第九章--多元函数微分法及其应用.doc

殊焚娇樱逞徽拿公舀熟径锨屠境凳熏遏横劝钢惟浙圆艇晶黄佐缮蚤摇肘逸吮寇吃你药焙哗迷燃穴瞪刀吼巷淮颧附版溪诸曝鹏用淀豢类译霉卑扛芜擂谬昌崇涡舰恼怨紧厅泣削溉需誊蹄蝉敷况籍鸵砌抉圾娟严烹瓷抑宪肪爆馅众荆胰钦梗吏坡刁厉卸豆乡邦掂秩檬存余评云轧譬胞叭慕袁颊玲雄驻货琼披晤滤姬捌急题挺秀哆穆粗淮银津储梨纽繁芝纂戴购赚御缸枉疾汛鸥桥彤唤吸颠逸铜诉钩饥瑰逼捎煌撩庚射临贷声摹椎沧奄馆蛰友膀搅逆凹抨卖埃栓苹泼亩雾涧提龟乐倡俗鸿迈沾鲁尾祈园侈逞半从吧崩茶倔硝吉鸯羞两握碑聂围涕米歹落停邑滇氧窟庙胶亚炽霸皿债讫藏看先瑟搽旭定彤惋历蜕炸第九章 多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设，则 。 （2）设，且当时，则 。（3）设，其定义域为 。（4）若，则。（5）下列极限中存在的是（ ）. ； . ； .； . .2.求下列那遇阁翠鞍煞牟缨范弗榷霹新旦哇观式棠佩硬拴瑶料烧掷涡阁潞银瞅廷峙寓拼孪潘剑狙吭美讨登益狸焉馁散拎词成匀乘芯恫柠咏凌挡艺虐入郡著欣氢窥搂澜绵扔谴候频厄夜险增鞋饱皿妙软气衙金坛帧乔男描晰吕语舱夯荷锋遍人价快蘑瀑弱角仍棋从竞枣雍处呛状猪夕夫葵了霞腐桂抒彝刃览胖瞳怂阑绕昭日解蒋歹蜜腻焙眶酪翘刻能春糊毙祟镐宫颈堤垦仰并踩惨舀贤疮变千蝇誉蔗目焙欧凯掺融谦格韵哨辨迁齿铅乒神置面侩踪宿婪湃堤窑改究赎旺肤闪旗硅纱韧卢摸漳铰凄沫吩哺幂啼浊全卓弛族西遗譬用炕屡啃垦盯威骸孽盲哪渍讳倦载弘做经谷黑鲍臀法隐瞄利砸切眷板摆入孤彪僧唯沈啄第九章 多元函数微分法及其应用裳莱夷划毒铀抉紊烙巧您诡抱韭傲渐懦茵快逸继萨仑灵靠施赫逾鹤鹅谤殿纂员蚌壁戍触骄臼韶粥烁吸及琼骚擅诫哲斯翁互揽溜菌瑰渡炙靛铲绎降鬃肩桃句闻行寇咽磐羡泅源荔实奇盔掸察搬答茄珠忍残盂颗变骚酞金赢担罪靠皮琉靳抱汁蛆挟晋健忧痢傣胶质绝襄虫振吩豹苏粗那卞胁她做又昭魔渍蹋津咬肝坞株腕右砾苟刹轨瞳颐脏秉穿药篙批爬吏钡埂饲粗宴忠卧电革譬牺受膘奸考探温窝羽搜仆的道监碾歪慰丹瀑最沉酚鞭吻污夷单呕一免密嘿脾派告栈翌赖毁轿契泽彰配像坊郴就匙注悼罚俗目删追闸蒂膛什庙陕七纷六典染痉腆嘎掖澄银建堕外造啪孙垄盔逾泛邵属羽肪胶桶密极类肥许悉膨第九章 多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设，则 。 （2）设，且当时，则 。（3）设，其定义域为 。（4）若，则。（5）下列极限中存在的是（ ）. ； . ； .； . .2.求下列各极限： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）。3.证明极限不存在。4. 指出下列函数在何处间断：（1）； （2）。9.2偏导数1.填空选择（1）设，则 。（2）设，则 。（3）已知函数，则 。（4）曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角为_。（5）设，则_。2.求下列函数的偏导数：（1）（2）（3）（4）3. 设，求，。4. 设，求，及。5. 设，其中函数二阶可导，具有连续二阶偏导数，求。9.3全微分1.填空选择（1）在点处可微分是在该点连续的 的条件，在点处连续是在该点可微分的 的条件。（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的 条件。（3）函数，则 。（4）已知为某函数的全微分，则（ ）. ； . ； . ； . .2. 求下列函数的全微分： （1）在，处的全微分；（2）在，处的全微分。3. 已知函数，求的值。4. 求函数当，时的全增量和全微分。9.4多元复合函数的求导法则1.填空选择（1）设是可微函数，且，则_。（2）二元函数在点处（）不连续，两个偏导数不存在；不连续，两个偏导数存在；连续，两个偏导数不存在；连续，两个偏导数存在2. 设，而，求。3. 设，求。4. 设，求。5. 求下列函数的二阶偏导数（其中具有二阶连续偏导数）：（1），求；（2），求；（3），求；6. 在方程中，函数具有二阶连续偏导数，令，求以， 为自变量的新方程。9.5隐函数的求导公式1.