影响奇点集的确定。而且在寻找奇点集最优解的过程中,最优解的数量和位置很可能是未知的,所以若对此时检测到的奇点集不进行任何的修改就运用到下一次的迭代过程中,很容易使其陷入局部最优,从而得到运行时间长、信噪比低的图像恢复结果。基于随机理论的算法,例如演化算法,虽然在描述、解释和预测其行为的理论基础方面目前还不成熟,但它们在信息安全系统、车辆调度、资源配置、路径规划等领域的应用取得了很大的成功11。基于此,本文借鉴随机理论提出一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测方法,对初步生成的奇点集进行随机单向变异操作,以达到帮助奇点集的检测结果在迭代过程中逃离局部最优以及加速寻优进程的目的。之后将该检测方法应用于图像去噪,提出一种改进的图像去噪算法。1摇 小波框架理论与奇点集估计1郾 1摇 小波框架变换定义 1摇函数 准沂L2(Rd)被称为可细分的,如果准=2d移k沂Zd子0k准(2-k)(2)其中 子0为 准 的可细分掩码或低通滤波器。定义 2摇 对于给定的可细分函数 准沂L2(Rd),定义Vn=span准(2n-k),k沂Zd,n沂Z(3)如果 下 面 的 条 件 满 足,则 称 Vnn沂Z形 成L2(Rd)中的一个多分辨分析(MRA):V1 Vn奂Vn+1;V2 疑n沂ZVn=0;V3 胰n沂ZVn=L2(Rd)。基于多分辨分析的框架函数 鬃 的构造方法如下:寻找掩码 子l的有限序列,使得鬃l=2d移k沂Zd子lk准(2-k),l=1,2,L(4)集合子l:0臆l臆L称为框架滤波器组,子l(1臆l臆L)称为高通滤波器。定义 3摇 由函数 追:=鬃1,鬃2,鬃L的伸缩和平移构成的拟仿射系统 X(追)称为 L2(Rd)中的紧框架,如果f=移Ll=1移n沂Z移k沂Zd掖f,鬃l,n,k业鬃l,n,k(5)此时称 鬃l,l=1,2,L 为紧小波框架函数,系统 X(追)为紧小波框架系统,其中X(追)=鬃l,n,k:1臆l臆L;n沂Z,k沂Zd(6)鬃l,n,k:=2nd2鬃l(2n-k),n逸02nd鬃l(2n-2nk),n0(7)定理 112摇 如果掩码 子l,1臆l臆L 是有限支集,且它们的傅里叶序列子l,子l=移k沂Zd子lke-ikw满足移Ll=0子l(灼)子l(灼+淄)=1,淄=(0,0)0,淄=0,仔d(0,0)(8)则称仿射系统 X(追)形成 L2(Rd)中的紧小波框架,其中 灼沂-仔,仔d,追=鬃1,鬃2,鬃L由式(4)定义。构造 L2(R2)空间紧框架的一种方法是取单变量紧框架的张量积。给定一组单变量掩码子l:l=0,1,r,定义 i:=(i1,i2),k:=(k1,k2),二维掩码为子ik:=子i1k1子i2k2(9)其中 0臆i1,i2臆r;(k1,k2)沂Z2。相应的二维可细分函数和框架函数定义为鬃i(x,y)=鬃i1(x)鬃i2(y)(10)其中 0臆i1,i2臆r;(x,y)沂R2。这里令 鬃0:=准,定义追:=鬃i:0臆i1,i2臆r;i屹(0,0)如果单变量掩码子l是由酉扩张原理(unitaryextension principle,UEP)12构造的,则可以验证子i满足式(8),从而 X(追)是 L2(R2)的紧框架。在离散情况下,假设图像 u 是二维数组,为I2:=Rn1伊 n2中 n1伊 n2大小的图像,由于模型(1)主要针对正方形图像进行处理,因此这里假设所有的图像都是正方形的,即 n1=n2=N。对于 u沂I2,具有分解级别 J 的二维(离散)小波框架分解变换为921第 1 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 王摇 鸿等:一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测图像去噪算法Wu=Wj,iu:0臆j臆J-1,0臆i1,i2臆r(11)小波框架的高频带定义为 B=i:0臆i1,i2臆r 0,W 是线性算子,Wj,iu 表示图像 u 在分解级别 j和频带 i 处的框架系数,另外Wj,iu:=子j,i-茚u其中茚表示在适当边界条件(例如周期性边界)下的卷积算子,并且子j,i=寛子j,i茚寛子j-1,0茚茚寛子0,0式中寛子j,ik=子i2-jk,k沂2jZ20,k埸2jZ2且 子0,i=子i。