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全国通用高中数学第二章一元二次函数方程和不等式(二十一)

1

单选题
1、已知关于x的不等式2a+3mx2−b−3mx−1>0a>0,b>0的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（    ）
A．2a+b=1B．ab的最大值为18
C．1a+2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+22
答案：C
分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.
由题意，不等式2a+3mx2−b−3mx−1>0的解集为−∞,−1∪12,+∞，
可得2a+3m>0，且方程2a+3mx2−b−3mx−1=0的两根为−1和12，
所以−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，
所以2a+b=1，所以A正确；
因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥22ab，可得ab≤18，
当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；
由1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2ba⋅4ab=4+4=8，
当且仅当ba=4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；
由1a+1b=1a+1b2a+b=3+ba+2ab≥3+2ba⋅2ab=3+2，
当且仅当ba=2ab时，即b=2a时，等号成立，
所以1a+1b的最小值为3+22，所以D正确．
故选：C．
2、若实数x>32，y>13，不等式4x2t3y−1+9y2t2x−3≥2恒成立，则正实数t的最大值为（    ）
A．4B．16C．72D．8
答案：D
分析：令3y−1=a,2x−3=b，则b+32a+a+12b≥2t，由权方和不等式和基本不等式得b+32a+a+12b≥16，即可求解t≤8．
由4x2t3y−1+9y2t2x−3≥2得4x23y−1+9y22x−3≥2t
因为x>32，y>13，则3y−1>0,2x−3>0 
令3y−1=a,2x−3=b
则4x23y−1+9y22x−3≥2t化为b+32a+a+12b≥2t恒成立，
由权方和不等式得b+32a+a+12b≥a+b+42a+b=a+b+16a+b+8≥216+8=16
当且仅当b+3a=a+1ba+b=4，得a=53,b=73即x=73,y=109时等号成立．
所以16≥2t⇒t≤8 
故选：D
3、若x<0，则x+14x−2有（    ）
A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3
答案：D
分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.
因为x<0，所以x+14x−2=−−x+1−4x−2≤−2−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．
故选：D.
4、设实数x满足x>0，函数y=2+3x+4x+1的最小值为（    ）
A．43−1B．43+2C．42+1D．6
答案：A
解析：将函数变形为y=3x+1+4x+1−1，再根据基本不等式求解即可得答案.
解：由题意x>0，所以x+1>0，
所以y=2+3x+4x+1=2+3x+1−3+4x+1
=3x+1+4x+1−1≥23x+1⋅4x+1−1=43−1，
当且仅当3x+1=4x+1，即x=233−1>0时等号成立，
所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为43−1.
故选：A．
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
5、不等式−x2+3x+18<0的解集为（    ）
A．{xx>6或x<−3}B．x−3<x<6
C．{xx>3或x<−6}D．x−6<x<3
答案：A
分析：根据二次不等式的解法求解即可.
−x2+3x+18<0可化为x2−3x−18>0，
即x−6x+3>0，即x>6或x<−3．
所以不等式的解集为{xx>6或x<−3}.
故选：A
6、不等式x+1x+3<0的解集是（    ）
A．RB．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}
答案：C
分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；
解：由x+1x+3<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；
故选：C
7、已知正实数a，b满足a+1b=2，则2ab+1a的最小值是（    ）
A．52B．3C．92D．22+1
答案：A
分析：由已知得， a=2−1b代入得2ab+1a=22b−1+b2b−1，令2b−1=t，根据基本不等式可求得答案.
解：因为a+1b=2，所以a=2−1b>0，所以0<b<2 ，
所以2ab+1a=22−1bb+b2b−1=22b−1+b2b−1，
令2b−1=t，则b=t+12，且−1<t<3 ，
所以2ab+1a=2t+t+12t=2t+12t+12≥22t⋅12t+12=52，当且仅当2t=12t，即t=12，b=34,a=23时，取等号，
所以2ab+1a的最小值是52.
故选：A.
8、a,b,c是不同时为0的实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为（    ）
A．12B．14C．22D．32
答案：A
分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
若要使ab+bca2+2b2+c2最大，则ab,bc均为正数，即a,b,c符号相同，
不妨设a,b,c均为正实数，
则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2
=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，
当且仅当a2+c2b=2b，且a=c取等，即取等号，
即则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12，
故选：A．
小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
9、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a+3b的最小值是（    ）
A．7B．C．4D．4+23
答案：D
分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
因为a>0,b>0,a+b=1，
所以y=1a+3b=a+b1a+3b=4+ba+3ab≥4+2ba⋅3ab=4+23，
当且仅当ba=3ab即时，等号成立.
