高三立体几何复习题.doc

高三立体几何复习
一、选择题
1、已知正方体的棱长为，对于下列结论：
①②所成的角为；
③点与点在该正方体外接球表面上的球面距离为
其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
2、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题
①若，则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、下列命题中，真命题是（ ）
A.若直线m、n都平行于，则
B.设是直二面角，若直线则
C.若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或
D.若直线m、n是异面直线，，则n与相交
4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（ ）
A．π　　　 B. 2π　　　 C.　3π　　 D.

C
B
A
O
5、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A.8cm B.6 cm C.2(1+)cm D.2(1+)c m

6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.
7、给出下列命题： 底面是正多边形的棱锥是正棱锥②侧棱都相等的棱锥是正棱锥侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥其中正确的命题的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8、若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9、已知直线、、和平面、,有下列命题：
①若,,则；②若,,则；③若,则；④若,则.其中正确的命题是( ).
A.①② B.①③ C.②④ D.②
10、已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且，则截面△ABE的面积是（ ）
A． B． C． D．
11、菱形ABCD的边长为，H分别在AB、BC、CD、DA上，且，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（ ）
A. B. C . D.
12、已知棱长为a的正四面体的中截面为M,则其内切球球心O到平面M的距离为( ). A. B. C. D.
13、已知球O半径是1，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离为 则四面体OABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
14、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 （ ）
A．12π B．32π C．36π D．48π
二.填空题
15、如图,为矩形,,,,
且,为中点,为的外心.
沿将矩形折成一个的二面角,
则此时的长是
16、在三棱锥中,平面,,,为棱上的动点,且的最小值为,则三棱锥外接球的体积为 .

17、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点E是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________．

18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的
中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意
点，则直线BM与OP所成的角为 .
19、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面
18题图
角A—BD—C，有如下四个结论：
① AC⊥BD ②△ACD是等边三角形
③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°
其中正确结论的序号是 .（写出所有你认为正确的结论的序号）
三.解答题
20、如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影.（1）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（2）求点O到平面ACD的距离；
20题图

（3）求二面角A—BE—F正切值的大小.
21、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.（1）求证： （2）求二面角E—BD—A的大小；（3）求点E到平面A1BCD1的距离.
22、如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．
（1）证明：AC∥平面PMD；（2）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（3）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小．

A
B
C
D
P
O
M

21题图

22题图
23题图

23、如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为，且，为中点．（1）证明：//平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的正切值．

24、如图，直三棱柱中，，，D、E分别是棱、的中点．求点B到平面的距离；（2）求二面角的大小；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

24题图

高三立体几何复习卷参考答案
一. 选择题
1、已知正方体的棱长为，对于下列结论：①
②所成的角为；③点与点在该正方体外接
球表面上的球面距离为，其中正确结论的个数是( C )
A. B. C. D.
2、已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题
①若，则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是 （ D ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3、下列命题中，真命题是（ C ）
A.若直线m、n都平行于，则B.设是直二面角，若直线则
C.若m、n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且，则或
D.若直线m、n是异面直线，，则n与相交
4、过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是（ A ）A．π　　　　　 B. 2π　　　　 C.　3π　　 　D.

C
B
A
O
5、如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长 是（ A ）
A.8cm B.6 cm
C.2(1+)cm D.2(1+)c m

6、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为（ B ）A. B. C. D.
7、给出下列命题：
底面是正多边形的棱锥是正棱锥 ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥
侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥 ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥
其中正确的命题的个数是（A ）A.0 B.1 C.2 D.3
8、若底面边长为a的正四棱锥的全面积与棱长为a的正方体的全面积相等，那么这个正四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值为（ C ）A．B．C．D．
9、已知直线、、和平面、,有下列命题：①若,,则；②若,,则；③若,则；④若,则.其中正确的命题是( D ).A.①② B.①③ C.②④ D.②
10、已知正四面体ABCD的棱长为a，E为CD上一点，且，则截面△ABE的面积是（ D ）A． B． C． D．
11、菱形ABCD的边长为，H分别在AB、BC、CD、DA
上，且，沿EH与FG把菱形的两个锐角对折起来，使A、C两点重合，这时A点到平面EFGH的距离为（ A ）
A. B. C . D.
12、已知棱长为a的正四面体的中截面为M,则其内切球球心O到平面M的距离 为( C ). A. B. C. D.
13、已知球O半径是1，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离为 则四面体OABC的体积为（ C ） A． B． C． D．
14、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是SC、BC中点，MN⊥AM，若侧棱，则此正三棱锥S—ABC外接球的表面积是 （ C ）
A．12π B．32π C．36π D．48π
二.填空题
15、如图,为矩形,,,,
且,为中点,为的外心.
沿将矩形折成一个的二面角,
则此时的长是
16、在三棱锥中,平面,,,为棱上的动点,且的最小值为,则三棱锥外接球的体积为.

