基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计.doc

自动控制原理课程设计说明书
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计
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2018年 1月
目录
1 任务概述 2
1。1设计概述 2
1。2 要完成的设计任务： 2
2系统建模 3
2.1 对象模型 3
2。2 模型建立及封装 3
3仿真验证 8
3。1 实验设计 8
3.2 建立M文件编制绘图子程序 8
4 双闭环PID控制器设计 11
4.1内环控制器的设计 12
4.2外环控制器的设计 12
5 仿真实验 14
5。1简化模型 14
5。2 仿真实验 15
6 检验系统的鲁棒性 17
6．1 编写程序求系统性能指标 17
6.2 改变参数验证控制系统的鲁棒性 18
7 结论 21
附录 21
1任务概述
1。1设计概述
如图1 所示的“一阶倒立摆控制系统”中，通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机(IPC)完成。
图1一阶倒立摆控制系统
这是一个借助于“SIMULINK封装技术——子系统”，在模型验证的基础上,采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验.
1。2 要完成的设计任务：
(1)通过理论分析建立对象模型（实际模型)，并在原点进行线性化,得到线性化模型;将实际模型和线性化模型作为子系统，并进行封装，将倒立摆的振子质量m和倒摆长度L作为子系统的参数，可以由用户根据需要输入；
（2）设计实验,进行模型验证;
（3)一阶倒立摆系统为“自不稳定的非最小相位系统”。将系统小车位置作为“外环"，而将摆杆摆角作为“内环”，设计内化与外环的PID控制器；
（4）在单位阶跃输入下，进行SIMULINK仿真；
（5）编写绘图程序,绘制阶跃响应曲线，并编程求解系统性能指标：最大超调量、调节时间、上升时间；
(6）检验系统的鲁棒性:将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下，检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间）。
倒摆长度L不变,倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1。5kg、2kg、2。5kg、0.8kg、0.5kg;
倒立摆的振子质量m不变，倒摆长度L从0。3m分别改变为0.5m、0。6m、0.2m、0。1m。
2系统建模
2。1 对象模型
一阶倒立摆的精确模型的状态方程为:
若只考虑θ在其工作点 = 0附近的细微变化，这时可以将模型线性化,这时可以近似认为：
一阶倒立摆的简化模型的状态方程为:
2。2 模型建立及封装
上边的图是精确模型，下边的是简化模型。
图2模型验证原理图
2、由状态方程可求得：
Fcn：（4/3＊u[1］+4/3＊m＊l*sin(u［3］)*power(u[2]，2)—10＊m*sin（u[3］）＊cos(u[3])）/(4/3*(1+m）-m*power（cos（u［3］），2）)
Fcn1：（cos（u[3］)*u［1］+m＊l＊sin（u[3］）＊cos(u[3］)*power(u[2］，2）—10*（1+m）*sin（u［3］））/(m＊l*power（cos（u［3］），2）—4/3＊l＊(1+m）)
Fun2：(4*u[1]-30＊m*u［3])/(4+m)
Fun3：（u［1]—10＊（1+m)*u［3]）/（m＊l—4/3＊l*(1+m))
（其中J =，小车质量M=1kg,倒摆振子质量m，倒摆长度2L，重力加速度g=10m/）
将以上表达式导入函数。
3、如下图框选后选择createsubsystem
图3封装
4、封装之后如下图
图4子系统建立
5、将精确模型subsystem和简化模型subsystem1组合成以下系统以供验证，注意add的符号是++，不是+—，网上其他的课设都是错的。(输入信号是由阶跃信号合成的脉冲,幅值为0.05，持续时间(step time)为0.1s）。
图5系统模块封装
6、鼠标右击子系统模块，在模块窗口选项中选择Mask—〉edit mask，则弹出如下窗口。
图6添加参数
7、点击左边菜单栏的edit,添加参数m和L，注意prompt中的m和L意思是之后对话框中的提示词，而name中的m和L是要被prompt中输入的值导入的变量，如果name中填错了，那么之后的值将无法导入。
图7编辑参数
8、在系统模型中，双击子系统模块,则会弹出一个新窗口，在新窗口中可以输入m和L的值，之后将会输入,如图8所示。
图8输入参数
3仿真验证
3。1 实验设计
假定使倒立摆在(θ=0，x=0)初始状态下突加微小冲击力作用，则依据经验知，小车将向前移动,摆杆将倒下。
3.2 建立M文件编制绘图子程序
图9绘图子程序
(提示:附录中有子程序方便大家Ctrl+c(＾＿＾）,上边只是为了方便对照).
1、 在系统模型中，双击子系统模块，则会弹出一个新窗口,在新窗口中输入m和l值,点击OK并运行,如图10所示.
图10 输入参数
2、 如图设置tofile模块的参数，Variablename的名字就是M程序中的函数名，这里如果不是signals的话程序是无法运行的.Save format要选择Array，因为程序是按数组形式调取变量的，没有选择Array的话运行程序会出现“索引超出矩阵维度"的错误。
图11 tofile参数设置
3、 运行M文件程序，执行该程序的结果如图8所示。
图12 模型验证仿真结果
从中可见，在0。1N的冲击力下,摆杆倒下（θ由零逐步增大）， 小车位置逐渐增加,这一结果符合前述的实验设计,故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。同时，由图中也可以看出，近似模型在0.8s以前与精确模型非常接近,因此，也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质。
4 双闭环PID控制器设计
一级倒立摆系统位置伺服控制系统如图13所示。

