八年级(上)期中数学试卷4.doc

八年级（上）期中数学试卷4
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
3．（3分）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．（3分）如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．40° C．62° D．38°
5．（3分）平面直角坐标系中点（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
6．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（　　）

A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
7．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（　　）

A．18 B．21 C．26 D．28
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝7.5，CF＝6，则EF的长度为（　　）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
9．（3分）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
10．（3分）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是　 　．

12．（3分）若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是　 　°．
13．（3分）用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm，则所围成等腰三角形的底边长为　 　cm．
14．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　 　°．

15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD＝　 　．

16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．

18．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

19．（8分）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．

20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　 　；
（2）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　 　；
（3）直接写出点B关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为﹣1）对称点B′的坐标为　 　；
（4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置．（保留画图痕迹）

21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至E，使AE＝AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠E＝40°，求∠AGB的度数．

22．（10分）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，求．

23．（10分）如图，已知AC＝BC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠C．

（1）如图1，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证：①∠EDB＝∠CAD，②DA＝DE；
（2）如图2，若∠C＝40°，DA＝DE，求∠DBE的度数；
（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA＝DE成立．
24．（12分）在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如图1，若+（a﹣2）2＝0，求△ABO的面积；
（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD＝CD，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，﹣6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．

八年级（上）期中数学试卷4
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选选项，其中有且只有一个正确，请在答题卷上将正确答案的字母代号涂黑.
1．（3分）低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，6，6 D．9，9，19
【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：由3，4，8，可得3+4＜8，故不能组成三角形；
由5，6，11，可得6+5＝11，故不能组成三角形；
由6，6，6，可得6+6＞6，故能组成三角形；
由9，9，19，可得9+9＜19，故不能组成三角形；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．（3分）若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n﹣3），求出边数即可得解．
【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，
∴n﹣3＝4，
解得n＝7．
即这个多边形是七边形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△DEF，则∠E的度数为（　　）

A．80° B．40° C．62° D．38°
【分析】根据全等三角形的性质得出∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，根据三角形的内角和定理求出∠E的度数即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝80°，∠C＝62°，
∴∠F＝∠C＝62°，∠D＝∠A＝80°，
∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝180°﹣80°﹣62°＝38°，
故选：D．
【点评】本题考查了对全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（3分）平面直角坐标系中点（﹣2，1）关于y轴对称的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）．
【解答】解：点（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标是（2，1），
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：
（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
6．（3分）如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不能使△ABC≌△ABD的是（　　）

A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，已知有∠DAB＝∠CAB和隐含条件AB＝AB，看看再添加的条件和以上两个条件是否符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：A、∵在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（SAS），正确，故本选项错误；
B、根据BC＝BD，AB＝AB和∠CAB＝∠DAB不能推出两三角形全等，错误，故本选项正确；
C、∵在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（AAS），正确，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（ASA），正确，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点E，若BD＝5，△ABC的周长为31，则△ACE的周长为（　　）

A．18 B．21 C．26 D．28
【分析】先根据DE是线段BC的垂直平分线得出BE＝CE，即BE+AE＝CE+AE＝AB，再由△ACE的周长＝AB+AC即可求出答案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，BC＝2BD＝10，即BE+AE＝CE+AE＝AB，
∵△ABC的周长为31，
∴∴△ACE的周长＝AB+AC＝31﹣10＝21．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE交AC于F，若EF＝AF，BE＝7.5，CF＝6，则EF的长度为（　　）

A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【分析】延长AD，使DG＝AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC＝DG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G，由等腰三角形的性质可得BE＝BG＝7.5，即可求EF的长．
【解答】解：如图，延长AD，使DG＝AD，连接BG，

∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD，且DG＝AD，∠ADC＝∠BDG
∴△ADC≌△GDB（SAS）
∴AC＝DG＝CF+AF＝6+AF，∠DAC＝∠G
∵EF＝AF，
∴∠DAC＝∠AEF
∴∠G＝∠AEF＝∠BEG
∴BE＝BG＝7.5
∴6+AF＝BG＝7.5
∴AF＝1.5＝EF
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
9．（3分）如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）

A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
【分析】延长AP交BC于E，根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×1＝0.5（cm2），
故选：B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10．（3分）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）

A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°．
【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°，
故选：B．

