异步时滞布尔网络的内同步.pdf

2024 年 3 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2024第 18 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.18 No.1异步时滞布尔网络的内同步廖江洪1，邓芸芸1，梁义1,2*(1.伊犁师范大学 网络安全与信息学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 伊犁河谷智能计算研究与应用重点实验室，新疆 伊宁835000）摘要：提出异步时滞布尔网络的内同步模型，通过利用矩阵半张量积理论，研究异步时滞影响下的布尔网络内同步问题，分析时滞对布尔网络内同步的影响，给出了异步时滞布尔网络内同步实现的充分必要条件.通过数值仿真实例进一步验证了该模型的可行性以及所得结果的正确性.关键词：布尔网络；异步；内同步；矩阵半张量积中图分类号：TP393文献标识码：A文章编号：2097-0552（2024）01-0077-100引言引言1969年，Kauffman首次提出布尔网络（BNs），将该网络用于模拟基因调控网络的简化逻辑动态系统1.布尔网络被普遍应用于神经网络、细胞网络、蛋白质网络和生物进化模型等复杂系统中的抽象模型2-3.在布尔网络中，每一个节点的状态用二进制变量1或0来描述，且依据其他节点的状态更新自己的状态，并经过布尔函数互相调节4.布尔网络不仅可以为基因网络提供一个有效的概念框架，而且也是研究二值逻辑网络的一个有效工具4.2000年，程代展和其团队提出了矩阵半张量积理论，解决了不同维度矩阵难以计算的问题，从而进一步推动了布尔网络的发展5-6.该理论拥有普通矩阵乘法的一些性质，如分配律、结合律，而且还符合一定程度的乘法交换性.同步是一种在化学、生物、物理、地理等学科领域中比较普遍的现象，是两个或两个以上的对象状态之间相互作用使行为特征趋于一致的现象.同步是一种典型的集体行为，能够解释许多自然现象，例如萤火虫自发地同步闪光、青蛙齐鸣和群鸟齐飞等.随着对同步问题的深入研究，现已将同步的类型分为外同步和内同步7.外同步是指两个或两个以上的布尔网络相互之间对应节点状态的同步.目前，有关布尔网络的同步研究工作主要是外同步.而内同步是指在一个网络中的各节点状态由节点之间的相互作用使其状态趋于一致的现象.近年来，布尔网络的同步研究主要集中在同步更新下的布尔网络系统8-10.但是，在现实生活中，时滞现收稿日期：2023-12-15基金项目：伊犁师范大学重点项目（2022YSZD001）；伊犁师范大学一般项目（2023YSYB018）.作者简介：廖江洪（1998），男，四川宜宾人，在读硕士研究生，研究方向：复杂网络理论与应用；邓芸芸（1998），女，新疆伊宁人，硕士，研究方向：复杂网络理论与应用.*通信作者：梁义（1966），男，河南商丘人，博士，教授，研究方向：复杂网络理论与应用.伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年象是普遍存在的.例如营养液浓度、温湿度等其他外部环境因素都有可能导致系统产生时滞.时滞在基因网络、生物系统和经济系统等现实系统应用得较为普遍.李一峰等11研究了状态和控制均具有多时滞的布尔控制网络可控性问题.首先，考虑控制具有多时滞的布尔控制网络可控性问题.对于该问题，定义一个新的矩阵乘积构建系统的可控性矩阵，基于该矩阵，得到一个系统可控的充分必要条件.其次，研究状态具有多时滞的布尔控制网络可控性问题，提出一个状态具有多时滞的布尔控制网络可控的充分必要条件.文献12 利用矩阵半张量积理论研究了时滞布尔网络的能观、辨识和同步控制问题，以进一步完善逻辑动态网络的理论研究框架，借助矩阵半张量积的数学工具建立了时滞布尔网络的代数形式.通过对原时滞网络的状态、输入和输出进行划分，等价地得到了若干个无时滞且结构相同的子网络，研究了原时滞网络的能观性、能检性及辨识问题.此外，还利用极限集和集合镇定理论，讨论了驱动响应模式下时滞布尔（控制）网络的时滞同步问题.宋雪薇等13研究一类具有延迟模式的不完全布尔控制网络的控制问题，通过半张量积将系统转化为经典的布尔控制网络.在此框架下，研究了此系统的可控性和Mayer型最优控制.最后，给出了可控制性的充要条件和Mayer型最优控制的必要条件.文献 14 研究了具有有限状态时滞的布尔网络同步，在状态时滞与耦合时滞不相等的条件下获得了耦合布尔网络同步的结论.文献 15 研究了两个时滞耦合布尔网络在反馈控制下的完全同步模型，给出了状态反馈控制器存在的必要条件，并给出了耦合布尔网络实现同步的反馈控制的算法.从生物学角度来分析，基因表达并非一瞬间的行为.例如，DNA的转录过程的酶传递过程是需要几毫秒到几秒的不等时间，当使用同步更新方式对上述生物过程进行描述时，在每个时间点，对更新数目进行节点限制不能很好地反映真实情况.在现实世界中，许多生物现象是异步的，并且已经证明，异步建模是生物处理的一种实用方法16.异步更新机制指的是在布尔网络中的任一节点都有更新或不更新两种状态，不一定同时更新，因此异步更新的布尔网络更为常见，也更加复杂.文献 17 利用异步更新布尔网络模拟分析特定组织或物种的基因表达，设计了一种基于混沌的异步更新布尔网络加密算法（ABNEA）.首先，我们设计了一个新颖的二维混沌系统（2D-FPSM），该系统比经典的二维混沌系统具有更好的性能，它非常适合密码系统生成密钥流.其次，设计了一种编码规则，将异步更新布尔网络转换为布尔矩阵，并作为图像在网络上传播，接收方和发送方共同保存编码规则.最后，为了保护布尔网络矩阵在网络上的安全传播，在二维-FPSM 的基础上，采用同步加扰-扩散的方法对布尔网络矩阵进行加密.Luo等18人利用矩阵半张量积的方法研究了异步布尔网络的可控性.