2021年实数知识点和练习.doc

第六章 实数
知识网络：

考点一、实数概念及分类
1、实数分类

2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（1）开方开不尽数，如等；
（2）有特定意义数，如圆周率π，或化简后具有π数，如+8等；
（3）有特定构造数，如0.…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等（此类在初三会浮现）
判断一种数与否是无理数，不能只看形式，要看运算成果，如是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数区别
（1）有理数指是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有有理数都能写成分数形式（整数可以当作是分母为1分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一种正数x平方等于a，即，那么这个正数x叫做a算术平方根。
（2）如果一种数平方等于a，那么这个数就叫做a平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a平方根。
（3）如果一种数立方等于a，那么这个数就叫做a 立方根（或a 三次方根）。如果，那么x叫做a立方根。
2、运算名称
（1）求一种正数a平方根运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
（2）求一种数立方根运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a算术平方根，记作“”。
（2）a(a≥0)平方根符号表达为。
（3）一种数a立方根，用表达，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式

4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a平方根是，a算术平方根；正数平方根有两个，它们互为相反数，其中正那个叫它算术平方根；0平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数均有立方根，一种数立方根有且只有一种，并且它符号与被开方数符号相似。正数立方根是正数，负数立方根是负数，0立方根是0。
（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a立方根是。
（3）正数两个平方根互为相反数，两个互为相反数实数立方根也互为相反数。
考点三、实数性质
有理数某些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范畴内依然不变。
1、相反数
（1）实数a相反数是-a；实数与它相反数是一对数（只有符号不同两个数叫做互为相反数，零相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数两个数所相应点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
（1）要对的理解绝对值几何意义，它表达是数轴上点到数轴原点距离，数轴分为正负两半，那么不论如何总有两个数字相等正负两个数到原点距离相等。|a|≥0。
（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零绝对值是它自身。

（3）

3、倒数
（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a倒数是1/a（a≠0）
（2）倒数等于自身数是1和-1。零没有倒数。
考点四、实数三个非负性及性质
1、在实数范畴内，正数和零统称为非负数。
2、非负数有三种形式
（1）任何一种实数a绝对值是非负数，即|a|≥0；
（2）任何一种实数a平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数算术平方根是非负数，即 ()。
3、非负数具备如下性质
（1）非负数有最小值零；
（2）非负数之和仍是非负数；
（3）几种非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小比较
实数大小比较法则跟有理数大小比较法则相似：
（1）正数不不大于0，0不不大于负数，正数不不大于一切负数，两个负数比较，绝对值大反而小；
（2）实数和数轴上点一一相应，在数轴上表达两个数，右边数总比左边数大；
（3）两个数比较大小常用办法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平办法。
（4）对于某些带根号无理数，咱们可以通过比较它们平方或者立方大小。惯用有理数来预计无理数大体范畴，要想对的估算需记熟0～20之间整数平方和0～10之间整数立方．
考点六、实数运算
（1）在实数范畴内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算
（2）有理数运算法则和运算律在实数范畴内依然成立
（3）实数混合运算运算顺序与有理数运算顺序基本相似，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。
（4）在实数运算中，当遇到无理数时，并且需规定成果近似值时，可以按照所规定精准度用相应近似有限小数去代替无理数，再进行计算。
6.1平方根同步练习（1）
知识点：
1.算术平方根：普通地，如果一种正数平方等于a，那么这个正数叫做a算术平方根。A叫做被开方数。
1． 平方根：如果一种数平方等于a，那么这个数叫做a平方根
2． 平方根性质：正数有两个平方根，互为相反数
0平方根是0
负数没有平方根
同步练习：
一、基本训练
1．9算术平方根是（ ） A．-3 B．3 C．±3 D．81
2．下列计算不对的是（ ）
A．=±2 B．=9 C．=0.4 D．=-6
3．下列说法中不对的是（ ）
A．9算术平方根是3 B．平方根是±2
C．27立方根是±3 D．立方根等于-1实数是-1
4．平方根是（ ） A．±8 B．±4 C．±2 D．±
5．-平方立方根是（ ）A．4 B． C．- D．
6．平方根是_______；9立方根是_______．
7．用计算器计算：≈_______．≈_______（保存4个有效数字）
8．求下列各数平方根．
（1）100；（2）0；（3）；（4）1；（5）1；（6）0．09．