17、已知长方体ABCD—A1B1C1D1的顶点都在直径为3的球面上，AA1=AB=2，点E是DD1的中点，则异面直线A1E与B1D所成角的大小为是__________．

18、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是C1C的
中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意
点，则直线BM与OP所成的角为 .
19、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面
角A—BD—C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； ②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD所成的角为60°④AB与CD所成的角为60°
其中正确结论的序号是 ①、②、④ .（写出所有你认为正确的结论的序号）
三.解答题
20、如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影.
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角A—BE—F正切值的大小.
方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF∥AC.
所以∠BCA是EF与BC所成角. ∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA = 60°.
即EF与BC所成角的大小是60°
（Ⅱ）解法1：如图，连结AO，AF，
因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD.因为BF∩AF = F，
所以CD⊥面AFB.因为CD在ACD，
所以面AFB⊥面ACD.
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD.
即OG的长为点O到面ACD的距离.
因为正四面体ABCD的棱长为1,

在△ABF中,容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，
因为△AOF∽△OGF，
故由相似比易求出OG =
所以点O到平面ACD的距离是
解法2：如图，连结AO，CO，DO，
所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥
O—ACD底面ACD上的高h.
与解法1同理容易求出OF=，AO = ，
所以VA—COD =
因为VO—ACD = VA—COD，

所以= VO—ACD =
解得
（Ⅲ）设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结

CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD.
设HD的中点为K，则FK∥CH。
所以FK⊥面ABD.
在面ABD内，过点K作KN∥AD，
KN交BE于M，交AB于N，
因为BE⊥AD，所以NM⊥BE.连结FM，所以FM⊥BE所以∠NMF是所求二面角的平面角.因为FK = CH = .MK = ED = AD = ，
所以
21、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AD=DC=3，DD1=4，E是A1A的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角E—BD—A的大小；
（Ⅲ）求点E到平面A1BCD1的距离.
解法一：

（I）连结AC交BD于点O，则O是AC的中点. 连结EO.
有A1C∥EO.
∵EO平面BED，A1C平面BED，
∴A1C∥平面BED.
（II）∵AC⊥BD于O，
又∵E是AA的中点，∴EB=ED.
∴EO⊥BD.
∴∠EOA是二面角E—BD—A的平面角.
在Rt△EAO中，EA=AA1=2，AO=AC=
∴tAnEOA=
二面角E—BD—A的大小是
（III）过点E作EF⊥A1B于F.
∵A1D1⊥平面A1B1BA，EF平面A1B1BA，
∴A1D1⊥EF且A1B∩A1D1=A1.
∴EF⊥平面A1BCD1. 则EF的长是点E到平面A1BCD1的距离.
∵且A1E=2，A1B=5，AB=3，
∴EF=即点E到平面A1BCD1的距离是
22、如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA．
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小．
（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM．
∵EO∥PB，EO＝PB，MA∥PB，MA＝PB，
∴EO∥MA，且EO＝MA．
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC．
又∵AC平面PMD，MEÌ平面PMD，
∴AC∥平面PMD．
（Ⅱ）解法一：如图1，PB^平面ABCD，CDÌ平面ABCD，∴CD^PB．
又∵CD^BC，∴CD^平面PBC．
∵CDÌ平面PCD，∴平面PBC^平面PCD．
过B作BF^PC于F，则BF^平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴ÐBDF是直线BD与平面PDC所成的角．
不妨设AB＝2，则在Rt△PBC中，PB＝BC＝2，BF^PC，∴BF＝PC＝．
∵BD＝2．∴在Rt△BFD中，BF＝BD，∴ÐBDF＝．
∴直线BD与平面PCD所成的角是．

