全国通用高中数学第二章一元二次函数方程和不等式(二十一).docx

全国通用高中数学第二章一元二次函数方程和不等式(二十一)1单选题1、已知关于x的不等式2a+3mx2b3mx10a0,b0的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2a+b=1Bab的最大值为18C1a+2b的最小值为4D1a+1b的最小值为3+22答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b3m=1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式2a+3mx2b3mx10的解集为,112,+，可得2a+3m0，且方程2a+3mx2b3mx1=0的两根为1和12，所以1+12=b3m2a+3m112=12a+3m，所以2a+3m=2，b3m=1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a0，b0，所以2a+b=122ab，可得ab18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a+2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab4+2ba4ab=4+4=8，当且仅当ba=4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a+1b=1a+1b2a+b=3+ba+2ab3+2ba2ab=3+2，当且仅当ba=2ab时，即b=2a时，等号成立，所以1a+1b的最小值为3+22，所以D正确故选：C2、若实数x32，y13，不等式4x2t3y1+9y2t2x32恒成立，则正实数t的最大值为（）A4B16C72D8答案：D分析：令3y1=a,2x3=b，则b+32a+a+12b2t，由权方和不等式和基本不等式得b+32a+a+12b16，即可求解t8由4x2t3y1+9y2t2x32得4x23y1+9y22x32t因为x32，y13，则3y10,2x30令3y1=a,2x3=b则4x23y1+9y22x32t化为b+32a+a+12b2t恒成立，由权方和不等式得b+32a+a+12ba+b+42a+b=a+b+16a+b+8216+8=16当且仅当b+3a=a+1ba+b=4，得a=53,b=73即x=73,y=109时等号成立所以162tt8故选：D3、若x0，则x+14x2有（）A最小值1B最小值3C最大值1D最大值3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x0，函数y=2+3x+4x+1的最小值为（）A431B43+2C42+1D6答案：A解析：将函数变形为y=3x+1+4x+11，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意x0，所以x+10，所以y=2+3x+4x+1=2+3x+13+4x+1=3x+1+4x+1123x+14x+11=431，当且仅当3x+1=4x+1，即x=23310时等号成立，所以函数y=2+3x+4x+1的最小值为431.故选：A小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5、不等式x2+3x+186或x3Bx3x3或x6Dx6x3答案：A分析：根据二次不等式的解法求解即可.x2+3x+180，即x6x+30，即x6或x6或x3.故选：A6、不等式x+1x+30的解集是（）ARBCx3x1Dxx1答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由x+1x+30，解得3x1，即不等式的解集为x3x0，所以0b2，所以2ab+1a=221bb+b2b1=22b1+b2b1，令2b1=t，则b=t+12，且1t0,b0,a+b=1，则y=1a+3b的最小值是（）A7BC4D4+23答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.因为a0,b0,a+b=1，所以y=1a+3b=a+b1a+3b=4+ba+3ab4+2ba3ab=4+23，当且仅当ba=3ab即时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=312,b=332时，y有最小值4+23.故选：D.10、设ab1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b1a1，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y2y1Dy2y3y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由ab1，有y1y2=b+1a+1ba=ab+aabba+1a=aba+1a0，即y1y2，由ab1，有y2y3=bab1a1=abbab+aaa1=abaa10，即y2y3，所以y1y2y3，故选：C.11、已知关于x的不等式mx26x+3m0在0，2上有解，则实数m的取值范围是（）A，3B，127C3，+D127，+答案：A分析：分离参数，将问题转换为m6xx2+3在0，2上有解，设函数g(x)=6xx2+3，x0，2，求出函数g(x)=6xx2+3的最大值，即可求得答案.