结合a+b=1可知，当a=3−12,b=3−32时，y有最小值4+23.
故选：D.
10、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（    ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
答案：C
分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.
解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−ba+1a=a−ba+1a＞0，即y1＞y2，
由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba−b−1a−1=ab−b−ab+aaa−1=a−baa−1＞0，即y2＞y3，
所以y1＞y2＞y3，
故选：C.
11、已知关于x的不等式mx2−6x+3m<0在0，2上有解，则实数m的取值范围是（    ）
A．−∞，3B．−∞，127C．3，+∞D．127，+∞
答案：A
分析：分离参数，将问题转换为m<6xx2+3在0，2上有解，设函数g(x)=6xx2+3，x∈0，2，求出函数g(x)=6xx2+3的最大值，即可求得答案.
由题意得，mx2−6x+3m<0，x∈0，2，即m<6xx2+3 ，
故问题转化为m<6xx2+3在0，2上有解，
设g(x)=6xx2+3，则g(x)=6xx2+3=6x+3x，x∈0，2，
对于x+3x≥23 ，当且仅当x=3∈(0,2]时取等号，
则g(x)max=623=3，
故m<3 ，
故选：A
12、已知正数x，y满足2x+3y+13x+y=1，则x+y的最小值（    ）
A．3+224B．3+24C．3+228D．3+28
答案：A
分析：利用换元法和基本不等式即可求解.
令x+3y=m，3x+y=n，则2m+1n=1，
即m+n=x+3y+3x+y=4x+y，
∴x+y=m+n4=m4+n42m+1n=12+m4n+2n4m+14≥2m4n⋅2n4m+34
=2×122+34=22+34，
当且仅当m4n=2n4m，即m=2+2，n=2+1时，等号成立，
故选：A.
多选题
13、已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-cB．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则ca>dbD．若a>b，c>d>0，则ad>bc
答案：AC
分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由c>d，故−c<−d，根据不等式同向相加的原则a−d>b−c，故A正确
B选项：若a>0>b，0>c>d则ac<bd，故B错误；
C选项：ab>0，bc−ad>0，则bc−adab>0，化简得ca−db>0，故C正确；
D选项：a=−1，b=−2，c=2，d=1则ad=bc=−1，故D错误.
故选：AC
14、下列说法正确的是（    ）
A．若a>b，c<0，则a2c<b2cB．若a>b，c<0，则a3c<b3c
C．若a<b<0，则a2>ab>b2D．函数y=x2+5x2+4的最小值是2
答案：BC
分析：选项AC：考不等式的性质，要说明不等式不成立可举反例；选项D：令t=x2+4，t∈2,+∞，根据对勾函数单调性可解.
解：由a=2>b=−3，c=−1时，得a2c=−4>b2c=−9，选项A错误；
由a>b，得a3>b3，又c<0，所以a3c<b3c，选项B正确；
若a<b<0，则a2>ab，ab>b2，a2>ab>b2，选项C正确；
y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t∈2,+∞，
因为y=t+1t在2,+∞上单调递增，则t+1t≥2+12=52，即x2+5x2+4≥52，选项D错误.
故选：BC.
15、设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为Aa,b=a+b2，几何平均数为Ga,b=ab．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lpa,b=ap+bpap−1+bp−1，其中p为有理数．下列结论正确的是（    ）
A．L0.5a,b≤L1a,bB．L0a,b≤Ga,b
C．L2a,b≤Aa,bD．Ln+1a,b≤Lna,b
答案：AB
分析：根据基本不等式比较大小可判断四个选项.
对于A，L0.5(a,b)=a+b1a+1b=ab≤L1(a,b)=a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故A正确；
对于B，L0(a,b)=21a+1b=2aba+b≤2ab2ab=ab=G(a,b)，当且仅当a=b时，等号成立，故B正确；
对于C，L2(a,b)=a2+b2a+b=a2+b2+a2+b22(a+b)≥a2+b2+2ab2(a+b)=(a+b)22(a+b)=a+b2=A(a,b)，当且仅当a=b时，等号成立，故C不正确；
对于D，当n=1时，由C可知，L2(a,b)≥a+b2=L1(a,b)，故D不正确.
故选：AB
16、不等式ax2+bx+c≥0的解集是x−1≤x≤2，则下列结论正确的是（   ）
A．a+b=0B．a+b+c>0
C．c>0D．b<0
答案：ABC
分析：根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.
