中国人民大学2016年第二学期高等数学期末考试试卷及答案.doc

装订线中国人民大学期末考试试卷（A卷）20162017学年第1 学期 考试科目：高等数学A考试类型：（闭卷）考试 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分得分评阅人得分一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1函数的定义域是 。2设，则= 。3 。4不定积分= 。5反常积分= 。得分二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1设，那么不存在的原因是 （ ）A无定义 B不存在C不存在 D和都存在但不相等 2设偶函数二阶可导，且，那么 （ ）A不是的驻点 B是的不可导点 C是的极小值点 D是的极大值点3设，则 （ ） A B C D 4下列函数中不是函数的原函数的有 （ ） A B C D5求由曲线与直线，（）及所围成的图形绕轴旋转一周所生成的旋转体的体积。 （ ） A B C D得分1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 。2. 设，试确定，的值，使得在可导。 3. 设参数方程确定是的函数，求和。 4计算不定积分。5 设方程确定隐函数并满足，求。6设曲线在处有极小值，且为拐点，求的值。7计算定积分。得分1.5CM四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1证明不等式：当时，。2 一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所围的面积最小时的方程。3. 已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使得。 参考答案20162017学年第1 学期 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 3 4 5二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1C 2C 3A 4C 5D 1.5CM三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1. 求极限 。解：2分5分7分2. 设，试确定，的值，使得在可导。解：因为1分2分而，因为在处连续，所以，故3分4.5分6分因为在处可导，所以，从而，所以7分3. 设参数方程确定是的函数，求和。 解：3分5分7分4计算不定积分。解：2分4分6分7分5. 设方程确定隐函数并满足，求。解：方程两边对求导，得3分5分又，得，6分代入得7分6设曲线在处有极小值，且为拐点，求的值。解：1分2分由题意得6分解得7分7计算定积分。解：令，则1分3分4分6分7分四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1.5CM1证明不等式：当时，。证明：设1分2分所以3分所以单调递增4分当时，5分所以当时，单调递增6分所以当时，即7分2一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所围的面积最小时的方程。解：设1分它通过原点，因此2分又通过，所以3分所以满抛物线为这抛物线与轴的另一交点是4分它与轴所围面积为5分令得（舍）6分所以7分3 已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使得。解：（1）令，2分则在上连续，且，故由零点定理知存在，使得，即。3分（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在，使得，5分，从而证毕7分7