在此基础上，文献 19 提出了新的同步周期方法，并应用于研究异步布尔网络的同步.近年来，人们研究了快速检查布尔函数的系数矩阵是否存在同步周期的算法.Zhang等人20研究了自由序列控制器和闭环控制器的异步交换布尔网络的完全同步问题.文献 21 探讨了依赖状态的异步更新规则（SDAUR）对布尔网络（BN）的集合可达性和集合稳定性的影响.首先，本文引入了一组与状态相关的控制变量来描述 SDAUR.其次，基于辅助输入和半张量乘积构建了一个新的异步集合可达性矩阵.第三，利用异步集合可达性矩阵，得到了具有 SDAUR 的 BN 的集合可达性和集合稳定性的几个必要条件和充分条件.另外，针对异步概率布尔网络的同步问题，考虑了两种不同概率的情况下，分别给出异步概率布尔网络实现内同步和同步的充分必要条件22.此外，复杂系统如神经网络的许多同步概率也引入到了布尔网络的同步研究中，更加丰富了布尔网络的同步内容.本文在上述研究的基础上，提出了异步时滞布尔网络的内同步模型，用矩阵半张量积理论证明了异步时滞布尔网络实现内同步的充分必要条件；同时，给出数值仿真实例进一步验证了所得结果的正确性以及有效性.异步时滞布尔网络的内同步对于同步时滞布尔网络来说，它能够更好地反映每一种状态的变化特性.因此异步时滞布尔网络内同步问题的研究具有重要意义.78廖江洪等：异步时滞布尔网络的内同步第1期1相关基础知识相关基础知识在这一部分，给出了一些必要的矩阵半张量积（STP）的基本概念、半张量积的一些相关符号和主要命题.矩阵半张量积理论提出了一些新型矩阵乘积的定义，以及一系列的理论知识，为布尔网络的研究提供了新的解决方法.以下是本文中使用的一些在矩阵半张量积中比较常用的符号及其定义、矩阵半张量积的相关命题：R：所有实数集合；Z+：正整数集合；Rn：n维列向量空间；Mn：n阶方阵的集合；In：n n单位矩阵；in：单位阵In的第i列；Mm n：m行n列矩阵的集合；Coli(A)(Rowi(A)：矩阵A的第i列（行）集合；L=i1mi2minm=mi1i2in，L为逻辑矩阵，n=in|i=1,2,n；12：代表真，22：代表假；：矩阵的张量积运算符；:矩阵的左半张量积运算符4.如果一个n m的矩阵M的列集合Col(A)均可写成in的形式，则称矩阵M为逻辑矩阵.换言之，Col(M)n，记M Ln m.以下所有定义与命题都来自参考文献 4.定义1（矩阵的半张量积）设M Mmn，N Mpq，则其半张量积定义为C=M N=(M Il n)(N Il p)，其中l=lcmn,p，是n和p的最小公倍数，Mm n是m行，n列矩阵的集合.该定义是半张量积最一般的定义，说明半张量积可以用一般矩阵积来表示，同时也说明任意两个矩阵的半张量积都是有意义的.命题1设A Mm n，1）当Z Rn为一列向量时，Z A=(n A)Z；2）当Z Rn为一行向量时，A Z=Z (n A).定义2（换位矩阵）Wm,n=mn1,m+1,2m+1,(n-1)m+1,2,m+2,2m+2,(n-1)m+2,.m,m+m,2m+m,(n-1)m+m.显然，Wm,n Lmn mn.命题2设X=(x1x2 xm)T，Y=(y1y2yn)T，均为列向量.则1）Y X=Wm,nX Y；2）X Y=Wn,mY X.定义3（向量的降幂矩阵）设x=in Rn是一逻辑向量，则x2=x x=Mr,nx.其中，Mr,n=1n 1n2n 2nnn nn=n21n+22n+3(n-1)n+n，Mr,n Ln2 n.例如：当x i2时，Mr,2=122 122222 222=221 2+2=1 00 00 00 1.命题 3（哑矩阵）用于补充方程中缺少的逻辑变量.哑矩阵Ed=21122，有Edxy=x或EdW2xy=y，对任意的x,y 2.下面给出本文所用逻辑算子的结构矩阵如下：逻 辑 合 取：M=Mc=21 2 2 2，逻 辑 等 价：M=Me=21 2 2 1，逻 辑 析 取：M=Md=21 1 1 2.2主要结果主要结果在该部分，提出时滞布尔网络异步更新模型，利用异步时滞布尔网络的代数表示研究其内同步问题，给79伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年出异步时滞布尔网络内同步的充分必要条件.异步时滞布尔网络模型如下：xi(t+1)=fi(x1(t),xn(t),x1(t-1),xn(t-1),x1(t-),xn(t-),更新,xi(t-),不更新,（1）其中为正整数，代表状态时滞.xi(t-)D2(i=1,2,n)是异步时滞布尔网络（1）中的节点i在t时刻的状态变量，fi是第i个节点的异步时滞布尔网络的逻辑函数，并且节点随机选择更新.因此，对于具有n个节点的异步时滞布尔网络（1），在每个更新过程中都有2n种不同的选择策略.在t+1时刻，选择要更新的节点的值由异步时滞布尔网络的逻辑函数及输入值确定，而其余节点的值是t时刻的值.为便于分析，我们考虑=1的情况，异步时滞布尔网络模型（1）重写如下：xi(t+1)=fi(x1(t),xn(t),x1(t-1),xn(t-1),更新,xi(t-1),不更新.（2）在上述模型中，其中xi(t-1)D2(i=1,2,n)是异步时滞布尔网络（2）中的节点i在t时刻的状态变量，fi是第i个节点的逻辑函数，并且节点随机选择更新.因此，对于具有n个节点的异步时滞布尔网络（2），在每个更新过程中都有2n种不同的选择策略.在t+1时刻，选择要更新的节点的值由逻辑函数及输入值确定，而其余节点的值是t时刻的值.利用矩阵的半张量积、交换矩阵和降幂矩阵，（2）式可以转换为：x(t+1)=x1(t)xi1-1(t-1)Li1x(t)xi2(t-1)Lis-1x(t)xis(t-1)xn(t)=(I2i1-1 Li1)i1-1xi1(t-1)xn(t)xi2(t-1)Lis-1(I2is-1 n-is)x1(t)xis-1(t-1)=Lifx(t)x(t-1).