9．计算： （1）-；（2）；（3）；（4）±．

二、能力训练
10．一种自然数算术平方根是x，则它背面一种数算术平方根是（ ）
A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．
11．若2m-4与3m-1是同一种数平方根，则m值是（ ）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
12．已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy值是（ ）
A．4 B．-4 C． D．-
13．若一种偶数立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．
14．将半径为12cm铁球熔化，重新锻造出8个半径相似小铁球，不计损耗，小铁球半径是多少厘米？（球体积公式为V=R3）

三、综合训练
15．运用平方根、立方根来解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；

（3）x3-2=0； （4）（x+3）3=4．
平方根第2学时

要点感知1 普通地,如果一种数平方等于a,那么这个数叫做a__________或__________,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a__________.
预习练习1-1 (·梅州)4平方根是__________.
1-2 36平方根是__________，-4是__________一种平方根.
要点感知2 求一种数a平方根运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.正数有__________个平方根,它们__________；0平方根是__________；负数__________.
预习练习2-1 下列各数：0，(-2)2，-22，-(-5)中,没有平方根是__________.
2-2 下列各数与否有平方根？若有，求出它平方根；若没有，请阐明为什么？
(1)(-3)2； (2)-42； (3)-（a2+1）.
要点感知3 正数a算术平方根可以用表达；正数a负平方根可以用表达__________,正数a平方根可以用表达__________,读作“__________”.
预习练习3-1 计算：±=__________，-=__________，=__________.

知识点1 平方根
1.6平方根是( ) A.4 B.±4 C.8 D.±8
2.下面说法中不对的是( )
A.6是36平方根 B.-6是36平方根 C.36平方根是±6 D.36平方根是6
3.下列说法对的是( )
A.任何非负数均有两个平方根 B.一种正数平方根依然是正数
C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根
4.填表：
a
2
-2

a2

81
225

5.求下列各数平方根：
(1)100； (2)0.008 1； (3).
知识点2 平方根与算术平方根关系
6.下列说法不对的是( )
A.21平方根是± B.平方根是
C.0.01算术平方根是0.1 D.-5是25一种平方根
7.若正方形边长为a,面积为S,则( )
A.S平方根是a B.a是S算术平方根 C.a=± D.S=
8.求下列各数平方根与算术平方根：
(1)(-5)2； (2)0； (3)-2； (4).

9.已知25x2-144=0，且x是正数，求2值.

10.下列说法对的是( )
A.由于3平方等于9，因此9平方根为3
B.由于-3平方等于9，因此9平方根为-3
C.由于(-3)2中有-3，因此(-3)2没有平方根
D.由于-9是负数，因此-9没有平方根
11.|-9|平方根是( )
A.81 B.±3 C.3 D.-3
12.计算：=__________,-=__________,±=__________.
13.若8是m一种平方根，则m另一种平方根为__________.
14.求下列各式值：
(1)； (2)-； (3)±.

15.求下列各式中x：
(1)9x2-25=0； (2)4(2x-1)2=36.

16. 在物理学中，电流做功功率P=I2R，试用含P，R式子表达I，并求当P=25、R=4时，I值.

17.(1)一种非负数平方根是2a-1和a-5，这个非负数是多少？

(2)已知a-1和5-2a是m平方根，求a与m值.

挑战自我
18.已知2a-1平方根是±3,3a+b-1平方根是±4,求a+2b平方根.

