立体几何高三复习题1.doc

惠东中学高考复习-立体几何篇1在四棱锥中，平面，为 的中点，()求四棱锥的体积；()若为的中点，求证：平面平面；()求二面角的大小2.如图，在等腰梯形中， 为边上一点，且将沿折起，使平面平面()求证：平面；() 若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值() 试问：在侧棱上是否存在一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比 ？若存在，请求的长；若不存在，请说明理由. 3APBCDEF如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1（）求证：PABC；（）试在PC上确定一点G，使平面ABG平面DEF；（）在满足（）的情况下，求二面角G-AB-C的平面角的正切值4如图某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形， ，点、及、共线（）沿图中虚线将它们折叠起来，使、四点重合为点，请画出其直观图；（）求二面角的大小；（）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？5如图，是直角梯形，90，1，2，又1，120，直线与直线所成的角为60.（）求证：平面平面;（）求二面角的正切值;（）求三棱锥的体积.图46.在长方体中，过、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体，且这个几何体的体积为。（1）求棱的长；（2）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由。7.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点若，（）求证：平面；（） 求点到平面的距离；（）求直线平面所成角的正弦值8（本小题满分14分）如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为 （1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求二面角的正切值； （3）求点到平面的距离9、（本小题满分14分） 如图，己知BCD中，BCD = 900，BCCD1，AB平面BCD，ADB600，E、F分别是AC、AD上的动点，且 （1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面ABC： （2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60，求的值10如图一，平面四边形关于直线对称，BCDA图2把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于对于图二，完成以下各小题：（）求两点间的距离；（）证明：平面；CBDA图1（）求直线与平面所成角的正弦值立体几何答案1.解：（）在中，1分在中，2分4分则5分（）平面，6分又，平面7分 、分别为、中点， 8分平面9分平面，平面平面10分（）取的中点，连结，则，平面，过作于，连接，则为二面角的平面角。12分为的中点，又，故即三面角的大小为14分2证明：（）依题意知，又又平面平面，平面平面， 平面4分() 如图,把四棱锥补成一个长方体，其中分别为所在棱的中点,则易得，所以就是异面直线和所成的角6分连结，在中， 在中，在中，由余弦定理可得：8分所以异面直线和所成的角的余弦值为9分() 解：假设在侧棱上存在一点，满足条件11分又由知平面，又设到平面的距离为，则12分又，故14分另解：()由知平面，如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为故设是平面的一个法向量，由可得由可得，又因为是平面的一个法向量，所以平面平面4分 ()由()知的中点的坐标为故又所以异面直线和所成的角的余弦值为14分3（本小题满分14分）解：() 在PAC中，PA=3，AC=4，PC=5， ，；1分 又AB=4，PB=5，在PAB中， 同理可得 2分 ，3分 平面ABC，PABC. 4分() 如图所示取PC的中点G，5分连结AG，BG，PF:FC=3:1,F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点，AGEF，BGFD，又AGGB=G，EFFD=F7分 面ABG面DEF 即PC上的中点G为所求的点 9分()由()知G这PC的中点，连结GE，GE平面ABC，过E作EHAB于H，连结GH，则GHAB，EHG为二面角G-AB-C的平面角 11分 又 又 13分 二面角G-AB-C的平面角的正切值为 14分 4解：（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥5分（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）（2）由（1）得，得，而，6分8分又在中，故二面角的平面角为10分（3）由题意，则，5（），又（4分）（）取的中点，则，连结，从而作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，从而为二面角的平面角直线与直线所成的角为在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角的正切值为（10分）（）由（）知，为正方形（13分）6. 以下给出两种证明方法：方法1：过点作的垂线交于点，过点作 交于点，平面平面，平面平面， 在矩形中，即，即，在中，由余弦定理，得在线段上存在点,使直线与垂直，且线段的长为 方法2：以点为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知， 假设在线段上存在点2，0使直线与垂直，过点作交于点 由，得， ，即， 此时点的坐标为，在线段上，在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为7. 解法一： （I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，则 F G . 2分= 又由已知有四边形AEGF是平行四边形. 4分 平面PCE，EG5分 （II）3分.5分 （III）由（II）知直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.4分8.(本小题满分14分)（1）设正三棱柱的侧棱长为. 取中点，连结.是正三角形，. 2分又底面侧面,且交线为,侧面. 连结，则直线与侧面所成的角为在中，解得. 4分（2）过作于，连结，侧面，.为二面角的平面角.在中，6分又，,又8分在中，.故二面角的正切值为3. 9分（3） 由（2）可知，平面，平面平面，且交线为，过作于，则平面.在中， 12分为中点，点到平面的距离为. 14分（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）9、（1）证明：因为AB平面ABCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB，所以，CD平面ABC，3分又在ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且所以，EFCD，总有EF平面ABC：EF平面BEF，所以，不论为何值，总有平面BEF平面ABC6分（2）解：作BQCD，则BQ平面ABC，所以，BQBC，BQBE，又BQ与CD、EF共面，所以，平面BEF平面BCDBQ，所以，CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60，所以，cos60，所以，2BMBE9分又，所以，1，在ABC内作EMBC交BC于M，由1，又在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD，又在RtABD中，AD B= 600，所以，AB，所以，EM（1）又，且BC1，所以，BM由得：426（1）222420，2或2（舍去）2。14分故当若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60时，10.解：（）取的中点，连接，由，得： 就是二面角的平面角， 2分在中， 4 分 （）由， 6分， 又平面 8分（）方法一：由（）知平面平面平面平面 10分平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角， 12分 14分方法二：设点到平面的距离为， 10分 12分于是与平面所成角的正弦为 14分方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系。