最值问题教案.doc

专题：探讨最值问题的解法 教案
教学目标：
1、 熟练掌握最短路径的基本模型
2、 培养学生数形结合思想及转化思想
3、 培养学生逻辑思维能力
教学过程:
一、 基础回顾：
1、
2、“最值”问题大都归于两类基本模型：
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况:
(1）归于“两点之间的连线中,线段最短”.凡属于求“变动的两线段之和的最小值"时，大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型.
二、 经典考题剖析：
A
B
C
D
E
F
引例:已知：函数y=kx－3经过点（1，1）,当－1≤x≤2时,则函数值最大为,最小为。
例1 、如图（1)，平行四边形中，，E为BC上一动点（不与B重合），作于，设的面积为当运动到何处时，有最大值,最大值为多少？
【观察与思考】容易知道是的函数，为利用函数的性质求的最大值，
就应先把关于的函数关系式求出来,而这又需要借助几何计算。
【说明】可以看出,函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。
练习：略
三、利用几何模型求最值
(1）归入“两点之间的连线中,线段最短"
几何模型：
条件：如下图,、是直线外的的两个定点．
问题:在直线上确定一点,使的值最小．
方法：（1）点A，B位于直线的异侧：连结AB交于点，则PA+PB的值最小
A
B
C
N
O
M
（2）点A，B位于直线的同侧：作点关于直线的对称点，连结交于点,则的值最小
A
B
′
P
l

例1 如图（1）所示,在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区,已知千米，直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米.
(1）求新开发区A到公路的距离；
（2)现从上某点处向新开发区修两条公路，使点到新开发区的距离
之和最短，请用尺规作图在图中找出点的位置（不用证明,不写作法，保留作图痕迹）,并求出此时的值.
【观察与思考】对于（1），直接归于几何计算。对于（2)，首先利用“轴对称”的性质,
把原题中的求“”最短，转化成求“"最短（其中是A关于的对点.
A
B
C
N
O
M
30°
D
P

答案：（千米）
A
B
C
N
O
M
30°
D

练习二：
（1)如图1，正方形的边长为2，为的中点,,则的最小值是___________；
（2)如图2，的半径为2，点在上，，，是上一动点,求的最小值；
(3)如图3，（1），在中，，为边上一定点，（不与点B，C重合）,为边上一动点，设的长为，请写出最小值,并说明理由。
(4）在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，。
(1）若点的坐标为，当时，的周长最短;
（2）若点、的坐标分别为、，则当时，四边形的周长最短。

O
A
B
P
R
Q
图4
图2
O
A
B
C
A
B
E
C
P
D
图1
A
C
B
P
Q
图3
(5)如图4，，是内一点，,分别是上的动点，求周长的最小值．
方法提示：（1）是上一动点．连结,由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于；
(2)A，C位于OB同侧,作点A关于OB的对称点，连结C,交OB于点P；
（3）P、C位于AB同侧。（4)第2问通过平移转化
（5）作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连结P1P2 则P1P2为所求周长最小值
总结：至于求线段的长,仍是以归入“解直角三角形”为第一选择.不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
(2)归于“三角形两边之差小于第三边"
几何模型:
条件:如下图，、是直线外的的两个定点．
问题:在直线上确定一点,使的值最小．
方法：（1）点A，B位于直线的同侧：连结AB交于点，则此时｜PA－PB｜的值最大，最大值为线段AB的长.
(2）点A，B位于直线的异侧:作点关于直线的对称点，连结交于点，则此时|PA－PB｜的值最大，最大值为线段B的长。
例1如图,直线与轴交于点C，与轴交于点B，点A为轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点，直线BC交⊙A于点D.(1)求点D的坐标；

D
C
B
P
(2）过，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使线段与之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P的坐标。若不存在,请说明理由。
A

D
C
B
答案：点P为时取最大值为。
练习三
1．(2010年湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和,要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图11(2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是,连接交直线于点），到、的距离之和．
（1)求、,并比较它们的大小；
（2)请你说明的值为最小;
B
A
P
X
图11（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图11（3）
B
A
P
X

图11（2）
（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图11(3）所示的直角坐标系，到直线的距离为,请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
2、已知，如图,抛物线与轴交于A，B两点,交轴于点在该抛物线的对称轴上是否存在点,使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

4
x
2
2
A
8
-2
O
-2
-4

6
B
C
D
-4
4

A
B
C

A
B
C

3、抛物线交轴于A，B两点，交轴于点已知抛物线的对称轴为。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使点到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
4。 （2009舟山）如图，已知点A（—4,8)和点B（2，n）在抛物线上．
　　（1）　求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标;
　　(2)　平移抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(—2,0)
和点D（-4,0)是x轴上的两个定点．
①　当抛物线向左平移到某个位置时,A′C+CB′ 最短,求此时抛物线的函数解析式；
(第24题(2)②)
4
x
2
2
A′
8
-2
O
-2
-4
y
6
B′
C
D
-4
4
A′′
B′′
②　当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
解:（1) 将点A(-4,8）的坐标代入，解得．
将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2）,
则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，—2）．
直线AP的解析式是．所求点Q的坐标是（，0）．
(2）①解：CQ=︱—2—︱=，故将抛物线向左平移个单位时，A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．
②　左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值,所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； ……1分
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′〉AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．
第二种情况:设抛物线向左平移了b个单位,则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4—b，8）和B′（2—b，2）．
因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2)，
要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 　
点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4—b，—8),
直线A′′B′′的解析式为．要使A′D+DB′′最短,点D应在直线A′′B′′上，将点D(—4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置,使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．
三:小结
四：作业：《中考说明》专题四
五、教学反思
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