小学工程问题及答案.doc

在日常生活中,做某一件事，制造某种产品,完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是 工作量=工作效率时间. 在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”. 举一个简单例子。 一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成。问两人合作几天可以完成? 一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1。所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”,1天就是一个单位， 再根据基本数量关系式,得到 所需时间=工作量工作效率 =6（天） 两人合作需要6天。 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的。 为了计算整数化(尽可能用整数进行计算)，如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的最小公倍数是30.设全部工作量为30份。那么甲每天完成3份，乙每天完成2份。两人合作所需天数是 30（3+ 2)= 6(天) 数计算，就方便些。 2。或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”。甲、乙工作效率的比是1510=32.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也 需时间是 因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”,也许会使我们的解题思路更灵活一些. 一、两个人的问题 标题上说的“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体。 例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成。乙需要做几天可以完成全部工作？ 答：乙需要做4天可完成全部工作。 解二:9与6的最小公倍数是18。设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是 (18 2 3) 3= 4（天）. 解三:甲与乙的工作效率之比是 6 9= 2 3。 甲做了3天，相当于乙做了2天。乙完成余下工作所需时间是62=4（天）。 例2 一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解:共做了6天后, 原来,甲做 24天，乙做 24天， 现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天。 这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是 如果甲独做,所需时间是 答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天. 例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成;如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？ 解：先对比如下: 甲做63天，乙做28天； 甲做48天,乙做48天. 就知道甲少做6348=15（天），乙要多做4828=20（天），由此得出甲的 甲先单独做42天,比63天少做了6342=21(天），相当于乙要做 因此，乙还要做 28+28= 56 (天)。 答:乙还需要做 56天。 例4 一件工程，甲队单独做10天完成,乙队单独做30天完成。现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息)。问开始到完工共用了多少天时间？ 解一：甲队单独做8天,乙队单独做2天,共完成工作量 余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是 2+8+ 1= 11(天）。 答：从开始到完工共用了11天。 解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后,还需两队合作 （30 3 8 1 2）（3+1)= 1(天). 解三:甲队做1天相当于乙队做3天。 在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做23=6（天）。乙队单独做2天后,还余下(乙队）62=4（天)工作量. 4=3+1， 其中3天可由甲队1天完成,因此两队只需再合作1天。 例5 一项工程,甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天。问乙队休息了多少天？ 解一:如果16天两队都不休息,可以完成的工作量是 由于两队休息期间未做的工作量是 乙队休息期间未做的工作量是 乙队休息的天数是 答：乙队休息了5天半。 解二：设全部工作量为60份。甲每天完成3份,乙每天完成2份。 两队休息期间未做的工作量是 (3+2)16 60= 20（份）。 因此乙休息天数是 （20 3 3) 2= 5。5(天）。 解三：甲队做2天，相当于乙队做3天. 甲队休息3天，相当于乙队休息4。5天。 如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是 166-4。5=5。5（天）。 例6 有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天? 解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做乙. 设乙的工作量为60份(15与20的最小公倍数),张每天完成4份,李每天完成3份。 8天,李就能完成甲工作。此时张还余下乙工作（6048)份.由张、李合作需要 （60-48)(4+3）=4（天）. 8+4=12(天). 答:这两项工作都完成最少需要12天。 例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他 要8天完成这项工程,两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天? 解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份,乙每天完成2份。 两人合作，共完成 3 0。8 + 2 0.9= 4.2（份）。 因为两人合作天数要尽可能少,独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成,所以两人合作的天数是 （3038)（4.2-3）=5（天）。 很明显,最后转化成“鸡兔同笼”型问题。 例8 甲、乙合作一件工作,由于配合得好，甲的工作效率比单独做时 如果这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时？ 解：乙6小时单独工作完成的工作量是 乙每小时完成的工作量是 两人合作6小时,甲完成的工作量是 甲单独做时每小时完成的工作量 甲单独做这件工作需要的时间是 答：甲单独完成这件工作需要33小时。 这一节的多数例题都进行了“整数化的处理。但是,“整数化”并不能使所有工程问题的计算简便。例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每 有一点方便，但好处不大.不必多此一举。 二、多人的工程问题 我们说的多人,至少有3个人,当然多人问题要比2人问题复杂一些,但是解题的基本思路还是差不多. 例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成。问甲一人独做需要多少天完成? 解：设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90天完成. 例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份,甲、丙合作每天完成3份.请试一试,计算是否会方便些？ 例10 一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天，丙独做要24天。这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作。问总共用了多少天？ 解:甲做1天，乙就做3天,丙就做32=6（天）. 说明甲做了2天，乙做了23=6（天），丙做26=12（天)，三人一共做了 2+6+12=20（天). 答：完成这项工作用了20天. 本题整数化会带来计算上的方便。12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72。甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3。总共用了 例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成。如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？ 解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的42=2(倍）,甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍。 他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天。 事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天,相当于乙、丙合作1天。