高三立体几何习题(含答案).doc

高三立体几何习题
一、 填空题
1.已知是球的一条直径，点是上一点，若，平面过点且垂直，截得圆，当圆的面积为时，则球的表面积是 ．
【答案】
2.把一个大金属球表面涂漆，共需油漆公斤．若把这个大金属球熔化制成64个大小都相同的小金属球， 不计损耗，将这些小金属球表面都涂漆，需要用漆 公斤．
【答案】
3.已知球的表面积为64，用一个平面截球，使截面圆的半径为2，则截面与球心的距离是
【答案】
4.一个圆锥与一个球体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 ．
【答案】
5.一个底面置于水平面上的圆锥，若主视图是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为 ．
【答案】

6.如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面所成的二面角的大小为 ．
【答案】
P
S
A
Q
O
B

二、选择题
1.如图，已知圆锥的底面半径为，点为半圆弧的中点，
点为母线的中点．若与所成角为，则此圆锥的
全面积与体积分别为（　　）
A． B．
C． D．

【答案】

2.如图，取一个底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为的半球放在同一水平面上．用一平行于平面的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）．设截面面积分别为S圆和S圆环，那么（ ）
A．S圆＞S圆环 B．S圆＜S圆环 C．S圆=S圆环 D．不确定

3.如图所示，所在平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，，若，则动点
在平面内的轨迹是（ ）
A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分
【答案】D

4.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．若两直线与直线所成的角相等，那么
B．空间不同的三点、、确定一个平面
C. 如果直线平面且平面，那么
A
B
l
C
N
P
O
D．若直线与平面没有公共点，则直线平面
【答案】D

5.如图，已知直线平面，垂足为，在中，，点是边上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)，(2).则的最大值为(　 　)
(A) . (B) . (C) . (D) .
【答案】C

6.平面上存在不同的三点到平面的距离相等且不为零，则平面与平面的位置关系为（ ）
平行 相交 平行或重合 平行或相交
【答案】D

7.表示直线，表示平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B． 若，则
C．若，则 D ．若，则
【答案】D

8.下列命题中，正确的个数是【 】
① 直线上有两个点到平面的距离相等，则这条直线和这个平面平行；
② a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且仅有一个；
③ 直四棱柱是直平行六面体；
④ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥．
A、0 B、1 C、2 D、3
【答案】B

9. 在四棱锥中，，分别为侧棱，的中点，则四面体的体积与四棱锥
的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C

三、解答题
1.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
　 　如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
D1
C1
A1
A
E
D
B1
B
C
O
x
y
z
（1）证明：；
（2）等于何值时，二面角的大小为．

【答案】解：（1）在如图所示的空间直角坐标系中，
设 则…所以……所以……
（2）方法一：设为平面的一个法向量
由，得，所以…
因为二面角的大小为，所以
又，所以，即当时二面角的大小为

2.（本题满分14分）本题共有2小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．
　 　如图，在长方体中，，，点在棱上移动．
D1
C1
A1
A
E
D
B1
B
C
（1）当为的中点时，求四面体的体积；
（2）证明：．

【答案】解：（1）…
因为，所以…
（2）正方形中，……
因为，所以…所以…所以……

3.三棱柱中，它的体积是，底面中，，,在底面的射影是，且为的中点．
（1）求侧棱与底面所成角的大小；(7分)
（2）求异面直线与所成角的大小．(6分)

【答案】解：（1）依题意，面，就是侧棱与底面所成的角 2分
4分
5分
计算，， 7分
（2）取的中点，连，
则（或其补角）为所求的异面直线的角的大小 9分
面，‖，面‖面面，
11分
12分
所求异面直线与所成的角 13分

4.在如图所示的几何体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形，
且，平面平面，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

【答案】解：（1）如图，设与的交点为，连接．
易知点是的中点，又为的中点，故．…4分
于是，由平面，得平面．……………6分
（2）如图，以点为原点，分别以为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则．
易知为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量．
则，令，得．…………………10分
设平面与平面所成的锐二面角为，则，…………………12分
故平面与平面所成的锐二面角的大小为．………………………………………14分