逆小波框架变换表示为 WT,它是 W 的伴随算子,则可得到下述完全的重构公式u=WTWu,坌u沂I21郾 2摇 奇点集检测文献4中提出一种基于小波框架的图像恢复模型(1),其中椰 姿Wu祝c椰22:=移k沂O2祝移J-1j=0移i沂B姿j,i k|(Wj,iu)k|2(12)椰酌 Wu祝椰1:=移k沂祝移J-1j=(0移i沂B酌j,ik|(Wj,iu)k|)212(13)该模型通过对奇点集的检测将图像划分为平滑和奇点区域,并使用最适合每个区域的不同范数,这样既可以避免奇异点的平滑,又保持了平滑区域的光滑性。这里令 O2:=0,1,N-12表示离散域 赘=(0,1)2中笛卡尔网格的索引集合,祝奂O2是奇点集。集合 祝 可以通过数值迭代获得。文献4中给出以下方法祝=arg min祝奂O2椰姿 Wu祝c椰22+椰酌 Wu祝椰1(14)结合式(12)和式(13),可得到 祝 的一个封闭形式的近似解祝=p 沂 O2:移J-1j=(0移i沂B酌j,i p|(Wj.iu)p|)212臆移J-1j=0移i沂B姿j,ip|(Wj,iu)p|2(15)通过式(15)即可得出奇点集的近似集合。2摇 随机全局搜索思想与单向变异操作求解最优化问题,目的是要找到目标函数 f 的全局最优解。如果 f 的形式在其解空间内表现的足够平滑,只需要简单地使用标准的一阶或二阶梯度法,即可求出局部最优解13。若已知 f 在其解空间上的表现形式为单峰函数,那么也容易找到其全局最优解。然而,如果 f 在其解空间上的表现形式是多峰的,那么将导致 f 局部最优解的数量和位置是未知的,在这种情况下,必须彻底分析整个解空间来定位全局最优解的邻域14。已有的确定性算法固然可以在不计成本的前提下确定 f 的最优解,但其在复杂问题上的成本花费往往是巨大的,例如使用动态规划方法求解高维背包问题时,可能需要数年的时间才能确定最优解。对此,可以借鉴随机全局搜索的方法,利用随机思想,在某一时刻根据均匀分布在解空间中进行随机独立采样并评估,以达到跳出当前局部解空间、加速寻优进程的目的。随机全局搜索虽然有利于对整个解空间的探索,但不利于最优解的快速确定。在求解复杂问题过程中,当局部最优解逐渐确定时,借鉴遗传算法中的变异操作15随机地将解中的某一维变量人为地映射到其他解空间,继续进行寻优操作,最终保留多个局部最优解中的最优值。这与遗传算法中变异操作的不同之处在于,该操作只会引导解向着一个方向改变。定义 4摇 设 U=u1,u2,un是 n 维实向量,ud(1臆d臆n)是在(0,1)区间内随机产生的随机实数。假设 P0是给定区间(0,1)内的实数,称为单向变异概率。对于集合 祝=y1,y2,yn沂0,1n的每个维度 d 进行单向变异操作,其中 d=1,2,n。yd=1,yd=0,并且 ud臆P0yd,其他(16)我们将这种在寻优进程中某一时刻随机修改可行解的行为称为随机单向变异。3摇 基于随机单向变异和小波框架的奇点集检测图像恢复算法3郾 1摇 基于随机单向变异和小波框架的奇点集检测公式(14)给出了一种奇点集的检测方法。然而在小波变换域中,由于噪声在最低分解级别中占主导地位,所以由公式(14)检测出的奇点集很大程度上会因噪声的干扰而使得其准确性受到影响。并031北京化工大学学报(自然科学版)摇 摇 摇 摇 摇 摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 2024 年且 祝 局部最小值的数量和位置可能是未知的,所以在迭代过程中容易陷入局部最优的情况。针对奇点集检测的以上不足,本文利用随机全局搜索思想和遗传算法的变异操作,提出一种随机单向变异操作,并将其应用于奇点集的检测。基于随机全局搜索思想的算法,其寻优过程可分为两个阶段:算法迭代初期为探索阶段,后期为开发阶段。该算法的主旨思想在于前期可以尽可能地探索整个解空间,后期则尽可能快速地收敛于最优解。基于此,只在迭代前期使用随机单向变异操作,帮助其逃离局部最优的同时,加快对于整个解空间的探索,并且不会影响算法后期的收敛进程,进而达到快速寻优的目的。3郾 2摇 算法改进本节将加入随机单向变异策略的奇点集检测方法应用于图像恢复模型(1)的求解算法中,得到的改进算法如下(原算法见文献4)。步骤 1摇设 f 为观测图像,首先初始化 u0,祝0。这里将 u 的初始化定义为 u0=0,而 祝 的初始化采用文献4中的方法,即g0k=移0臆j臆J-1,i沂B|(Wj,if)k|2并且 g=g0/椰g0椰肄。则 祝0可由式(17)得出祝0=k沂O2:gk逸籽(17)式中 籽 为阈值,实验中将其固定为 0郾 1。