解：因为不等式ax2+bx+c≥0的解集是x−1≤x≤2，
所以a<0，且−ba=−1+2=1>0ca=−2<0，
所以b>0,b=−a,c>0,所以a+b=0，c>0，b>0，
故AC正确，D错误．
因为二次函数y=ax2+bx+c的两个零点为−1，2，且图像开口向下，
所以当x=1时，y=a+b+c>0，故B正确．
故选：ABC．
17、若正实数a,b满足a+b=2，则下列说法正确的是 （    ）
A．ab的最大值为1B．a+b的最大值为2
C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为83
答案：ABD
分析：A．根据ab≤a+b22进行计算然后直接判断即可；B．将a+b平方后再计算最大值并判断；C．将a2+b2变形为a+b2−2ab，然后结合ab的最大值求解出最小值并判断；D .利用消元法将2a2+b2变形为3a−232+83，再根据二次函数的最值求解出最小值并判断.
A．因为ab≤a+b22=1，取等号时a=b=1，故正确；
B．因为a+b2=a+b+2ab=2+2ab≤2+21=4，所以a+b≤2，取等号时a=b=1，故正确；
C．因为a2+b2=a+b2−2ab=4−2ab≥4−2×1=2，取等号时a=b=1，故错误；
D．因为2a2+b2=2a2+2−a2=3a2−4a+4=3a−232+83，当a=23,b=43时取最小值为83，故正确；
故选：ABD.
18、若−1<a<b<0，则（    ）
A．a2+b2>2abB．1a<1bC．a+b>2abD．a+1a>b+1b
答案：AD
分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.
A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；
B：由−1<a<b<0，则1a−1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；
C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2ab，错误；
D：(a+1a)−(b+1b)=a−b+1a−1b=a−b+b−aab=(a−b)(ab−1ab)>0，故a+1a>b+1b，正确.
故选：AD
19、已知a∈R，关于x的不等式ax−1x−a>0的解集可能是（    ）
A．x1<x<aB．xx1或xa
C．xxa或x1D．∅
答案：BCD
分析：分a<0,a=0,0<a<1,a=1,a>1，利用一元二次不等式的解法求解.
当a<0时，不等式等价于x−1x−a<0，解得a<x<1；
当a=0时，不等式的解集是∅；
当0<a<1时，不等式等价于x−1x−a>0，解得x>1或x<a；
当a=1时，不等式的解集为xx≠1；
当a>1时，不等式等价于x−1x−a>0，解得x>a或x<1．
故选:BCD．
20、已知正数a，b满足a+2b=1，则（    ）
A．ab有最大值18B．1a+2b有最小值8
C．1b+ba有最小值4D．a2+b2有最小值15
答案：ACD
分析：A由a⋅2b≤a+2b22即可确定ab最大值；B利用基本不等式“1”的代换有1a+2b=2ba+2ab+5即可求最小值；C将a+2b=1代入，利用基本不等式即可求最小值；D将a=1−2b代入，结合二次函数的性质求最值.
A：a⋅2b≤a+2b22=14，则ab≤18当且仅当a=12，b=14时取等号，正确；
B：1a+2b=a+2b1a+2b=2ba+2ab+5≥4+5=9，当且仅当a=b=13时取等号，错误；
C：1b+ba=a+2bb+ba=2+ab+ba≥2+2=4，当且仅当a=b=13时取等号，正确；
D：a2+b2=1−2b2+b2=5b2−4b+1=5b−252+150<b<12，故最小值为15，正确.
故选：ACD
21、已知a>b⩾2，则（    ）
A．b2<3b−aB．a3+b3>a2b+ab2
C．ab>a+bD．12+2ab>1a+1b
答案：BC
解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．
解：a>b⩾2，
A错误，比如a=3，b=2，4>3不成立；
B，a3+b3−a2b+ab2=a2(a−b)−b2(a−b)=(a−b)2(a+b)>0成立；
C，由ab−a−b=a(b−1)−b=(b−1)a−bb−1=(b−1)a−1+1b−1>0，
故C成立，
D，12+2ab−1a−1b=(a−2)(b−2)2ab⩾0，故D不成立，
故选:BC.
小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．
22、已知a,b,c,d∈R，则下列结论正确的是（    ）
A．若a>b,c>d，则ac>bdB．若ac2>bc2，则a>b
C．若a>b>0，则(a−b)c>0D．若a>b,c>d，则a−d>b−c
答案：BD
分析：举反例可判断选项A、C不正确，由不等式的性质可判断选项B、D正确，即可得正确选项.