即x(t+1)=Lifx(t)x(t-1),i=1,2,2n.（3）其中Lif L2n 2n为结构矩阵，而对于具有n个节点的异步时滞布尔网络（2），存在2n种不同的结构矩阵.特别说明：i1,i2,is-1,is1,2,n 仅表示哪些节点进行了更新，其中n=ni=1I2i-1(I2 W2,2n-i)Mr,2.然而，采用随机更新策略的异步网络很难与反馈信号同步.因此，在给出异步时滞布尔网络的内同步的主要结果之前，给出以下假设：假 设 1对 于 异 步 时 滞 布 尔 网 络（2），在t时 刻 的Lif是 有 关x(t-1)的 时 滞 布 尔 函 数B()x1(t-1),x2(t-1),xn(t-1)来确定的，且能够被表示为Lif=LFLBx(t)x(t)x(t-1)，其中LB L2n 2n是B函数的线性表达式，LF=L1f,L2f,.,L2nf.利用矩阵半张量积可得：x()t+1=LFLBx()t x()t x()t-1=LFLBnx()t x()t-1.假设L=LFLBn，即x()t+1=Lx()t x()t-1.定义4对于满足假设1的异步时滞布尔网络（2），如果存在一个正整数b，对于所有整数t b，使得x1(t)=x2(t)=xn(t)，xi D2,i=1,2,n，则（2）实现内同步.结论 1对于满足假设 1 的异步时滞布尔网络（2）实现内同步，当且仅当存一个整数b，使得Col(Lb)122n,22n22n，则称异步时滞布尔网络（2）达到内同步.证 明：（充 分 性）假 设 存 在 一 个 正 整 数b，使 得Col(Lb)122n,22n22n，显 然 有Col(Lb+l).Col(Lb+1)Col(Lb)122n,22n22n，其中l是大于等于1的正整数，因此对于t b，存在1 m0 2，使Col(Lb+l)=Col(Lb+1)=Col(Lb)=(m0-1)(22n-1)+122n；同 样 对 于 任 意 的 初 值，因 为(m02)2n=80廖江洪等：异步时滞布尔网络的内同步第1期(m0-1)(22n-1)+122n，可得x(b)=(m0-1)(22n-1)+122n=(m02)2n，而x(b)=Lbni=1xi(0)，所以，当t b时,x1(t)=x2(t)=xn(t)=x1(t-1)=x2(t-1)=xn(t-1)=m02,异步时滞布尔网络（2）实现内同步.（必要性）假设异步时滞布尔网络（2）在b时刻实现内同步，则存在1 m 2，使得x1(b)=x2(b)=xn(b)=x1(b-1)=x2(b-1)=xn(b-1)=m2，当(m2)2n=(m-1)(22n-1)+122n时，因此x(b)=Lbni=1xi(0)=(m-1)(22n-1)+122n.由异步时滞布尔网络初值的任意性可知Col(Lb)=(m-1)(22n-1)+122n，可得Col(Lb)122n,22n22n，证明了结论.3数值仿真数值仿真为了验证所提异步时滞简单布尔网络的内同步方案的正确性以及有效性，给出下面一个实例进行验证：x1(t+1)=x2(t)x3(t-1),x2(t+1)=x3(t-1),x3(t+1)=x1(t)(x2(t)x3(t-1).（4）对于异步时滞布尔网络（4）可改写为：x1(t+1)=Mcx2(t)x3(t-1),x2(t+1)=x3(t-1),x3(t+1)=Mcx1(t)Mex2(t)x3(t-1).当节点为异步更新时，可以得到8种不同的更新方案Lf.在t时刻，如果只有第一个节点更新状态，可得x(t+1)=x1(t+1)x2(t-1)x3(t-1)=Mcx2(t)x3(t-1)x2(t-1)x3(t-1)=Mc(I2 W2,2)x2(t)x2(t-1)x3(t-1)x3(t-1)=Mc(I2 W2,2)(I4 Mr,2)W8,8(I4 W2,2)(I2 Mr,2)(I8 Ed)x1(t)x2(t)x3(t)x1(t-1)x2(t-1)x3(t-1).如果2、3节点更新状态，可得x(t+1)=x1(t-1)x2(t+1)x3(t+1)=(I4 Mc)(I8 Me)W4,4(I8 Mr,2)x1(t)x2(t)x1(t-1)x3(t-1)=(I4 Mc)(I8 Me)W4,4(I8 Mr,2)W16,8(I8 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2)(I16 Ed)x1(t)x2(t)x3(t)x1(t-1)x2(t-1)x3(t-1).而所有节点更新状态，可得x(t+1)=x1(t+1)x2(t+1)x3(t+1)=Mcx2(t)x3(t-1)x3(t-1)Mcx1(t)Mex2(t)x3(t-1)=Mc(I8 Mc)(I16 Me)x2(t)x3(t-1)x3(t-1)x1(t)x2(t)x3(t-1)=Mc(I8 Mc)(I16 Me)(I2 Mr,2)W4,4(I2 Mr,2)(I4 Mr,2)(I4 Ed)(I8 Ed)(I16 Ed)(I8 W8,8)(I2 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2)(I4 Mr,2)x1(t)x2(t)x3(t)x1(t-1)x2(t-1)x3(t-1).类似的，可得不同更新状态下的其他线性表达式.