步骤 2摇计算恢复的图像 uk,其中 祝k-1为第k-1 次迭代得出的奇点集uk=arg minu沂I2椰姿 Wu(祝k-1)c椰22+椰酌 Wu祝k-1椰1+12椰Au-f椰22对于要恢复的图像 uk,这里采用分裂 Bregman算法来求解1,该方法对于解决基于变分和小波框架的图像恢复模型中的优化问题具有很好的效果。令 d0=b0=0,对于 l=1,2,有uk,l=arg minu12椰Au-f椰22+摇 摇滋2椰Wu-dl-1+bl-1椰22dl=arg mind椰姿 d(祝k-1)c椰22+摇 摇 椰酌 d(祝k-1)椰1+摇 摇滋2椰d-Wuk,l-bl-1椰22bl=bl-1+(Wuk,l-dl)步骤 3摇 给定 uk,并通过式(18)得到奇点集 祝k的初步检测结果祝k=arg min祝奂O2椰姿 Wuk祝c椰22+椰酌 Wuk祝椰1(18)步骤 4摇 利用随机单向变异操作对初期迭代的奇点集 祝k=y1,y2,yn沂0,1n做进一步优化,rand 表示区间(0,1)内实时生成的随机数。yd=1,yd=0 且 rand臆P0yd,其他当两 次 迭 代 结 果 满 足 条 件 椰uk-uk-1椰F/椰uk-1椰F10-4时停止,否则令 k=k+1,继续执行上述算法过程。3郾 3摇 数值实验对 3郾 2 节提出的改进算法进行数值实验,并将实验结果与模型(1)中原算法和基于框架的稀疏去模糊算法(IFASDA)16的实验结果进行比较。这里IFASDA 算法采用次梯度法恢复图像,没有对奇点集进行检测;原算法采用式(14)来检测图像的奇点集;改进算法采用本文提出的具有随机单向变异操作的奇点集检测方法。本文主要考虑的图像恢复问题是图像去噪,实验中所有图像均被高斯噪声破坏,以此获得观测图像 f。通过迭代执行 3郾 2 节中的算法,最终得到模型的近似解。其中改进算法与原算法都使用分段线性B 样条紧框架12,分解级别选取2。IFASDA 算法采用文献16中通过分段线性 B 样条紧框架构造的几何紧框架。实验在 Matlab R2020b 中进行。计算机为 ThinkCentre M8400t 台式机,采用 Intel(R)Core(TM)i7-3770 CPU 3郾 40 GHz 处理器、8G内存和 Windows 10 操作系统。为了测量图像的恢复质量,使用由式(19)定义的峰值信噪比 R(PSNR)作为检测标准,PSNR 值越高,图像的恢复效果越好。R=-20lg椰u-u椰2N(19)式中,u 和 u 分别为原始图像和恢复图像,N 为总像素数。图 1 是原算法与改进算法在噪声方差 啄=4 的观测图像上的恢复结果对比。图 1 的实验结果表明本文提出的改进算法在保证图像恢复效果的同时,极大地缩短了运行时间。结果数据的对比也131第 1 期摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 王摇 鸿等:一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测图像去噪算法图 1摇 原算法与改进算法在“Slope冶和“Barbara冶图像上的恢复结果Fig.1摇 Restoration results of the original algorithm and the improved algorithm for“Slope冶 and“Barbara冶 images摇验证了本文所提出改进算法的有效性和实用性。为了更好地说明所提出的具有随机单向变异操作的奇点集检测图像去噪算法的有效性,作进一步的实验验证如图 2 所示。图 2 为 啄=5 的噪声图像分别通过原算法和改进算法的恢复结果比较(IFASDA 算法的恢复结果见文献16)。表 1 和表 2 分别总结了 3 种算法的 PSNR 值和运行时间。从表中数据可以看出,改进算法的 PSNR 值均优于原算法与 IFASDA 算法,同时,通过图 2 可以直观地看出改进算法中图像的边缘轮廓更加清晰。此外,改进算法在大部分图像上的运行时间相对于原算法和 IFASDA 算法都有了显著的缩短。表 1摇 图 2 中图像恢复的 PSNR 值比较Table 1摇 Comparison of the PSNR values in Figure 2模型PSNRHouseLenaCameramanBoatIFASDA25郾 7926郾 5723郾 9525郾 87原模型26郾 5628郾 3126郾 2328郾 60改进后模型26郾 6528郾 3726郾 2628郾 65摇 摇 值得注意的是,对于“Boat冶图像,由于其边缘轮廓相对复杂,而 IFASDA 算法并没有对图像的奇点摇 摇 摇 摇表 2摇 图 2 中图像恢复的运行时间比较Table 2摇 Comparison of image running time in Figure 2模型运行时间/sHouseLenaCameramanBoatIFASDA193199207156原模型14714283579改进后模型11711180493集进行检测,因此其运行时间相对较短,而改进后算法和原算法在奇点集检测部分计算时间较长,但这两种算法的图像恢复质量与 IFASDA 算法相比均有较大的提升。