对于选项A：举反例：a=−3，，c=0，d=−2满足a>b,c>d，但ac<bd，
故选项A 不正确；
对于选项B：因为ac2>bc2，则c2>0，所以 a>b，故选项B正确；
对于选项C：因为a=2，b=1，c=−1，满足a>b>0，但(a−b)c<0，故选项C不正确；
对于选项D：因为c>d，所以−d>−c，因为a>b，所以a−d>b−c，故选项D正确，
故选：BD.
解答题
23、解下列不等式.
(1)﹣x2+2x﹣3＜0；
(2)﹣3x2+5x﹣2＞0.
答案：(1)R
(2){x|23<x<1}
分析：（1）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）2+2＞0，结合二次函数的性质分析可得答案；
（2）根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x−23）＜0，解可得答案.
（1）
根据题意，﹣x2+2x﹣3＜0⇒x2﹣2x+3＞0⇔（x﹣1）2+2＞0，
又由（x﹣1）2+2≥2，则不等式的解集为R；
（2）
根据题意，﹣3x2+5x﹣2＞0⇔3x2﹣5x+2＜0⇔（x﹣1）（x−23）＜0，
解可得：23＜x＜1，即不等式的解集为{x|23＜x＜1}.
24、设p：实数x满足x2−2ax−3a2<0a>0，q:2<x<4．
(1)若a=1，且p，q都为真命题，求x的取值范围；
(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
答案：(1)2<x<3；
(2)a≥43．
分析：（1）解不等式确定命题p，然后求出p,q中x范围的交集可得；
（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解．
（1）a=1时，x2−2x−3<0，−1<x<3，即p:−1<x<3，又q:2<x<4，而p，q都为真命题，所以2<x<3；
（2）a>0，x2−2ax−3a2<0⇔−a<x<3a，
q是p的充分不必要条件，则−a≤23a≥4且等号不能同时取得，所以a≥43．
25、已知函数fx=x2+ax−2，fx>0的解集为xx<−1或x>b．
(1)求实数a、b的值；
(2)若x∈0,+∞时，求函数gx=fx+4x的最小值．
答案：(1)a=−1，b=2
(2)22−1
分析：（1）分析可知−1、b是方程x2+ax−2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a、b的值；
（2）求得gx=x+2x−1，利用基本不等式可求得gx在0,+∞上的最小值.
（1）
解：因为关于x的不等式x2+ax−2>0的解集为xx<−1或x>b，
所以，−1、b是方程x2+ax−2=0的两个根，所以，1−a−2=0−1⋅b=−2，解得a=−1b=2.
（2）
解：由题意知gx=fx+4x=x2−x+2x=x+2x−1，
因为x>0，由基本不等式可得gx=x+2x−1≥2x⋅2x−1=22−1，
当且仅当x=2x时，即x=2时，等号成立
故函数gx的最小值为22−1.
26、（1）已知x>1，求4x+1+1x−1的最小值；
（2）已知0<x<1，求x4−3x的最大值．
答案：（1）9；（2）43．
分析：（1）由于x−1>0，则4x+1+1x−1=4x−1+1x−1+5，然后利用基本不等式求解即可，
（2）由于0<x<1，变形得x4−3x=13⋅3x⋅4−3x，然后利用基本不等式求解即可.
（1）因为x>1，所以x−1>0，
所以4x+1+1x−1=4x−1+1x−1+5≥24x−1⋅1x−1+5=9，
当且仅当4x−1=1x−1，即x=32时取等号，
所以4x+1+1x−1的最小值为9．
（2）因为0<x<1，所以x4−3x=13⋅3x⋅4−3x≤133x+4−3x22=43，
当且仅当3x=4−3x，即x=23时取等号，
故x4−3x的最大值为43．
27、（1）若x>1，求y=x+4x−1的最小值及对应x的值；
（2）若0<x<2，求4x+12−x的最小值及对应x的值．
答案：（1）最小值为5，x=3；（2）最小值为92，x=43．
分析：（1）化简y=x−1+4x−1+1，再利用基本不等式求解；
（2）化简y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]，再利用基本不等式求解.
（1）因为x>1，所以x−1>0,4x−1>0，
y=x−1+4x−1+1≥2(x−1)(4x−1)+1=5
当且仅当x−1=4x−1(x>1)即x=3时等号成立，函数取最小值5；
（2）y=12(4x+12−x)×2=12(4x+12−x)×[x+(2−x)]=12[5+4(2−x)x+x2−x]
≥12(5+24(2−x)x×x2−x)=92
当且仅当4(2−x)x=x2−x(0<x<2)即x=43时等号成立，函数取最小值92.

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