立体几何高三复习题1.doc

惠东中学高考复习------------立体几何篇

1．在四棱锥中，，
，平面，为
的中点，．
(Ⅰ)求四棱锥的体积；
(Ⅱ)若为的中点，求证：平面平面；
(Ⅲ)求二面角的大小．

2.如图，在等腰梯形中， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．
(Ⅰ)求证：⊥平面；
(Ⅱ) 若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值．
(Ⅲ) 试问：在侧棱上是否存在一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比 ？若存在，请求的长；若不存在，请说明理由.

3．A
P
B
C
D
E

F
如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为PC上的一点，且PF:FC=3:1．
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）试在PC上确定一点G，使平面ABG∥平面DEF；
（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下，求二面角G-AB-C的
平面角的正切值．

4．如图某一几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，， ，点、、、及、、、共线．
（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使、、、四点重合为点，请画出其直观图；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体？

5．如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的正切值;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

图4
6.在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体，且这个几何体的体积为。
（1）求棱的长；
（2）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由。

7.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．
（Ⅰ）求证：平面；
Ⅱ） 求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

8．（本小题满分14分）
如图，已知正三棱柱的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角的正切值；
（3）求点到平面的距离．

9、（本小题满分14分）
如图，己知∆BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝600，E、F分别是AC、AD上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC：
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求的值．

10．如图一，平面四边形关于直线对称，．
B
C
D
A
图2
把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求两点间的距离；
（Ⅱ）证明：平面；
C
B
D
A
图1
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

立体几何答案
1.解：（Ⅰ）在中，，，∴，……1分
在中，，，∴，…………2分
∴…………4分
则…………………………………………5分
（Ⅱ）∵平面，∴…………………………6分
又，，
∴平面………………………7分
∵、分别为、中点，
∴………………………8分
∴平面………………………9分
∵平面，∴平面平面………………………10分
（Ⅲ）取的中点，连结，则，
∴平面，过作于，
连接，则为二面角的平面角。…………………………12分
∵为的中点，，，
∴，又，
∴，故
即三面角的大小为…………………………14分

2证明：（Ⅰ）依题意知，
又∥
又∵平面⊥平面，平面平面， 平面…………………4分
(Ⅱ) 如图,把四棱锥补成一个长方体，其中分别为
所在棱的中点,则易得∥，∥，所以就
是异面直线和所成的角…………6分
连结，在中，
在中，
在中，，
由余弦定理可得：
……………8分
所以异面直线和所成的角的余弦值为．…………9分
(Ⅲ) 解：假设在侧棱上存在一点，满足条件
∵
∴………………11分
又由知平面，又
．
设到平面的距离为，则
……………………12分
又，故……………………14分
另解：
(Ⅰ)由知平面，如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则易得各点的坐标为故．设
是平面的一个法向量，由可得
由可得，，
又因为是平面的一个法向量，
所以平面⊥平面……………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知的中点的坐标为故又

所以异面直线和所成的角的余弦值为．……………14分

3．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 在△PAC中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴，∴；……1分
又AB=4，PB=5，∴在△PAB中，
同理可得 …………………………2分
∵，∴……3分
∵平面ABC，∴PA⊥BC. …………4分
(Ⅱ) 如图所示取PC的中点G，…………………5分
连结AG，BG，∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点
又D、E分别为BC、AC的中点，
∴AG∥EF，BG∥FD，又AG∩GB=G，EF∩FD=F……………7分
∴面ABG∥面DEF
即PC上的中点G为所求的点 …………… 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知G这PC的中点，连结GE，∴GE⊥平面ABC，过E作EH⊥AB于H，连结GH，则GH⊥AB，∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角 …………… 11分
∵ 又
∴ 又 …………… 13分
∴
∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为 …………… 14分
4．解：（1）它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥
………………………………………………………5分
（注：评分注意实线、虚线；垂直关系；长度比例等）
（2）由（1）得，，，得
∴，而，
∴……………………………………………………………6分
∴
∴…………………………………8分
又在中，，故
∴二面角的平面角为……………………………………………10分
（3）由题意，，则，
，
5．（Ⅰ）∵
∴，
又∵
∴…………（4分）
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为
∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角的正切值为…………（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形
∴（13分）

6. 以下给出两种证明方法：
方法1：过点作的垂线交于点，过点作
交于点．
∵，，，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴．
在矩形中，∵∽，
∴，即，∴．
∵∽，∴，即，∴．
在中，∵，∴．
由余弦定理，得
．
∴在线段上存在点,使直线与垂直，且线段的长为．
方法2：以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，，，，
假设在线段上存在点≤≤2，，0≤≤
使直线与垂直，过点作交于点．

由∽，得，
∴．
∴．
∴，．
∵，∴，
即，∴．
此时点的坐标为，在线段上．
∵，∴．
∴在线段上存在点，使直线与垂直，且线段的长为．
7. 解法一：

（I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，
则 F G . …2分
=
=
又由已知有
∴四边形AEGF是平行四边形.

…4分
平面PCE，EG
…………5分
（II）

…………3分

. …………5分
（III）由（II）知

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为. …………4分

8.(本小题满分14分)
（1）设正三棱柱的侧棱长为. 取中点，连结.
∵△是正三角形，∴. ．．．．．．．．．．．2分
又底面侧面,且交线为,
∴侧面. 连结，
则直线与侧面所成的角为
在中，，解得. …………………4分
（2）过作于，连结，∵侧面，∴.
∴为二面角的平面角.在中，．．．．．．．．．．6分
又，∴,又．．．．．．．．．．8分
∴在中，.
故二面角的正切值为3. ……………9分
（3） 由（2）可知，平面，∴平面平面，且交线为，
∴过作于，则平面.
在中， …………………12分
∵为中点，∴点到平面的距离为. …………………14分
（注：（2）、（3）也可用向量法求解，（3）还可以用等体积法）

9、（1）证明：因为AB⊥平面ABCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，
所以，CD⊥平面ABC，………………………………………………3分
又在△ACD中，E、F分别是AC、AD上的动点，且
所以，EF∥CD，总有EF⊥平面ABC：EF平面BEF，
所以，不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC…………………………6分
（2）解：作BQ∥CD，则BQ⊥平面ABC，
所以，BQ⊥BC，BQ⊥BE，
又BQ与CD、EF共面，所以，平面BEF∩平面BCD＝BQ，
所以，∠CBE为平面BEF与平面BCD所成的二面角的平面角为60°，
所以，cos60°＝，
所以，2BM＝BE　　①…………………………9分
又，所以，＝1－，
在∆ABC内作EM⊥BC交BC于M，
由＝1－，
又在∆BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，
所以，BD＝，又在Rt∆ABD中，∠AD B= 600，
所以，AB＝，所以，EM＝（1－）　②
又＝，且BC＝1，所以，BM＝　③
由①②③得：42＝6（1－）2＋2
2－4＋2＝0，＝2－或＝2＋（舍去）＝2－。。。。。。。。。。14分
故当若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时，
10.解：（Ⅰ）取的中点，连接，
由，得：

就是二面角的平面角，
…………………………2分
在中，

…………………………4 分
（Ⅱ）由，

…………………………6分
，
又
平面． 　 …………………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面
平面
∴平面平面 　　　　　　　　　　　　　…………………………10分
平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角， 　　　　…………………………12分
． …………………………14分
方法二：设点到平面的距离为，
∵ 　　　　　　　…………………10分

　　　　　　……………………12分
于是与平面所成角的正弦为
． 　　　　　………………………14分
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系。