人民大学2016年第二学期高等数学期末考试试卷及答案.pdf

1装订线中国人民大学期末考试试卷（中国人民大学期末考试试卷（A 卷）卷）20162017 学年第学年第 1 学期学期 考试科目：考试科目：高等数学高等数学 AA考试类型：（闭卷）考试考试类型：（闭卷）考试 考试时间：考试时间：120 分钟分钟学号 姓名 年级专业 题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分评阅人评阅人一一、填空填空题题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1函数的定义域是 。21ln11xyxx2设，则=。arcsinyxdy3 。lim()xxxaxa4不定积分=。21xxeedx5反常积分=。11(1)dxx x二、单项选择题单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1设，那么不存在的原因是 （1sin,0()1sin,0 xxf xxxx0lim()xf x）A无定义 B不存在(0)f0lim()xf xC不存在 D和都存在但不相等 0lim()xf x0lim()xf x0lim()xf x得分得分得分得分22设偶函数二阶可导，且，那么 （()f x(0)0f0 x）A不是的驻点 B是的不可导点 ()f x()f xC是的极小值点 D是的极大值点()f x()f x3设，则 （202()sinxxt dt()x）A B C D42 sinxx22 sinxx22 sinxx 42 sinxx4下列函数中不是函数的原函数的有 （sin2x）A B C D2sin x2cos x1sin22x1cos22x5求由曲线与直线，（）及所围成的图形绕xyaxa2xa0a 0y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。（y）A B C D12aa212a22 a三、计算题计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限。20cos(sin)13limxxx2.设，试确定，的值，使得在可导。2,1(),1xxf xaxbxab()f x1x 得分得分1.5CM3装订线3.设参数方程确定是的函数，求和。(sin)(1 cos)xa ttyatyxdydx22d ydx4计算不定积分。2(ln)xdx5设方程确定隐函数并满足，求。sin()yexy()yy x()02y2xy6设曲线在处有极小值，且为拐点，求322yaxbxcx1x 0(0,2)的值。,a b c47计算定积分。1154xdxx四、四、解答题解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1证明不等式：当时，。1x 2(1)2xeex2一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所x(2,1)y围的面积最小时的方程。3.已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：()f x0,1(0,1)(0)0f(1)1f（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使(0,1)()1f(0,1)得。()()1ff 得分得分1.5CM5装订线参考答案参考答案20162017 学年第学年第 1 学期学期 一一、填空填空题题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 2 3 4 5 1,1212dxxx2aearctanxeCln2二、单项选择题单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1C 2C 3A 4C 5D 三、计算题计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1.求极限。20cos(sin)13limxxx解：解：2 分分20cos(sin)13limxxx0sin(sin)cos6limxxxx 5 分001sin(sin)sin=cos6sinlimlimxxxxxxx 7 分1=62.设，试确定，的值，使得在可导。2,1(),1xxf xaxbxab()f x1x 解：因为 1 分211()1limlimxxf xx 2 分11()()limlimxxf xaxbab而，因为在处连续，所以，故(1)1f()f x1x 11()()(1)limlimxxf xf xf 3 分1ab 4.5 分200(1)(1)(1)1(1)limlim2xxfxfxfxx 6 分00(1)(1)(1)1(0)limlimxxfxfaxbfaxx1.5CM6因为在处可导，所以，从而，所以()f x1x(1)(1)ff2a 7 分1b 3.设参数方程确定是的函数，求和。(sin)(1 cos)xa ttyatyxdydx22d ydx解：3 分sinsincot(1 cos)1 cos2dyatttdxatt 5 分22(cot)2(sin)td ydxa tt21csc22(1 cos)tat 7 分41csc42ta 4计算不定积分。2(ln)xdx解：2 分222(ln)(ln)(ln)xdxxxxdx 4 分2(ln)2 lnxxxdx 6 分2(ln)2 ln2lnxxxxxdx 7 分2(ln)2 ln2xxxxxC5.设方程确定隐函数并满足，求。sin()yexy()yy x()02y2xy解：方程两边对求导，得x 3 分cos()(1)yeyxyy 5 分cos()cos()yxyyexy又，得，6 分2x0y 代入得7装订线 7 分2=0 xy6设曲线在处有极小值，且为拐点，求322yaxbxcx1x 0(0,2)的值。,a b c解：1 分232,yaxbxc 2 分62,yaxb由题意得 6 分20000223206020abcabcabcab 解得 7 分1,0,3abc 7计算定积分。1154xdxx解：令，则 1 分54tx12dxtdt 3 分21113514()254txdxt dttx 4 分1231(5)8tdt 6 分31311(5)83tt 7 分16四、四、解答题解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）1证明不等式：当时，。1x 2(1)2xeex证明：设 1 分2()(1)(1)2xef xexx 2 分()xfxeex所以 3 分()0 xfxee1.5CM8所以单调递增 4 分()xfxeex当时，5 分1x()(1)0fxf所以当时，单调递增 6 分1x 2()(1)(1)2xef xexx所以当时，即 7 分1x()(1)f xf2(1)2xeex2一抛物线的轴平行于轴，开口向左且通过原点与点,求当它与轴所x(2,1)y围的面积最小时的方程。解：设 1 分2xaybyc它通过原点，因此 2 分0c 又通过，所以 3 分(2,1)2ba所以满抛物线为2(2)(0)xaya ya这抛物线与轴的另一交点是 4 分y2(0,1)a它与轴所围面积为y 5 分2122042()(2)136aaS aaya y dyaa 令32821()036S aaa 得（舍）6 分4,2aa 所以 7 分246xyy 3已知函数在上连续，在内可导，且，。证明：()f x0,1(0,1)(0)0f(1)1f（1）存在，使得；（2）存在两个不同的点，使(0,1)()1f(0,1)得。()()1ff解：（1）令，2 分()()1g xf xx则在上连续，且，()g x0,1(0)10g (1)10g 故由零点定理知存在，使得，即。(0,1)()()10gf()1f 3 分（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在，使得(0,)(,1)，5 分()(0)1()0fff，(1)()1(1)()111fff从而证毕 7 分1()()11ff