5.(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分.
在如图所示的直四棱柱中，底面是边长为2的
菱形，且
（1）求直四棱柱的体积；
（2）求异面直线所成角的大小．

【答案】解：（1）因菱形ABCD的面积为 ……2分
故直四棱柱的体积为： ……6分
（2）连接，易知，故等于异面直线所成角. ……8分
由已知，可得 ……10分
则在中，由余弦定理，得 ……12分
故异面直线所成角的大小为 ……14分

6.（本题满分12分）本题共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
在长方体中，，，过三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体.
（1）若的中点为，求求异面直线与所成角的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点到平面的距离．

【答案】解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，
可得点、、、、．　　　　　
由是中点，可得.
于是，．　
设异面直线与所成的角为，
则

．
因此，异面直线与所成的角为．
(2)设是平面的法向量． ∴
又，∴　取，
可得即平面的一个法向量是． ∴．

7.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在长方体中，，，过、、三点的平面截去长方体的
一个角后，得到如下所示的几何体．
（1）求几何体的体积，并画出该几何体的左视图(平行主视图投影所在的平面)；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【答案】解： ，，

左视图如右图所示． 　
(2)依据题意，有，即．
∴就是异面直线与所成的角．
　又，∴．∴异面直线与所成的角是．
8. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
如图，在直三棱柱中，已知，⊥．
（1）求四棱锥的体积；
（2）求二面角的大小．

【答案】解：（1）因为⊥，三棱柱是直三棱柱，所以，
从而是四棱锥的高. ……………………………………2分
四棱锥的体积为…………………………4分
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），
B1（0，0，2），C1（0，2，2）， …………………………………………………6分
设AC的中点为M，
是平面A1C1C的一个法向量．
设平面A1B1C的一个法向量是， …8分

令z=1，解得x=0，y=1．， …………………………………………9分
设法向量与的夹角为，二面角B1—A1C—C1的大小为，显然为锐角．

………………………………………………12分

9. (本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分．
如图，在正三棱柱中，已知， 三棱柱的体积为．
（1）求正三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小.

【答案】解：（1）因为三棱柱的体积为，，
从而， 因此. ………………………2分
该三棱柱的表面积为. ………4分
（2）由（1）可知
因为//.所以为异面直线与所成的角， ………8分
在Rt中，， 所以=.
异面直线与所成的角 ……………………………………………12分

P
S
A
Q
O
B
10.如图，已知圆锥的底面半径为，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点．若直线与所成的角为，求此圆锥的表面积．

P
S
A
Q
O
B
M
【答案】解：取OA的中点M,连接PM,又点P为母线的中点
所以，故为与所成的角．………………………2分
在中，，，………………………4分
由点Q为半圆弧的中点知 ，
在中，
故，所以，． ………………………8分
所以，………………10分
．…………………………………12分

11.（本大题共有2个小题，满分14分）第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
如图，在四棱锥中，底面正方形为边长为2，底面，
为的中点，与平面所成的角为．
（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求点到平面的距离．

【答案】解：方法１,（1）因为底面为边长为的正方形，底面,
则 平面，所以就是与平面所成的角．………………2分
P
A
B
C
D
E
M
N
在中，由，得，…………………………3分
在中，．分别取、的中点、，联结、、，
则异面直线与所成角或补角．……………4分
在中，，，，
由余弦定理得，，
所以，………6分 即异面直线与所成角的大小为．……7分
（2）设点到平面的距离为，因为，…………………………9分
所以，，得．……………………………14分
P
A
B
C
D
E
x
y
z
方法２，（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，同方法１，得，……………3分
则有关点的坐标分别为，，，．………………5分
所以，．设为异面直线与所成角，
则，所以，，
即异面直线与所成角的大小为．…………………………………7分
（2）因为，，，设，
则由，………………………………………………11分
可得，所以．……………………………………14分