由题意得，mx26x+3m0，x0，2，即m6xx2+3，故问题转化为m6xx2+3在0，2上有解，设g(x)=6xx2+3，则g(x)=6xx2+3=6x+3x，x0，2，对于x+3x23，当且仅当x=3(0,2时取等号，则g(x)max=623=3，故mb，cd，则a-db-cB若ab，cd则acbdC若ab0，bc-ad0，则cadbD若ab，cd0，则adbc答案：AC分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.解：由不等式性质逐项分析：A选项：由cd，故cbc，故A正确B选项：若a0b，0cd则ac0，bcad0，则bcadab0，化简得cadb0，故C正确；D选项：a=1，b=2，c=2，d=1则ad=bc=1，故D错误.故选：AC14、下列说法正确的是（）A若ab，c0，则a2cb，c0，则a3cb3cC若ababb2D函数y=x2+5x2+4的最小值是2答案：BC分析：选项AC：考不等式的性质，要说明不等式不成立可举反例；选项D：令t=x2+4，t2,+，根据对勾函数单调性可解.解：由a=2b=3，c=1时，得a2c=4b2c=9，选项A错误；由ab，得a3b3，又c0，所以a3cb3c，选项B正确；若abab，abb2，a2abb2，选项C正确；y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4，令t=x2+4，则t2,+，因为y=t+1t在2,+上单调递增，则t+1t2+12=52，即x2+5x2+452，选项D错误.故选：BC.15、设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为Aa,b=a+b2，几何平均数为Ga,b=ab上个世纪五十年代，美国数学家DH.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lpa,b=ap+bpap1+bp1，其中p为有理数下列结论正确的是（）AL0.5a,bL1a,bBL0a,bGa,bCL2a,bAa,bDLn+1a,bLna,b答案：AB分析：根据基本不等式比较大小可判断四个选项.对于A，L0.5(a,b)=a+b1a+1b=abL1(a,b)=a+b2，当且仅当a=b时，等号成立，故A正确；对于B，L0(a,b)=21a+1b=2aba+b2ab2ab=ab=G(a,b)，当且仅当a=b时，等号成立，故B正确；对于C，L2(a,b)=a2+b2a+b=a2+b2+a2+b22(a+b)a2+b2+2ab2(a+b)=(a+b)22(a+b)=a+b2=A(a,b)，当且仅当a=b时，等号成立，故C不正确；对于D，当n=1时，由C可知，L2(a,b)a+b2=L1(a,b)，故D不正确.故选：AB16、不等式ax2+bx+c0的解集是x1x2，则下列结论正确的是（）Aa+b=0Ba+b+c0Cc0Db0答案：ABC分析：根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.解：因为不等式ax2+bx+c0的解集是x1x2，所以a0ca=20,b=a,c0,所以a+b=0，c0，b0，故AC正确，D错误因为二次函数y=ax2+bx+c的两个零点为1，2，且图像开口向下，所以当x=1时，y=a+b+c0，故B正确故选：ABC17、若正实数a,b满足a+b=2，则下列说法正确的是（）Aab的最大值为1Ba+b的最大值为2Ca2+b2的最小值为1D2a2+b2的最小值为83答案：ABD分析：A根据aba+b22进行计算然后直接判断即可；B将a+b平方后再计算最大值并判断；C将a2+b2变形为a+b22ab，然后结合ab的最大值求解出最小值并判断；D.利用消元法将2a2+b2变形为3a232+83，再根据二次函数的最值求解出最小值并判断.A因为aba+b22=1，取等号时a=b=1，故正确；B因为a+b2=a+b+2ab=2+2ab2+21=4，所以a+b2，取等号时a=b=1，故正确；C因为a2+b2=a+b22ab=42ab421=2，取等号时a=b=1，故错误；D因为2a2+b2=2a2+2a2=3a24a+4=3a232+83，当a=23,b=43时取最小值为83，故正确；故选：ABD.18、若1ab2abB1a2abDa+1ab+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b22ab，而1ab2ab，正确；B：由1ab0，故1a1b，错误；C：由1ab0，则a+b00，故a+1ab+1b，正确.故选：AD19、已知aR，关于x的不等式ax1xa0的解集可能是（）Ax1xaBxx1或xaCxxa或x1D答案：BCD分析：分a0,a=0,0a1，利用一元二次不等式的解法求解.