线性表达式的计算结果为：L1f=L 0f=I64,81伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年L2f=L 1f=Mc(I2 W2,2)(I4 Mr,2)W8,8(I4 W2,2)(I2 Mr,2)(I8 Ed),L3f=L 2f=(I2 Mr,2)W4,8(I16 Ed),L4f=L 3f=(I4 Mc)(I8 Me)(I4 W4,4)W32,8(I8 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2),L5f=L1,2 f=Mc(I2 Mr,2)(I2 Mr,2)W4,8(I8 W2,2)(I2 Mr,2)(I8 Ed)(I16 Ed),L6f=L1,3f=Mc(I8 Mc)(I16 Me)W8,4(I2 Mr,2)(I4 W2,2)(I8 Mr,2)W16,8(I8 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2)(I8 Ed),L7f=L 2,3f=(I4 Mc)(I8 Me)W4,4(I8 Mr,2)W16,8(I8 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2)(I16 Ed),L8f=L 1,2,3 f=Mc(I8 Mc)(I16 Me)(I2 Mr,2)W4,4(I2 Mr,2)(I4 Mr,2)(I4 Ed)(I8 Ed)(I16 Ed)(I8 W8,8)(I2 W4,4)Mr,2(I2 Mr,2)(I4 Mr,2).由上面结构矩阵很容易得到：LF=L1f,L2f,L3f,L4f,L5f,L6f,L7f,L8f.在这个例子中设：LB=641,2,5,4,3,2,1,4,3,5,2,4,3,4,5,1,3,4,1,5,2,4,2,1,2,3,4,1,3,2,3,1,1,2,2,3,4,4,2,1,1,2,2,3,4,4,2,2,1,3,4,1,5,3,2,5,4,3,2,5,4,3,4,1.并且，通过计算得L=641,41,17,57,1,41,17,57,5,45,21,61,5,45,21,61,1,41,17,57,1,41,17,57,1,41,17,57,1,41,17,57,36,44,52,60,36,44,52,60,1,41,17,57,1,41,17,57,2,42,18,58,2,42,18,58,1,41,17,57,1,41,17,57.通过计算，方程（4）满足：Col(L6)Col(Lb)164,6464.因此，异步时滞布尔网络（4）达到内同步.为了更清楚地展示更直观的内同步过程，给出数值实例.针对异步时滞布尔网络，理论上有64个不同的初值组合，但因时滞只涉及一个变量x3(t-1)，所以只需对16种不同的情况进行验证即可.当x3(0)=0时的8种情况：（1）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,0,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0).t=1时同步到0.（2）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,0,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0).t=4时同步到0.（3）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,1,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0).t=2时同步到0.（4）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,1,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0).t=4时同步到0.（5）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,0,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,1)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,1,0)82廖江洪等：异步时滞布尔网络的内同步第1期(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=5时同步到0.（6）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,0,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,1)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(1,1,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=5时同步到0.（7）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,1,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0).t=2时同步到0.（8）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,1,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,0,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=4时同步到0.当x3(0)=1时的8种情况：（9）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,0,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)t=3时同步到0.