高三数学复习函数知识点.doc

函数复习主要知识点
一、函数的概念与表示
1、映射
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ）
A、 B、
C、 D、f（x）=x，
2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1；

1.函数的定义域为

2求函数定义域的两个难点问题
（1）

（2）

例2设，则的定义域为__________

变式练习：，求的定义域。

三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对勾函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数
1．（直接法）

2．

3．（换元法）

4. （Δ法）

5.

6. (分离常数法) ① ②

7. (单调性)

8.①，② (结合分子/分母有理化的数学方法)

9．(图象法)

10．(对勾函数)

11. (几何意义)

四．函数的奇偶性
1．定义:　设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
3．奇偶性的判断
①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系

1 已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时， .

2 已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

3 已知在（－1，1）上有定义，且满足
证明：在（－1，1）上为奇函数；

4 若奇函数满足，，则_______

五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：

2 设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。
1判断函数的单调性。

2函数的单调增区间是________

3(高考真题)已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）
（A） （B） （C） （D）

六．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标
2．二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。
一元二次不等式的解集(a>0)

二次函数
△情况
一元二次不等式解集

Y=ax2+bx+c (a>0)
△=b2-4ac
ax2+bx+c>0
(a>0)
ax2+bx+c<0
(a>0)
图象与解

△>0

△=0

△<0
R

1、已知函数在区间上是增函数，则的范围是（ ）
（A） (B) (C) (D)

2、方程有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是_______

九．指数式
1．幂的有关概念
(1)零指数幂
(2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质

3．根式
根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
(1)

十．指数函数
名称
指数函数
一般形式
y=ax (a>1)
y=ax(0<a<1)
定义域
(-∞,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
过定点
（０，1）
图象

单调性
在(-∞,+ ∞)上为增函数
在(-∞,+ ∞)上为减函数
值分布
X<0时0<y<1,x>0时，y>1,x=0,y=1
X<0时y>1,x>0时，0<y<1,x=0,y=1

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同
1、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象：

2、 研究指数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
3、 指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
1、（1）的定义域为_______；
（2）的值域为_________；
（3）的递增区间为，值域为
2、（1），则
3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。

十．函数的图象变换
（1） 　1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即

① 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

1．f(x)的图象过点(0,1)，则f(4-x)的图象过点（ ）
A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)

2．作出下列函数的简图：
（1）y=； （2）y=|2x-1|；

（3）y=2|x|；

十．函数的其他性质
1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：

单调递增
单调递减
2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

奇函数
偶函数

3．抽象函数的模型：
（1）
（2）