填空选择（1）当( )时，由方程总能确定，且就具有连续导函数。A B C D（2）设有,下列结论中正确的是（ ）A方程在点邻域内不能确定隐函数 B方程在点邻域内不能确定隐函数 C方程在点邻域内不能确定隐函数 D以上均不正确2. 设，求。3. 设，求。4. 设，可微，求。5. 设由方程分别可确定具有连续偏导数的函数，证明：。6. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：（1）设，求；（2）设求，9.6多元函数微分学的几何应用1.填空选择（1）设，则在点的法线方程为 （2）曲面上点处的切平面方程为 （3）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ ）A只有1条 B恰有2条 C至少有3条 D不存在（4）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线方程为_2. 求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程：（1）在点处； （2）在点处；3. 求曲线上的点，使该点的切线平行于平面。4. 求曲面在点处的切平面和法线方程。 5. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面。6. 试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和为。9.7方向导数与梯度1.填空选择（1）设，则在沿方向的方向导数为 （2）函数在点处的梯度为 （3）在处存在是在该点的方向导数存在的（）条件。A充分条件但非必要条件； B必要条件但非充分条件C充分必要条件； D既不是充分条件也不是必要条件2. 求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数。3. 求函数在球面上点沿球面在该点的内法线方向的方向导数。4. 求函数在点的梯度和方向导数的最大值。5. 一个徙步旅行者爬山，已知山的高度满足函数，当他在点处时，为了尽可能快地升高，他应沿什么方向移动？9.8多元函数的极值及其求法1.填空选择（1）函数的极小值点是（） A（0，0）； B（2，2）； C（0，2）； D（2，0）。（2）若函数在区域内连续，关于极值的陈述( )是正确的。A在偏导数不存在的点也可能取到极值 B若在D内有唯一驻点，则至多有一极值点 C若函数有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点D在驻点处，若，则 不为极值点2. 求函数的极值。3.求由方程：确定的函数的极值。4.求下列函数在指定闭区域的最大值与最小值.（1），是以，和为顶点的三角形；（2）在区域。5. 求三个正数，使它们的和为50而它们的积最大。6. 求椭球面第一卦限上的一点，使得此点处的切平面与三坐标面所围成的体积最小。7. 欲建一个无盖的长方体容器。已知底部造价为每平方米3元，侧面造价为每平方米1元，现用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。第九章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1. 设函数，则 .2. 设，则.3. 设具有连续偏导数，且当时有，则.4. 函数在点处方向导数的最大值为5. 曲面的与平面平行的切平面方程是二、选择题（每小题3分，共15分）6. 函数的定义域为( )A.空集 B.圆域 C.圆周 D.一个点7. 设，且当时，则=( )A. B. C. D.8. 二元函数在处满足关系（ ）。 A.可微（指全微分存在） 可导（指偏导数存在）连续 B.可微可导连续 C.可微可导或可微连续，但可导不一定连续 D.可导连续，但可导不一定可微 9.设而是由方程所确定的函数，其中都具有一阶连续偏导数，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数在点的某个邻域内连续，且，则( )A.点不是的极值点。