（10）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,0,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(1,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0).t=4是同步到0.（11）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,1,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(1,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0).t=2时同步到0.（12）(x1(1),x2(1),x3(1)=(0,1,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(1,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(1,1,1)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,1,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0)(x1(7),x2(7),x3(7)=(0,0,0).t=6时同步到0.（13）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,0,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=3时同步到0.（14）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,0,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(0,1,0)(x1(3),x2(3),x3(3)=(1,1,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,0,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=4时同步到0.83伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年（15）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,1,0)(x1(2),x2(2),x3(2)=(1,1,1)(x1(3),x2(3),x3(3)=(0,0,0)(x1(4),x2(4),x3(4)=(0,1,0)(x1(5),x2(5),x3(5)=(0,0,0)(x1(6),x2(6),x3(6)=(0,0,0).t=5时同步到0.（16）(x1(1),x2(1),x3(1)=(1,1,1)(x1(2),x2(2),x3(2)=(1,1,1)(x1(3),x2(3),x3(3)=(1,1,1)(x1(4),x2(4),x3(4)=(1,1,1).t=1时同步到1.针对上述24=16组不同的初值，经过计算最多6次迭代以后即可实现内同步，并且分别内同步到0和1两个状态.下面给出异步时滞布尔网络（4）达到内同步的仿真图，如图1、图2、图3、图4所示：图 1当x3(0)=0时，初值为（1,1,1）时内同步到0图 2当x3(0)=0时，初值为（1,0,0）时内同步到0图 3当x3(0)=1时，初值为（1,1,1）时内同步到184廖江洪等：异步时滞布尔网络的内同步第1期图 4当x3(0)=1时，初值为（0,1,1）时内同步到0基于上述过程和仿真图，可知任何初始值的异步时滞布尔网络（4）在t=6时，都可以实现内同步，即当异步时滞布尔网络（4）满足结论的条件时可实现内同步，从而验证了结论的有效性.4结束语结束语本文主要研究了在具有异步时滞下的布尔网络的内同步问题，给出了异步时滞布尔网络数学模型，利用最新矩阵半张量积理论分析了异步时滞布尔网络代数表达形式，并且给出了异步时滞布尔网络达到内同步的充分必要条件.最后，给出数值仿真来进一步地证实所提控制方法的有效性.在现有研究基础上，将研究多时滞异步布尔网络和多值逻辑网络的内同步问题，分析多时滞异步作用下的逻辑网络动力学特征.参考文献：1 KAUFFMAN S A.Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets J.Journal of theoretical biology，1969，22（3）：437-467.2 SHMULEVICH I，LAHDESMAKI H，DOUGHERTY E，et al.The role of certain Post classes in Boolean network models ofgenetic networks C.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2003，100（19）：10734-10739.3 HEIDELJ，MALONEYJ，FARROW C，et al.Finding cycles in synchronous Boolean networks with applications to biochemicalsystems J.International Journal of Bifiircation and Chaos，2003，13（3）：535-552.4 CHENG D，QI H，LI Z.Analysis and control of Boolean networks:a semi-tensor product approach M.Berlin.SpringerScience&Business Media，2010.5 QI H，CHENG D.Analysis and control of Boolean networks:A semi-tensor product approach C.2009 7th Asian ControlConference.IEEE，2009，7（2）：1352-1356.6 罗玉.