x
A
B
C
D
P
M
y
z
图2
解法二：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(2，0，0)，P(0，2，2)．
∴＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)．＝(2，－2，0)
设n＝(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，
则n^，n^．
∴即
令z＝1，
则n＝(1，0，1)是平面PCD的一个法向量．
过B作BF^平面PCD，垂足为F，连DF，
则DF为BD在平面PCD上的射影．
A
B
C
D
P
M
G
N
图3
∴ÐBDF是直线BD与平面PCD所成的角．…
则sinÐBDF＝|cos＜，n＞|
＝＝．∴ÐBDF＝．
∴直线BD与平面PCD所成的角是．
（Ⅲ）解：如图3，分别延长PM，BA，
设PM∩BA＝G，连DG，
则平面PMD∩平面ABCD＝DG．
不妨设AB＝2，
∵MA∥PB，PB＝2MA，∴GA＝AB＝2．
过A作AN^DG于N，连MN．
∵PB^平面ABCD，
∴MA^平面ABCD，∴MN^DG．∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角（锐角）．在Rt△MAN中，
tanÐMNA＝＝．∴ÐMNA＝arctan．
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）大小是arctan．
21、如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为，且，为中点．
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．
证明：连结BD交AC于点O，连结EO．
O为BD中点，E为PD中点，
∴EO//PB．
EO平面AEC，PB平面AEC，
∴ PB//平面AEC．
（Ⅱ）证明：P点在平面ABCD内的射影为A，
∴PA⊥平面ABCD．
平面ABCD，∴．
又在正方形ABCD中且， ∴CD平面PAD．
又平面PCD，∴平面平面．
（Ⅲ）

解法1：取AD中点L，过L作LKAC于K，连接EK、EL,
L为AD中点，∴ EL//PA，∴ EL平面ABCD，
∴ LK为EK在平面ABCD内的射影．
又LKAC, ∴ EKAC,
∴为二面角E—AC—D的平面角．
在RtADC中，LKAC，
∴∽,
∴,即，∴ ，
在Rt中，，
∴二面角E—AC—D的正切值为．

解法2：如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．
PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）．
设平面AEC的法向量为, ,
则 即
∴
∴ 令,则.
∴, ∴．
∴二面角E—AC—D的正切值为．
24、如图，直三棱柱中，，，D、E分别是棱、的中点．
（1）求点B到平面的距离；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．

19．（本小题满分12分）解一（综合几何法，A版本）
（1）∵是直三棱柱， ∴ 底面ABC
∴
∵ ， ∴平面
∵BC=2 ∴ 点B到平面的距离为2
（2）分别延长、交于点G，过C作于M，连结BM
∵平面， ∴ CM为BM在平面内的射影，
∴ 为二面角的平面角
在平面中，∵ ，D为的中点
∴ ，，在直角中，
∴ ，即二面角的大小为分
（3）在线段AC上存在一点F，使得EF⊥平面，其位置为AC的中点
证明如下：
∵是直三棱柱， ∴∥
由（1），知平面， ∴⊥平面，
∴ EF在平面内的射影为
∵ F为AC的中点 ∴ ∴ 同理可证 ∴平面
∵ E为定点，平面为定平面 ∴点F唯一
解二（向量法，B版本）

（1）同解一
（2）在直三棱柱中，，分别以向量、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由， D、E分别是棱、的中点，得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），（0，0，2），（2，0，2），
（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2）
∴ ，0，1），，2，2），设平面的一个法向量为，则
即
解得，，即，，2）
又 平面的一个法向量为（1，0，0）
∴ ＜，＞=，即二面角的大小为
（3）由F是线段AC的中点，得F（0，1，0），则=（1，，2），
∵ ，，2），=
∴ ∥， 又，，2）为平面的一个法向量，
所以 ⊥平面，即 EF⊥平面．

16