【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是　利用三角形的稳定性　．

【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
12．（3分）若一个多边形的每个外角都为36°，则这个多边形的内角和是　1440　°．
【分析】本题首先根据多边形外角和定理，即任意多边形外角和为360°，可求出此正多边形的边数为10．然后再根据三角形的内角和定理求出它的内角和．
【解答】解：∵此正多边形每一个外角都为36°，
360°÷36°＝10，
∴此正多边形的边数为10．
则这个多边形的内角和为（10﹣2）×180°＝1440°．
故答案为：1440．
【点评】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
13．（3分）用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形，若有一边长是8cm，则所围成等腰三角形的底边长为　2或8　cm．
【分析】由用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形，其中有一边为8cm，可以分别从①若8cm为底边长，②若8cm为腰长时，去分析，然后根据三角形的三边关系判定是否能组成三角形，继而可求得答案．
【解答】解：①当8cm为底边时，
设腰长为xcm，
则2x+8＝18，
解得：x＝5，
5，5，8能构成三角形，此时底边为8cm；
②当8cm为腰长时，
设底边长为ycm，
则y+8×2＝18，
解得：y＝2，
8，8，2能构成三角形，此时底边为2cm
故答案为2或8．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用．
14．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为　72　°．

【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．
【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°
故答案为72
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，BD＝1，则AD＝　3　．

【分析】求出∠BCD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC＝2，求出AB＝4，即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝30°，
∵BD＝1，
∴BC＝2BD＝2，
∵在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解此题的关键是得出BC＝2BD和AB＝2BC，难度适中．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为　7个　．

【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形．
【解答】解：如图：可以画出7个等腰三角形；

故答案为7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）如图，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝65°．求证：AB∥CD．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，进而求出∠ACD＝∠A，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠B+∠1+∠A＝180°，∠B＝40°，∠A+10°＝∠1，
∴40°+∠A+10°+∠A＝180°，
∴∠A＝65°，
∵∠ACD＝65°，
∴∠ACD＝∠A，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，三角形的内角和定理的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
18．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．

【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．（8分）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．

【分析】连接CD，证得△ECD≌△FCD，得出∠CDF＝∠CDE，利用等腰三角形的“三线合一”得出∠CDA＝∠CDB＝90°，进一步求得结论即可．
【解答】证明：如图，

连接CD，
在Rt△ECD和Rt△FCD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCD，
∴∠CDF＝∠CDE，
∵CA＝CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE．
【点评】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（2，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　（2，﹣3）　；
（2）将△ABC向左平移4个单位长度得到△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为　（﹣2，1）　；
（3）直接写出点B关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为﹣1）对称点B′的坐标为　（1，﹣3）　；
（4）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，标出P点的位置．（保留画图痕迹）

【分析】（1）根据轴对称的定义作出点A，B，C关于x轴的对称点，再顺次连接即可得；
（2）根据平移变换的定义作出点A，B，C向左平移4个单位得到的对应点，再顺次连接可得；
（3）先得出直线n的解析式，再作出点B关于直线n：y＝﹣1的对称点，据此可得；
（4）连接A2B与y轴交点就是P点．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣3），

故答案为：（2，﹣3）．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（﹣2，1），
故答案为：（﹣2，1）．

（3）由题意知直线n的解析式为y＝﹣1，
则点B关于直线n的对称点B′的坐标为（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．

（4）如图所示，点P即为所求．
【点评】此题主要作图﹣轴对称变换与平移变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置及轴对称变换的性质．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，延长AB至E，使AE＝AC，过E作EF⊥AC于F，EF交BC于G．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠E＝40°，求∠AGB的度数．

【分析】（1）首先证明△ABC≌△AFE，推出AB＝AF，即可解决问题．
（2）在Rt△BEG中，∠BGE＝90°﹣∠E＝50°，推出∠BGF＝130°，由Rt△AGF≌Rt△AGB，推出∠AGB＝∠AGF＝∠BGF即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，EF⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°
在△AEF与△ACB中
，
∴△AEF≌△ACB（AAS）
∴AF＝AB，
∴BE＝CF；
（2）∵△ABC≌△AFE，
∴AB＝AF，
在Rt△AGF和Rt△AGB中，

∴Rt△AFG≌Rt△ABG（HL）
在Rt△BEG中，∠BGE＝90°﹣∠E＝50°，
∴∠BGF＝130°，
∵Rt△AGF≌Rt△AGB，
∴∠AGB＝∠AGF＝∠BGF＝65°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
22．（10分）如图，在等边△ABC中，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，AD＝CE，DE交AC于点F．
（1）求证：DF＝EF；
（2）过点D作DH⊥AC于点H，求．

【分析】（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，∠FDG＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADG＝∠AGD＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∴DG＝AD，
∵AD＝CE，
∴DG＝CE，
在△DFG与△EFC中

∴△DFG≌△EFC（AAS），
∴DF＝EF；
（2）∵△ADG是等边三角形，AD＝DG DH⊥AC，
∴AH＝HG＝AG，
又∵△DFG≌△EFC，
∴GF＝FC＝GC
∴HF＝HG+GF＝AG+GC＝AC，
∴
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题
23．（10分）如图，已知AC＝BC，点D是BC上一点，∠ADE＝∠C．

