高二数学双曲线试题(有答案).doc

高二数学双曲线试题
一：选择题
1．双曲线的离心率为2，有一个焦点与椭圆的焦点重合，则m的值为（     ）
    A． B．  C．  D．
【答案】A
2．以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
3．设分别是双曲线的两个焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
4.已知双曲线的中心在坐标原点，两个焦点为F1（﹣，0），F2（，0），点P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=4，该双曲线的标准方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设双曲线的方程为：﹣=1，
∵两焦点F1（﹣，0），F2（，0），且•=0，
∴⊥，
∴△F1PF2为直角三角形，∠P为直角；
∴+===28；①
又点P是此双曲线上的一点，
∴||PF1|﹣|PF2||=2a，
∴+﹣2|PF1|•|PF2|=4a2，由||•||=4得|PF1|•|PF2|=4，
∴+﹣8=4a2，②
由①②得：a2=5，又c2==7，
∴b2=c2﹣a2=2．
∴双曲线的方程为：﹣=1，
故选C．
5.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kFN=1，
设双曲线方程为，
A（x1，y1），B（x2，y2），
则有，
两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得
=，
从而==1
即4b2=5a2，
又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故选B．
6.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（　　）

A．
x=±
B．
y=
C．
x=
D．
y=

解：∵椭圆和双曲线有公共焦点
∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，
∴=2
双曲线的渐近线方程为y=±=±x
故选D
7.已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（　　）

A．
﹣y2=1
B．
﹣=1
C．
﹣y2=1
D．
x2﹣y2=1

解：设双曲线的方程为，渐近线方程为
∵双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，
∴，=1
∴b=1，a=
∴双曲线的方程为﹣y2=1
故选A．
8.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线相交于A，B两点，点F是抛物线的焦点，若双曲线的一条渐近线方程是，且△FAB是直角三角形，则双曲线的标准方程是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：依题意知抛物线的准线x=﹣2．代入双曲线方程得
y=±．双曲线的一条渐近线方程是，
∴则不妨设A（﹣2，），F（2，0）
∵△FAB是等腰直角三角形，
∴=4，解得：a=，b=4
∴c2=a2+b2=2+16=20，
∴双曲线的标准方程是
故选C
9..※【本资料来源：全品高考网、全品中考网；全品教学网为您提供最新最全7.已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为，所以，，，所以，即，双曲线的渐近线为，代入椭圆得，即，所以，，，则第一象限的交点坐标为，所以四边形的面积为，所以，所以椭圆方程为，选D.
10.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．
若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，
设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，
∴离心率，
故选B．
11.设双曲线的﹣个焦点为F；虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：设双曲线方程为，
则F（c，0），B（0，b）
直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，
所以，即b2=ac
所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，
所以或（舍去）
12．已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( C )
A. B. C. D.
【答案】C
13.如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】由题意知直线的方程为：，联立方程组得点Q，联立方程组得点P，所以PQ的中点坐标为，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B
14.过双曲线的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：过双曲线的右顶点A（1，0）作斜率为1的直线l：y=x﹣1，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2），
联立方程组代入消元得（b2﹣1）x2+2x﹣1=0，
∴，
∴x1+x2=2x1x2，
又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x1=1+x2，
代入解得，
∴b2=9，双曲线M的离心率e=，
故选A．

二：填空题
15．以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆方程是
　　 ．

解：双曲线的顶点为（0，﹣2）和（0，2），焦点为（﹣3，0）和（3，0）．
∴椭圆的焦点坐标是（0，﹣2）和（0，2），顶点为（﹣3，0）和（3，0）．
∴椭圆方程为．
故答案：．
16.已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 .
【解析】设双曲线C ：-=1的半焦距为，则.
又C 的渐近线为，点P （2,1）在C 的渐近线上，，即.
又，，C的方程为-=1.
17已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同．则双曲线的方程为　　．

解：由双曲线渐近线方程可知①
因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4②
又c2=a2+b2③
联立①②③，解得a2=4，b2=12，
所以双曲线的方程为．
故答案为．
18．已知双曲线C过点，一条渐近线方程为，双曲线C 的标准方程为　　．

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，
设双曲线方程为 =λ（λ≠0），
∵双曲线过点，
∴=λ，即λ=﹣1．
∴所求双曲线方程为
故答案为：．
19.若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为　　．

解：∵抛物线y2=2bx的焦点F（，0），双曲线﹣=1（a＞b＞0）左、右焦点F1（﹣c，0），F2（c，0），
又线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5：3两段，
∴=，即=，
∴c=2b；
又c2=a2+b2=4b2，
∴a2=3b2，
∴此双曲线的离心率e2===，
∴e==．
故答案为：．
20.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是　　．

解：由圆x2+y2﹣4x+2=0化为（x﹣2）2+y2=2，得到圆心（2，0），半径r=．
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣4x+2=0有交点，
∴，化为b2≤a2．
∴．
∴该双曲线的离心率的取值范围是．
故答案为．

三：解答题
21．已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

解：∵（1）原点到直线AB：的距离．
故所求双曲线方程为
（2）把中消去y，整理得 .
设的中点是，则

即
故所求k=±.
22.已知双曲线的两个焦点为
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q （0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为，求直线l的方程．

解：（Ⅰ）：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），
将点（3，）代入上式，得．解得a2=18（舍去）或a2=2，
故所求双曲线方程为．
（Ⅱ）：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，
得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．
∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，
∴
∴k∈（﹣）∪（1，）．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2=，
于是，|EF|=
=
而原点O到直线l的距离d=，
∴S△OEF=．
若S△OEF=，即，解得k=±，
满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和．
23.已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP的面积为
（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；
（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程．

解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为，
由
∴b2=c2﹣a2=2﹣a2．
由点在双曲线上，
∴，
∴离心率
（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为，
则
∵△OFP的面积为
∵
解得∵，
当且仅当时等号成立．
此时
（舍）．
则所求双曲线的方程为．
24．如图,已知双曲线,其右准线交x轴于点A,双曲线虚轴的下端点为B,过双曲线的右焦点F(c,0)作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,直线AB交PF于点D,且点D满足(O为原点).
(1) 求双曲线的离心率;
(2) 若a = 2,过点B的直线l交双曲线于M、N两点,问在y轴上是否存在定点C使为常数?若存在,求出C点的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1) B(0,– b),A(,0),F(c,0),P(c,)
∵ ∴ D为线段FP的中点,
∴ D为(c,)
∴ ,∴ a = 2b,
∴
(2) a = 2,则b = 1,B(0,–1) 双曲线的方程为 ①
设M(x1,y1),N(x2,y2),C(0,m)
由
由已知
设

整理得:
对满足的k恒成立
∴ .
故存在y轴上的点C(0,4),使为常数17
25．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．
[来源:学科网]
【答案】（1） （2）联立方程组得
……（1）
由（1）有两个不相等的负根得
（3）的垂直平分线方程为
从而得
26.已知双曲线的右顶点为A，右焦点为F，右准线与轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于轴的对称点。
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求面积的最小值。
【答案】解：（1）易得双曲线方程为
（2）由（1）可知得点设直线L的方程为：
由： 可得
设
所以 所以
因为
=
=
=0
所以向量共线。所以B， P，N三点共线
（3）因为 直线L与双曲线右支相交于M，N
所以所以

令

由
当时，三角形BMN面积的最小值为18