6.2 立方根

要点感知1 普通地,如果一种数立方等于a,那么这个数叫做a__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________立方根.
预习练习1-1 -8立方根是( ) A.-2 B.±2 C.2 D.-
1-2 -64立方根是__________,-是__________立方根.
要点感知2 求一种数立方根运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数立方根是__________；负数立方根是__________；0立方根是__________.
预习练习2-1 下列说法对的是( )
A.如果一种数立方根是这个数自身，那么这个数一定是0
B.一种数立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根
D.一种不为零数立方根和这个数同号，0立方根是0
要点感知3 一种数a立方根可以用表达,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数.
预习练习3-1 计算：=__________.

知识点1 立方根
1.立方根是( )A.-1 B.0 C.1 D.±1
2.若一种数立方根是-3,则该数为( )A.- B.-27 C.± D.±27
3.下列判断：①一种数立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15立方根是；④任何有理数均有立方根，它不是正数就是负数.其中对的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.立方根等于自身数为__________.
5.平方根是__________.
6.若x-1是125立方根，则x-7立方根是__________.
7.求下列各数立方根：
(1)0.216； (2)0； (3)-2； (4)-5.
8.求下列各式值：
(1)； (2)； (3)-.
知识点2 用计算器求立方根
9.用计算器计算值约为( )
A.3.049 B.3.050 C.3.051 D.3.052
10.预计96立方根大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
11.计算：≈__________(精准到百分位).
12.已知=1.038,=2.237,=4.820,则=__________,=__________.
13.(1)填表：
a
0.000 001
0.001
1
1 000
1 000 000

(2)由上表你发现了什么规律?请用语言论述这个规律：______________________________.
(3)依照你发现规律填空：
①已知=1.442,则=__________,=__________；
②已知=0.076 96,则=__________.

14.下列说法对的是( )
A.一种数立方根有两个，它们互为相反数 B.一种数立方根比这个数平方根小
C.如果一种数有立方根，那么它一定有平方根 D.与互为相反数
15.计算对的成果是( ) A.7 B.-7 C.±7 D.无意义
16.正方体A体积是正方体B体积27倍，那么正方体A棱长是正方体B棱长( ) A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍
17.-27立方根与平方根之和是__________.
18.计算：-=__________，=__________.
19.已知2x+1平方根是±5，则5x+4立方根是__________.
20.求下列各式值：
(1)； (2)- (3)-+； (4)-+.
21.比较下列各数大小：(1)与； (2)-与-3.4.

22.求下列各式中x： (1)8x3+125=0； (2)(x+3)3+27=0.

23.若与(b-27)2互为相反数，求-立方根.

挑战自我
24.请先观测下列等式：
=2，
=3，
=4，
…
(1)请再举两个类似例子；

(2)通过观测,写出满足上述各式规则普通公式.

6.3 实数
第1学时 实数

要点感知1 无限__________小数叫做无理数,__________和__________统称为实数.
预习练习1-1 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数，对的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.③④
1-2 实数-2，0.3，17，2，-π中，无理数个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
要点感知2 实数可以按照定义和正负性两个原则分类如下：

预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5，，其中为无理数是( )
A.-1 B.0 C.0.5 D.
要点感知3 __________和数轴上点是一一相应，反过来，数轴上每一种点必然表达一种__________.
预习练习3-1 和数轴上点一一相应是( )A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
3-2 如图，在数轴上点A表达数也许是( ）A.1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6

知识点1 实数关于概念
1.下列各数中是无理数是( )A. B.-2 C.0 D.
2.(·安顺)下列各数中，3.141 59，-，0.131 131 113…，-π，，-，无理数个数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.写出一种比-2大负无理数__________.
知识点2 实数分类
4.下列说法对的是( )
A.实数涉及有理数、无理数和零 B.有理数涉及正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数
5.实数可分为正实数，零和__________.正实数又可分为__________和__________，负实数又可分为__________和__________.
6.把下列各数填在相应表达集合大括号内.
-6，π，-，-|-3|，，-0.4，1.6，，0，1.101 001 000 1…
整数：{ ,…}，
负分数：{ ,…}，
无理数：{ ,…}.
知识点3 实数与数轴上点一一相应
7.下列结论对的是( )
A.数轴上任一点都表达唯一有理数 B.数轴上任一点都表达唯一无理数
C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间尚有无数个点
8.若将三个数-，，表达在数轴上，其中能被如图所示墨迹覆盖数是__________.