（1）如图1，若∠C＝90°，∠DBE＝135°，求证：①∠EDB＝∠CAD，②DA＝DE；
（2）如图2，若∠C＝40°，DA＝DE，求∠DBE的度数；
（3）如图3，请直接写出∠DBE与∠C之间满足什么数量关系时，总有DA＝DE成立．
【分析】（1）①根据三角形的内角和及平角的定义可得结论；
②如图1，作辅助线，构建等腰直角三角形，利用ASA证明△AFD≌△DBE（ASA），可得结论；
（2）方法一：如图2，同理作辅助线，证明△AGD≌△DBE（SAS），得∠AGD＝∠DBE＝110°；
方法二：如图2，延长DB到点H使DH＝AC，连接EH，证明△ACD≌△DHE（SAS），得∠C＝∠H＝40°，CD＝EH，再根据已知证明CD＝BH＝EH，可得结论；
（3）同理作辅助线，证明△AFD≌△DBE（SAS），根据三角形的外角和三角形内角和定理可得结论．
【解答】（1）证明：①∵∠ADE＝∠C，
∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC，
∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC，
∴∠CAD＝∠EDB；
②在AC上截取CF＝CD，连接FD，（或在AC上截取AF＝BD，连接FD）

∵∠C＝90°，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
∴∠AFD＝135°＝∠DBE，
∵AC＝BC，
∴AC﹣CF＝BC﹣CD，即：AF＝BD，
由①知：∠CAD＝∠BDE，
∴△AFD≌△DBE（ASA），
∴DA＝DE；
（2）方法一：如图2，在AC上截取AG＝DB，连接GD（在AC上截取CG＝CD，连接GD），

∵AC＝BC，
∴AC﹣AG＝BC﹣BD即：CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝＝70°，
∵DA＝DE，∠CAD＝∠EDB（已证），AG＝DB，
∴△AGD≌△DBE（SAS），
∴∠AGD＝∠DBE＝110°；
方法二：如图3，延长DB到点H使DH＝AC，连接EH，

∵∠CAD＝∠BDE，AD＝DE，
∴△ACD≌△DHE（SAS），
∴∠C＝∠H＝40°，CD＝EH，
∵AC＝BC＝DH，
∴CD＝BH＝EH，
∴∠HBE＝∠HEB＝70°，
∴∠DBE＝110°；
（3）当∠DBE＝90°+∠C时，总有DA＝DE成立；
理由是：如图3，在AC上截取CF＝CD，连接DF，则∠CDF＝∠CFD，

设∠CDF＝x，
△CDF中，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠C+x+x＝180°，
x＝＝90°﹣，
同理得△AFD≌△DBE（SAS），
∴∠AFD＝∠DBE＝∠C+∠CDF＝∠C+x＝∠C+90°﹣∠C，
∴∠DBE＝90°+∠C．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中作辅助线证明AFD≌△DBE是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标中，等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°，A（0，a），B（b，0）．

（1）如图1，若+（a﹣2）2＝0，求△ABO的面积；
（2）如图2，AC与x轴交于D点，BC与y轴交于E点，连接DE，AD＝CD，求证：∠ADB＝∠CDE；
（3）如图3，在（1）的条件下，若以P（0，﹣6）为直角顶点，PC为腰作等腰Rt△PQC，连接BQ，求证：AP∥BQ．
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性求出a，b，根据三角形的面积公式计算；
（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，分别证明△ACE≌△BAF，△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质证明；
（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，证明△ACM≌△BAO，根据全等三角形的性质得到CM＝AO＝2，AM＝BO＝4，证明四边形ONQB为平行四边形，得到答案．
【解答】解：（1）∵+（a﹣2）2＝0，
∴2a﹣b＝0，a﹣2＝0，
解得，a＝2，b＝4，
∴A（0，2），B（4，0），
∴OA＝2，OB＝4，
∴△ABO的面积＝×2×4＝4；
（2）作AF平分∠BAC交BD于F点，
∵AB＝AC，∠CAB＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠CAE+∠BAO＝∠ABF+∠BAO＝90°，
∴∠CAE＝∠ABF，
在△ACE和△BAF中，
，
∴△ACE≌△BAF（ASA），
∴CE＝AF，
在△CED和△AFD中，
，
∴△CED≌△AFD（SAS）
∴∠CDE＝∠ADB；
（3）过C点作CM⊥y轴于M点，过D点作DN⊥y轴于N点，
则∠AMC＝∠BOA＝90°，
∵∠CAM+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAM＝∠ABO，
在△ACM和△BAO中，
，
∴△ACM≌△BAO（AAS），
∴CM＝AO＝2，AM＝BO＝4，
∵A（0，2），P（0，﹣6），
∴AP＝8，
∴PM＝AP﹣AM＝4，
在△PCM和△QPN中，
，
△PCM≌△QPN（AAS），
∴NQ＝PM＝4，
∴四边形ONQB为平行四边形，
∴AP∥BQ．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，非负数的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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