第二学期高数(下)期末考试试卷及答案.doc

第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1
一、 填空题(每空 3 分,共 15 分)
1.设，则。
2.曲面在点处
的切平面方程是.
3.交换累次积分的次序:
。
4。设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成，则：
使得格林公式:
成立的充分条件是：
.
其中L是D的取正向曲线;
5.级数的收敛域是.
二、 单项选择题 （每小题3分，共15分)
1。当，时，函数的极限是
A.等于0； B. 等于；
C。 等于； D。 不存在.
2.函数在点处具有偏导数,
是函数在该点可微分的
A。充分必要条件; B。充分但非必要条件;
C。必要但非充分条件; D。 既非充分又非必要条件.
3。设,则
A.; B. ;
C. ; D. 。
4。若级数在处收敛，
则此级数在处
A.绝对收敛; B.条件收敛；
C.发散； D.收敛性不确定.
5。微分方程的特解应设为
A. ； B。 ；
C。 ； D. .
三.（8分)设一平面通过点,而且通过
直线，求该平面方程.
解：
平行该平面
该平面的法向量
所求的平面方程为：
即:
四.（8分）设,其中具有二阶连续偏导数,试求和。
解：令，
五.（8分）计算对弧长的曲线积分
其中是圆周与直线
在第一象限所围区域的边界.
解：
其中： ：
：
：
而
故：
六、(8分）计算对面积的曲面积分,
其中为平面在第一卦限中的部分。
解：：
,
七.（8分）将函数,展开成的幂级数。
解：，
而 ，
，
,
八.（8分）求微分方程：
的通解.
解：,
原方程为：
通解为：
九。幂级数:
1.试写出的和函数;（4分）
2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分)
解：1、
于是
2、令：
由1知： 且满足：
通解：
由,得:；故：
十。设函数在上连续,且满足条件
其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面
与平面（参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式；
（3分）
2、试求函数的表达式.（7分）
解：1、旋转曲面方程为:
由，得：
故在面的投影区域为：：
2、由1得:
记：
则：
两边乘以：，再在 上积分得：
解得：
故：
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案2
三、 填空题（每空 3 分，共 15 分）
1. 曲线,绕轴旋转一周所得到的
旋转曲面的方程是.
2。曲线在点处
的法平面方程是.
3。 设,其中具有二阶连续导数，
且,，则。
4. 级数，当满足不等式时收敛.
5。级数的收敛域是.
四、 单项选择题 (每小题3分,共15分)
1。设与为非零向量,则是
A。 的充要条件； B。 的充要条件；
C。 的充要条件； D。 的必要但非充分条件.
2。平面的位置是
A。垂直于轴； B。平行于轴;
C.平行于面； D. 通过轴.
3.设函数，
则下列说法正确的是
A。存在且在点处的
两个偏导数也存在；
B。 存在但在点处的
两个偏导数不存在;
C。 不存在但在点处的
两个偏导数存在;
D。 不存在且在点处的
两个偏导数也不存在；
4。曲线为圆周 ，
则等于
A. ; B. ;
C。 ； D。 .
5. 设正项级数收敛，则必有
A。 ； B。 ；
C. ； D。 .
三.（8分）在平面上求一直线，
使得它与直线 垂直相交。
解：方法1：
直线的方向向量为
它与平面的交点为
所求直线通过这一点，
所求直线的方向向量为：
故所求的直线方程为：
方法2:直线的方向向量为
它与平面的交点为
所求直线通过这一点，
过交点且与直线垂直的平面方程为:
即：
故所求的直线方程为：
或：
四.（8分）设是由方程
所确定的隐函数，
求: ，和，
解：设，则：
，，
,
当，时，
,
，
，
五.(8分）计算曲线积分
其中为从经的上半圆到的一弧段。
解：由 知与路经无关.
取，作新路经折线，
于是:
六、（8分）利用高斯公式计算曲面积分，
其中为球面：的上半部分的上侧。
解： 作 ： 取下侧。
则
而
故：
七。(8分）将函数，
展开成的幂级数。
解：
而：
八。(8分）求微分方程：的通解。
解：
是特征方程的单根, 所以设
代入原方程得:
故原方程的通解为:
九. (12分)求由曲面和
所围成立体的体积。
解：:
十. （10分）设是第一象限内连接点，
的一段连续曲线，为该曲线上任意
一点，点为在轴上的投影， 为坐标原点.若梯形的面积与曲边三角形的面积之和为
.试建立所满足的微分方程,并求
的表达式.
解：梯形的面积为：
曲边三角形的面积为:
根据题意得：
两边关于求导得：
即：
故：
由: ，得：，
故：
第二学期高数（下）期末考试试卷及答案3
一、 填空题（每空 3 分,共 15 分)
1. 已知向量，，则以，
为边的平行四边形的面积等于.
2。 曲面在点处
的切平面方程是。
3。 交换积分次序。
4. 对于级数（a＞0），当a满足条件时收敛.