4摇 结论基于随机全局搜索思想和遗传算法的变异操作,本文提出一种具有随机单向变异的基于小波框架的奇点集检测方法,通过对初步生成的奇点集内的点进行随机单向变异操作,从而帮助奇点集在检测过程中逃离局部最优且加速寻优进程。之后将该奇点集检测方法运用到图像恢复模型的求解算法中,提出一种改进的图像去噪算法,并通过实验验证了所提算法的高效性。231北京化工大学学报(自然科学版)摇 摇 摇 摇 摇 摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 2024 年图 2摇 原算法与改进算法的图像恢复质量对比Fig.2摇 Comparison of image restoration quality between the original algorithm and the improved algorithm摇参考文献:1摇 CAI J F,OSHER S,SHEN Z W.Split Bregman methodsand frame based image restorationJ.Multiscale Model鄄ing and Simulation,2010,8(2):337-369.2摇 DONG B,SHEN Z W,XIE P C.Image restoration:ageneral wavelet frame based model and its asymptotic a鄄nalysis J.SIAM Journal on Mathematical Analysis,2017,49(1):421-445.3摇 CAI J F,CHAN R H,SHEN L X,et al.Convergence a鄄nalysis of tight framelet approach for missing data recoveryJ.Advances in Computational Mathematics,2009,31(1):87-113.4摇CAI J F,DONG B,SHEN Z W.Image restoration:awavelet frame based model for piecewise smooth functionsand beyondJ.Applied and Computational HarmonicAnalysis,2016,41(1):94-138.5摇 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this paper,an image denoising algorithm for singularity set detection based on a wavelet frame with ran鄄dom unidirectional variation is proposed based on the idea of random global search and the mutation operation of ge鄄netic algorithm.The operation time can be greatly shortened,while image recovery effect is maintained.Finally,the effectiveness of the algorithm is verified by experiments.Key words:image restoration;singularity set detection;random global search;unidirectional variation;waveletframe(责任编辑:吴万玲)431北京化工大学学报(自然科学版)摇 摇 摇 摇 摇 摇摇摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 2024 年