当a0时，不等式等价于x1xa0，解得ax1；当a=0时，不等式的解集是；当0a0，解得x1或x1时，不等式等价于x1xa0，解得xa或x1故选:BCD20、已知正数a，b满足a+2b=1，则（）Aab有最大值18B1a+2b有最小值8C1b+ba有最小值4Da2+b2有最小值15答案：ACD分析：A由a2ba+2b22即可确定ab最大值；B利用基本不等式“1”的代换有1a+2b=2ba+2ab+5即可求最小值；C将a+2b=1代入，利用基本不等式即可求最小值；D将a=12b代入，结合二次函数的性质求最值.A：a2ba+2b22=14，则ab18当且仅当a=12，b=14时取等号，正确；B：1a+2b=a+2b1a+2b=2ba+2ab+54+5=9，当且仅当a=b=13时取等号，错误；C：1b+ba=a+2bb+ba=2+ab+ba2+2=4，当且仅当a=b=13时取等号，正确；D：a2+b2=12b2+b2=5b24b+1=5b252+150bb2，则（）Ab2a2b+ab2Caba+bD12+2ab1a+1b答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可解：ab2，A错误，比如a=3，b=2，43不成立；B，a3+b3a2b+ab2=a2(ab)b2(ab)=(ab)2(a+b)0成立；C，由abab=a(b1)b=(b1)abb1=(b1)a1+1b10，故C成立，D，12+2ab1a1b=(a2)(b2)2ab0，故D不成立，故选:BC.小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等22、已知a,b,c,dR，则下列结论正确的是（）A若ab,cd，则acbdB若ac2bc2，则abC若ab0，则(ab)c0D若ab,cd，则adbc答案：BD分析：举反例可判断选项A、C不正确，由不等式的性质可判断选项B、D正确，即可得正确选项.对于选项A：举反例：a=3，c=0，d=2满足ab,cd，但acbc2，则c20，所以ab，故选项B正确；对于选项C：因为a=2，b=1，c=1，满足ab0，但(ab)cd，所以dc，因为ab，所以adbc，故选项D正确，故选：BD.解答题23、解下列不等式.(1)x2+2x30；(2)3x2+5x20.答案：(1)R(2)x|23x1分析：（1）根据题意，原不等式变形为（x1）2+20，结合二次函数的性质分析可得答案；（2）根据题意，原不等式变形为（x1）（x23）0，解可得答案.（1）根据题意，x2+2x30x22x+30（x1）2+20，又由（x1）2+22，则不等式的解集为R；（2）根据题意，3x2+5x203x25x+20（x1）（x23）0，解可得：23x1，即不等式的解集为x|23x1.24、设p：实数x满足x22ax3a20，q:2x4(1)若a=1，且p，q都为真命题，求x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围答案：(1)2x3；(2)a43分析：（1）解不等式确定命题p，然后求出p,q中x范围的交集可得；（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解（1）a=1时，x22x30，1x3，即p:1x3，又q:2x4，而p，q都为真命题，所以2x0，x22ax3a20ax0的解集为xxb(1)求实数a、b的值；(2)若x0,+时，求函数gx=fx+4x的最小值答案：(1)a=1，b=2(2)221分析：（1）分析可知1、b是方程x2+ax2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a、b的值；（2）求得gx=x+2x1，利用基本不等式可求得gx在0,+上的最小值.（1）解：因为关于x的不等式x2+ax20的解集为xxb，所以，1、b是方程x2+ax2=0的两个根，所以，1a2=01b=2，解得a=1b=2.（2）解：由题意知gx=fx+4x=x2x+2x=x+2x1，因为x0，由基本不等式可得gx=x+2x12x2x1=221，当且仅当x=2x时，即x=2时，等号成立故函数gx的最小值为221.26、（1）已知x1，求4x+1+1x1的最小值；（2）已知0x0，则4x+1+1x1=4x1+1x1+5，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于0x1，所以x10，所以4x+1+1x1=4x1+1x1+524x11x1+5=9，当且仅当4x1=1x1，即x=32时取等号，所以4x+1+1x1的最小值为9（2）因为0x1，求y=x+4x1的最小值及对应x的值；（2）若0x1，所以x10,4x10，y=x1+4x1+12(x1)(4x1)+1=5当且仅当x1=4x1(x1)即x=3时等号成立，函数取最小值5；（2）y=12(4x+12x)2=12(4x+12x)x+(2x)=125+4(2x)x+x2x12(5+24(2x)xx2x)=92当且仅当4(2x)x=x2x(0x2)即x=43时等号成立，函数取最小值92.18