矩阵半张量积的性质及应用 D.泉州：华侨大学，2020.7 张昊.基于不同耦合的复杂系统同步研究 D.大连：大连理工大学，2016.8 CHENG D，QI H，LI Z.Stability and stabilization of Boolean networks J.International Journal of Robust and NonlinearControl，2011，21（2）：134-156.9 LI R，CHU T.Complete synchronization of Boolean networksJ.IEEE Transactions on Neural Networks and LearningSystems，2012，23（5）：840-846.10 LI R，CHU T.Synchronization in an array of coupled Boolean networks J.Physics LettersA，2012，376（45）：3071-3075.11 李一峰，王兰.状态和控制均具有多时滞的布尔控制网络可控性（英文）J.Frontiers of Information Technology&Electronic Engineering，2023，24（6）：906-916.12 穆甜甜.时滞布尔网络的能观、辨识及同步控制 D.济南：山东大学，2023，6.13 宋雪薇，廉春波，葛斌.具有时滞的不完全布尔控制网络的最优控制（英文）J.应用数学，2023，36（3）：780-787.85伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年14 LIU J，LI L，FARDOUN H M.Complete synchronization of coupled Boolean networks with arbitrary finite delaysJ.Frontiers of Information Technology&Electronic Engineering，2020，21（2）：281-293.15 LI F，LI J，SHEN L.State feedback controller design for the synchronization of Boolean networks with time delays J.PhysicaA:Statistical Mechanics and itsApplications，2018，490（8）：1267-1276.16 STARK W R，HUGHES W H.Asynchronous,irregular automata nets:the path not taken J.Bio Systems，2000，55（1）：107-117.17 GAO S，WU R，WANG X，et al.Asynchronous updating Boolean network encryption algorithm J.IEEE Transactions onCircuits and Systems for Video Technology，2023，33（8）：4388-4400.18 LUO C，WANG X，LIU H.Controllability of asynchronous Boolean multiplex control networks J.Chaos，2014，24（3）：437-467.19 NIU Y，LIU H，WEI Q.Synchronization of coupled Boolean networks with different update scheme J.IEEE Access，2020，8：79319-79324.20 ZHANG H，WANG X，LIN X.Synchronization of asynchronous switched Boolean network J.IEEE/ACM transactions oncomputational 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Boolean networks is analysed,andthe sufficient and necessary conditions for the implementation of the inner synchronization of asynchronous time-delay Booleannetworks are given.Moreover,the feasibility of the model and the correctness of the obtained results are further verified by numericalsimulation examples.Key words:Boolean networks;asynchronous;inner synchronization;matrix semi-tensor product86