三人合作需13天,其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成。 例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作,乙组4人7天也能完成工作。问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作? 解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成 甲组2人和乙组7人每天能完成 答：合作3天能完成这项工作。 解二:甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成。 现在已不需顾及人数，问题转化为： 甲组独做12天，乙组独做4天,问合作几天完成? 小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型,如果你心算较好,很快就能得出答数。 例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成。乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成。现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。问丙车间制作了多少个零件？ 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答:丙车间制作了4200个零件. 解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份。 乙、丙一起,8天完成.乙完成82=16（份),丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是1614=87。 已知 甲、乙工作效率之比是 32= 128。 综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 1287. 当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400（12- 8) 7= 4200（个）。 例14 搬运一个仓库的货物,甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1。现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是 答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时. 解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为 60。甲每小时搬运 6,乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4。 三人共同搬完,需要 60 2 （6+ 5+ 4）= 8（小时). 甲需丙帮助搬运 （60 6 8） 4= 3（小时）。 乙需丙帮助搬运 (60- 5 8）4= 5（小时). 三、水管问题 从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的。水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量。单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在,先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0。6立方米水,这个水池的容积是多少立方米? 甲每分钟注入水量是 乙每分钟注入水量是 因此水池容积是 答:水池容积是27立方米。 例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等。现在 按预定时间注满水池,如果开始时就打开10根水管,中途不增开水管,也能按预定时间注满水池。问开始时打开了几根水管? 答：开始时打开6根水管。 例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 、乙、的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ ，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。 以后(20小时)，池中的水已有 此题与广为流传的“青蛙爬井是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口,每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口? 看起来它每小时只往上爬3 2= 1（尺),但爬了27小时后,它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口。 因此，答案是28小时,而不是30小时。 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 解：先计算1个水龙头每分钟放出水量。 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 60= 240（立方米). 时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150 8 90）= 8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 8 90， 其中 90分钟内流入水量是 4 90，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米). 打开13个水龙头每分钟可以放出水813,除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400,需要 5400 （8 13 4）=54（分钟)。 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟。 水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水。这在题目中却是隐含着的. 例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空。如果打开A，B两管，4小时可将水排空。问打开B，C两管,要几小时才能将满池水排空? 解:设满水池的水量为1. A管每小时排出 A管4小时排出 因此,B,C两管齐开，每小时排水量是 B，C两管齐开，排光满水池的水,所需时间是 答： B, C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量,像工程问题不知工作量的具体数量一样。这里把两种水量分别设成“1”。但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本普遍算术一书,书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的。题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量,是完全类同的。 例20 有三片牧场，场上草长得一样密,而且长得一 草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草。问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 解：吃草总量=一头牛每星期吃草量牛头数星期数。根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 原有草+4星期新长的草=124。 原有草+9星期新长的草=79. 由此可得出，每星期新长的草是 （79124）（94)=3. 那么原有草是 79-39=36(或者12434）. 对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让 907。218=36（头） 牛吃18个星期. 答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草。 例20与例19的解法稍有一点不一样。例20把“新长的”具体地求出来,把“原有的”与“新长的两种量统一起来计算。事实上,如果例19再有一个条件,例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空。”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系。但仅仅是例19所求,是不需要加这一条件。好好想一想,你能明白其中的道理吗？ “牛吃草这一类型问题可以以各种各样的面目出现。限于篇幅，我们只再举一个例子。 例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场。从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口,9点5分就没有人排队。问第一个观众到达时间是8点几分？ 解:设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位。 从9点至9点9分进入观众是39， 从9点至9点5分进入观众是55。 因为观众多来了95=4（分钟），所以每分钟来的观众是 (3955）（9-5)=0.5. 9点前来的观众是 55-0.55=22。5。 这些观众来到需要 22。50.5=45（分钟）. 答:第一个观众到达时间是8点15分。