12.（本题共有2个小题，满分14分）；第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分.
P
A
B
C
D
如图，在四棱锥中，底面为边长为的正方形，
底面, ．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．
【答案】解：（1）联结与交于点，取的中点，联结，则，
所以为异面直线与所成角或补角．……………………2分
在中，由已知条件得，，，，…………5分
N
P
A
B
C
D
M
所以，，所以异面直与所成角为．…7分
（或用线面垂直求异面直线与所成角的大小）
（2）设点到平面的距离为，因为，……………9分
所以，，
得．（或在中求解）………14分

13.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
在正方体中，是棱的中点．
（1）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面，
若存在，指明点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）以为坐标原点，以射线分别为轴，建立空间
直角坐标系，如图所示.不妨设正方体的棱长为（），
则，于是 3分
根据正方体的性质，可知,故的一个法向量且= 4分
设直线与平面所成的较为，则 5分
所以，故直线与平面所成的角的大小为. 6分
（2） 假设在棱上是存在一点,使得,设（其中）
8分
根据（1）可知， 9分
设平面的一个法向量，则，即， 10分
取，则，由于直线,所以 11分
即，化简得，解得 12分
故在棱上是存在一点，使得,且点是棱的中点. 14分

14.在正方体中，E是棱的中点．
求直线BE与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；

【答案】解：设正方体的棱长为，根据正方体的性质可得：
四棱锥的底面积，高 2分
，解得 5分
因为,所以即为异面直线与所成角
或其补角， 8分
在中，,由余弦定理可得
，即 11分
所以异面直线与所成的较的大小为. 12分

15.(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，在中，，斜边，是的中点．现将
以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

【答案】解：（1）在中，，即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积………………..4’
故圆锥的全面积……………….6’
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系．则
B
C
D
A
O
z
x
y
………………..8’
设与所成角为，则………………..10’
异面直线与所成角为………………..12’
解法二：过作交于，连
则为异面直线与所成角………………..8’

在中，
是的中点 是的中点
在中，，………………..10’
，即异面直线与所成角的大小为……………….12’

16.在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点.
（1）试确定点的位置，使得平面;
（2）当平面时，求二面角的大小（结果用反三角函数表示）.

【答案】解：（1）如图建系，设 1分
则 2分
, 3分
4分
由 5分
6分
，即为中点时。 7分
（2）解一：连接，交于点，连接

；
14分
解二：设平面 的法向量为设平面 的法向量为

经观察

17.
如图，四棱锥中，底面是矩形，面，直线与直线所成角大小为求直线与直线所成角的大小.
【答案】解：是直线与直线所成角
连接，交于点，取中点，连接，则
为直线与直线所成角 5分
连接，在中,

直线与直线所成角的大小为 12分

18.
如图，是圆柱体的一条母线，已知过底面圆的圆心，是圆上
不与点重合的任意一点，，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）将四面体绕母线旋转一周，求的三边在旋转过程中所围成的
几何体的体积．

【答案】解：（1） ………………5分 （2） ……………………7分

19.E
P
A
C
D
B
如图，四棱锥的底面为菱形，平面，
，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值．

【答案】解：（1）连结，由已知得△与△都是正三角形，
所以，，， ………………（1分）
因为∥，所以，……………（2分）
又平面，所以，……（4分）
因为，所以平面．…（6分）
（2）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
由（1）知平面的一个法向量为，
又，，，，
所以，，……（2分）
设平面的一个法向量为，由得
取，则，故， …………（4分）
设与的夹角为，则．…………（7分）
所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分）
（2）解法二（图略）
在平面上，过作∥且，连结，则四边形是平行四边形，、即直线是平面与平面的交线．………………（2分）
因为，，所以平面，故，
所以，又，所以就是平面与平面所成二面角的平面角．……（5分）
在△中，，，…………（6分）
． ……………………（7分）
所以，平面与平面所成的锐二面角大小的余弦值为．……（8分）
E
P
A
C
D
B
z
x
y
20.如图，四棱锥的底面为菱形，平面，
，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
E
P
A
C
D
B
F
（2）求三棱锥的体积．

【答案】解：（1）连结，由已知得△与△都是正三角形，
所以，，， ………………（1分）
因为∥，所以，……………（2分）
又平面，所以，……（4分）
因为，所以平面．…（6分）
（2）因为，……（2分）且， …………………………（4分）
所以，． ………………（8分）