9.如图,直径为1个单位长度圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上一点由原点到达点O′,点O′所相应数值是__________.

10.下列实数是无理数是( ) A.-2 B. C. D.
11.下列各数：，0，，，，0.303 003…(相邻两个3之间多一种0)，1-中，无理数个数为( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
12.有下列说法：①带根号数是无理数；②不带根号数一定是有理数；③负数没有立方根；④-是17平方根.其中对的有( )A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
13.若a为实数，则下列式子中一定是负数是( )A.-a2 B.-(a+1)2 C.- D.-(a2+1)
14.如图,在数轴上表达实数点也许是( ) A.点P B.点Q C.点M D.点N
15. 下列说法中,对的是( )
A.，，都是无理数
B.无理数涉及正无理数、负无理数和零
C.实数分为正实数和负实数两类
D.绝对值最小实数是0
16. 有一种数值转换器,原理如下：当输入x为64时,输出y是( )
A.8 B. C. D.
17.在下列各数中,选取适当数填入相应集合中.
-，，，3.14，-，0，-5.123 45…，，-.
有理数集合：{ ,…}
无理数集合：{ ,…}
正实数集合：{ ,…}
负实数集合：{ ,…}
18.有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数个数为x,整数个数为y,非负数个数为z,求x+y+z值.

挑战自我
19.小明懂得了是无理数,那么在数轴上与否能找到距原点距离为点呢？小颖在数轴上用尺规作图办法作出了在数轴上到原点距离等于点,如图.小颖作图阐明了什么？

第2学时 实数运算

要点感知1 实数a相反数是__________；一种正实数绝对值是它__________；一种负实数绝对值是它__________；0绝对值是__________.即：|a|=
预习练习1-1 相反数是( ) A. B. C.- D.-
1-2 -绝对值是( ) A. B.- C. D.-
要点感知2 正实数__________0,负实数__________0.两个负实数,绝对值大实数______
预习练习2-1 在实数0，-，，-2中，最小是( ) A.-2 B.- C.0 D.
要点感知3 实数之间不但可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,并且__________可以进行开平方运算,__________可以进行开立方运算.
预习练习3-1 计算+(-)成果是( )A.4 B.0 C.8 D.12

知识点1 实数性质
1.-倒数是( )A. B. C.- D.-
2.无理数-绝对值是( )A.- B. C. D.-
3.下列各组数中互为相反数一组是( )
A.-|-2|与 B.-4与- C.-与|| D.-与
知识点2 实数大小比较
4.(在-3，0，4，这四个数中，最大数是( ）A.-3 B.0 C.4 D.
5.如图，在数轴上点A，B相应实数分别为a，b，则有( ）
A.a+b>0 B.a-b>0 C.ab>0 D.>0

6.若=-a，则实数a在数轴上相应点一定在( )
A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
7.比较大小：(1)__________；(2)-5__________-；(3)3__________2
8.计算：3-=( ) A.3 B. C.2 D.4
9.)计算：|-3|-=__________.
10.-相反数是__________，绝对值是__________.
11.计算：
（1）(2+)+|-2|； （2）+-； （3）-|-|+2+3.

12.计算：
(1)π-+(精准到0.01)； (2)|-|+0.9(保存两位小数).

13.-相反数是( )
A.3 B.-3 C. D.-
14.若|a|=a，则实数a在数轴上相应点一定在( )
A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧
15.比较2，，大小，对的是( )
A.2<< B.2<< C.<2< D.<<2
16.如图，数轴上点A，B分别相应实数a，b,下列结论对的是( )

A.a>b B.|a|>|b| C.-a<b D.a+b<0