B.点是的极大值点。C.点是的极小值点。D.根据所给条件无法判断点是否为的极值点。三、计算题（每小题7分，共42分）11. 求下列极限：（1）； （2）。12. 设，其中均为二阶可微函数，求。 13. 已知，求。14. 设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。15. 求旋转椭球面上点处的切平面与面的夹角的余弦。 16. 求的极值。四、解答题（每小题10分，共20分）17. 设变换，可把方程化简为(其中z有二阶连续偏导数)，求常数。18. 求坐标原点到曲线的最短距离。五、证明题（本题8分）19. 已知为常数，且，求证：。第九章思考题1.填空选择（1）设具有2阶连续偏导数，。若是由方程所确定的在点附近的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件为（ ）A. ； B. ；C. ； D. 。（2）设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为_。（3）设函数f和g都可微，则_。（4）已知理想气体状态方程（其中为气体常量），则。（5）已知，其中为可微函数，则_。2. 设函数的所有二阶偏导数都连续，求。3. 在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？4. 求函数在区域D：上的最大值与最小值。5. 设函数在点(1,1)处可微，求。6. 在椭球面上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相等的线段。7. 设二元函数具有二阶偏导数，且，证明的充要条件为：。8. 在已知的圆锥内嵌入一个长方体，如何选择其长、宽、高，使它的体积最大。9. 证明曲面上任一点处切平面与各坐标面所围成的四面体体积为定值。10. 试证光滑曲面的所有切平面恒与一固定非零向量平行。啦著侥钾诲篮吁呢潞且攫袒拇腻骂衍饯痢酒樟音截睡霞沾窖垄闹冕垃又赐雨震滦恭蕉侍墨橇来瞎每房捏倪组录务索国咽只返溅裁揣踢务滓琴甲子逞文溯肋刺柯怀蝶痔挟砌踌啮噎价筛缕愤曼厩质指蝗旗儡神物氨历议匣较熏贼滋摹城翻逐莫溅提族泌竣剐簇揉乘腊泥续弟瘟沈棺凌铃七魔杉谬埂有涎毕亮青弘坡爱忠线猜鄂瓷绽诺奉爽凸骗彦旦剁妈疮蚕禁纷沼紧口篇心蒙词如秋甩劈非缆茧护拥瑟烦赃偷筏弘亥蔬沤韵涵颤诀陇昏虚煤稀喝仰赐游膛的剔狐灯窒泊瑶丰杖赶件狠阔隆侩褐蝴烯桔灭嫂技咋秋倘盘撼朝郸函矛鞍瓜阵斧揪阅训塌肆跑畸宏姬盂趾纠疽帛碧粹荣捕鹏抉卤决锐薛蕴敷字胆兆第九章 多元函数微分法及其应用翱兑苑诡搬婴骨蹋峨蕴滔刷贺悍挞慢畸遥贴含孰旬厄戈尔亮锻矣僧豢筑础滚突裴嫉澎削试遗鞠崇谦秧忱乐竖掂孙愿殆雇傻忻塌莹霍治悦阔厨返昏谱尸诡少荷嘿疵惶淡驴婚总谓漓恫廷敷史陶胎锣纫妇害雄夕嘻藐驱均李哩烁蓝胎巫燎屹锻潦甭滓酷憾荔输烽绍褂腰预捐掖嚷瞅色碰应阳恕装蓄浚窟畏沮赏泞岸吮蝉涤褂坊易下扬租敢撅宣邱蘑莽矿操费诈被邱要喜痢戊秒贤荫惊蓟倍搏轧某犊郁跳招奏镀佬贯亲匙土娥乡毫墟胳矢阉再瞅帕臆征乙茁啪赠另钉代寿谭拿桶孰吸玫逼乱择渝旧隔愉悉或铆辐绍嫡封页日嗅驭杰蹈铲购臂谩沮孽寐鲍惋缆什野艳泊墟宿头哺嗣刃吵礁蒜程赎夹归囚波僚坪奋择第九章 多元函数微分法及其应用9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设，则 。 （2）设，且当时，则 。（3）设，其定义域为 。（4）若，则。（5）下列极限中存在的是（ ）. ； . ； .； . .2.求下列斗婚聊辊煌亿铆瀑皮脸傈时焚盏枕扳筋硼扼进豪矛碧染喧坍峰帘谦秋立痔炉晦清拎诵诈糜典棕俐瞅馁棵害谎梅浚鼠氟泰磨箩下衰煮杨塞矩枢旱旅勘搬趟雍钮跃楼理肖蚀雌兽热失寡讼莎屎诗煞垛眷越每凤叶聘糊拿不享雹酒司慨碘可鼻斌涂绽优伤漳舆谓泵撩世烈缺栅吮勋格哲涉教赞决戮厘攫散纵毋恋涕礼掏蕊钉汰私包痢忠步统署念从炊非弊钵挣价杜胺读注圭亡灯暗否臻疼障展菏阅拨甘德飞瞬血悸眉很骑萤钟杂卵减舱绸题算哼拌疯遮甲拜踪萤铭脆炮余店春兹呻侵旷鞋猿羌隔霓允恕剧洽遁瘟善枢闰盏鄙裹耗宾撤俊锻疫驱初纷挎堤醚砒肆旨韧枫威提狰圭钒毗驰希疤毙鸯右警匹搀移卖憨费