5。 函数展开成的幂级数
为。
二、 单项选择题 （每小题3分，共15分)
1。 平面的位置是 （ ）
（A）通过轴 （B）通过轴
（C）垂直于轴 （D）平行于平面
2. 函数在点处具有偏导数
，,是函数在该点可微分的 （ ）
（A）充要条件 （B）充分但非必要条件
（C）必要但非充分条件 (D）既非充分又非必要条件
3. 设,则（ ）
（A) （B)
（C） （D）
4。 若级数在处收敛，
则此级数在处（ )
(A）敛散性不确定 (B）发散
（C）条件收敛 （D）绝对收敛
5. 微分方程的通解是（ )
(A） (B）
（C) (D）
三、(本题满分8分)
设平面通过点，而且通过直线
,求该平面方程．
解: 由于平面通过点及直线上的点,
因而向量平行于该平面.
该平面的法向量为：
则平面方程为：
或:
即：
四、（本题满分8分)
设,其中具有二阶连续偏导数，
试求和．
解： ,
五、（本题满分8分)
计算三重积分，
其中．
解:
六、（本题满分8分）
计算对弧长的曲线积分，
其中L是圆周在第一象限的部分．
解法一:
解法二：
（的弧长)
解法三: 令，，,
七、(本题满分9分）
计算曲面积分，其中是柱面
与平面和所围成的边界曲面外侧．
解: ,,，
由高斯公式：
八、（本题满分9分）
求幂级数的收敛域及和函数．
解: 收敛半径：
易判断当时，原级数发散.
于是收敛域为
九、（本题满分9分）
求微分方程的通解．
解：特征方程为：
特征根为:,
的通解为：
设原方程的一个特解为：,
原方程的一个特解为：
故原方程的一个通解为：
十、(本题满分11分）
设是上半平面内的有向分段光滑曲线，
其起点为，终点为，
记
1．证明曲线积分与路径无关；
2．求的值．
证明1:因为上半平面是单连通域，在内：
，
有连续偏导数，且：
,，。
所以曲线积分与路径无关.
解2： 设,，，由于曲线积分与
路径无关，故可取折线路径:。
东北大学高等数学（下）期末考试试卷
2007.7.
一．选择题（4分6=24分）
1、设为非零向量，则 =[ ］．
（A） (B） (C) (D） 。
2．．
3．设， 在上连续． =[ ］．
(A） （B）
（C） （D)
4若级数与都发散，则必有[ ]．
（A) 发散 （B） 发散
（C) 收敛 (D) 收敛
二、填空题（4分6=24分)
1．直线与平面的交点是____________．
2．用钢板做体积为的有盖长方体水箱．最少用料S=_____．
3．二次积分的值是_____________．
4．设为球面，则=__________________．
5．小山高度为．在处登山,最陡方向是_____________．
6．设为周期为的周期函数，它在的表达式为，
若的傅立叶级数的和函数为，则=________________．
三、（10分）求过点垂直于直线而与平面的平行的直线方程．
四．（10分）将函数展开成(x-1)的幂级数．并给出收敛域。
五．（10分）计算三重积分， 其中W是由抛物面x2+y2=2z及平面z=5所围成的空间闭区域.
六．（10分）设L是由直线上从到一段及圆弧上从再到的有向曲线，计算
七．（10分）计算曲面积分，其中为球面
八．（10分）设,具有二阶连续偏导数,而由方程确定,求。
高等数学参考答案
2007.7
一．选择题（本题共4小题,每小题4分，共计16分）
1、【解】应选择D。
===
2．【解】应选择A。
连续 处可微分
3。【解】应选择C。在极坐标下
=
4。【解】应选择B。
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1．【解】应填
直线化为参数式
代入平面方程
得
代入参数方程得
故交点为
2．【解】应填24
设水箱的长为xm, 宽为ym， 则其高应为m. 此水箱所用材料的面积为
.
令, ， 得x=2, y=2.
即当水箱的长为2m、宽为2m、高为m时， 水箱所用的材料最省。
最少用料为
3．【解】应填.
====
4．【解】应填.
==
===
5．【解】应填.
在处登山，最陡方向是在的梯度方向．
=
6．【解】应填.
由于是间断点，故，而是连续点， 于是=.
三．【解】 已知直线方向向量,已知平面法向量…………（4分)
设所求直线方向向量,则
. …………………………………….。。（8分）所求直线方程为
……………………………………………………………（10分）
四． 【解】 因为
……………………（2分）
………………………………(4分）
………………（6分）
…………………………(8分)
收敛域满足…………………………………………（9分）
解出收敛域为：…………………………………………………………（10分)
五。 【解】积分区域W关于面对称，
在柱面坐标下积分区域W可表示为
, , ， …………………………………（2分）
…………………………………………（4分)
……………………………………（6分）
……………………………………（8分）
………………………（10分）
六．【解】补充为x轴上由到有向直线段,则 L和围成闭区域D，
…………………………………………（2分）
。。…………………………（4分）
则由Green公式
原式………………………………………（6分)
……………………………………………….（8分）
……………………………………………….。（10分)
七【解】由Gauss公式
原式……………..…………………………………(2分）
………………………………………………（4分）
………………………………………（6分）
……………………………………………（8分）
………………………………………………(10分）
八【解】由方程两边关于求导得
……………………………………………………………(2分）
类似地，有……………………………………………………（4分）
…………………………………………(7分)
…………………(10分)
9