图13 一级倒立摆系统位置伺服控制系统方框图
4.1内环控制器的设计
内环采用反馈校正进行控制。

图14 内环系统结构图
反馈校正采用PD控制器，设其传递函数为,为了抑制干扰，在 前向通道上加上一个比例环节=K=
控制器参数的整定:
设的增益K=—20，则内环控制系统的闭环传递函数为
令ξ= 0。7
内环控制器的传递函数为：
内环控制系统的闭环传递函数为：
4。2外环控制器的设计
外环系统前向通道的传递函数为:

图12 外环系统结构图
对外环模型进行降阶处理，若忽略的高次项，则近似为一阶传递函数为：
对模型进行近似处理，则的传递函数为：
外环控制器采用PD形式,其传递函数为：
采用单位反馈构成外环反馈通道，则，则系统的开环传递函数为:
采用基于Bode图法的希望特性设计方法,得,τ= 0.87,取τ= 1，则外环控制器的传递函数为
图13 系统仿真结构图
5 仿真实验
5.1简化模型
1、 根据已设计好的PID控制器，可建立图14系统，设置仿真时间为10ms，单击运行。这个仿真是为了便于理解.
图14 SIMULINK仿真框图
2、 新建M文件,输入以下命令并运行
％将导入到PID。mat中的仿真试验数据读出
load PID.mat
t=signals(1,:)；
q=signals（2，：）;
x=signals（3，：); %drawing x（t) and thera（t） response signals
%画小车位置和摆杆角度的响应曲线
figure（1)
hf=line(t,q（：)）；
grid on
xlabel （’Time (s）'）
axis(［0 10 -0。3 1。2］）
ht=line（t,x，'color'，’r’);
axis（［0 10 —0.3 1。2]）
title(’\theta（t) and x（t) Response to a step input')
gtext（’\leftarrow x（t)'),gtext(’\theta(t） \uparrow’）
执行该程序的结果如图15所示
图15 仿真结果
5。2 仿真实验
注意,图中子系统为简化模型而不是精密模型（MMP网上的写的精密模型，调了好久才发现)。
图16 SIMULINK仿真框图
图17系统仿真结果图
6 检验系统的鲁棒性
检验系统的鲁棒性：将对象的特性做如下变化后，同样在单位阶跃输入下,检验所设计控制系统的鲁棒性能，列表比较系统的性能指标（最大超调量、调节时间、上升时间)。
6．1 编写程序求系统性能指标
新建pid.m文件，输入以下命令并保存
load PID。mat
clc
t=signals（1，：);
x=signals（2,：)；
q=signals(3,:)；
figure（1）
hf=line（t,q（：））；
grid on
axis([0 10 —0。3 1。2］）
ht=line（t，x，’color’，'r’）；
r=size（signals）； e=r（1，2）;
C=x（1,e）; ％得到系统终值
y_max_overshoot=100＊(max（x）—C）/C %超调量计算
r1=1；
while （x（r1)〈0。1*C)
r1=r1+1; end r2=1；
while （x(r2)〈0.9＊C)
r2=r2+1;
end
x_rise_time=t(r2)—t（r1) ％上升时间计算
s=length（t）；
while x（s)>0.98*C＆＆x（s）<1。02＊C
s=s-1；
end
x_settling_time=t（s） ％调整时间计算 
C1=q(1，e）； 
［max_y，k]=max(q）；  
q_max_overshoot=max(q)-C1%超调量计算 
q_rise_time=t(k） ％上升时间计算 
s=length（t）; 
while q(s）>-0。02＆＆q(s）〈0。02     
s=s-1; 
end 
q_settling_time=t（s) ％调整时间计算
6。2 改变参数验证控制系统的鲁棒性
倒摆长度L不变，倒立摆的振子质量m从1kg分别改变为1。5kg、2kg、2.5kg、0.8kg、0.5kg；倒立摆的振子质量m 不变，倒摆长度L 从0。3m 分别改变为0。5m、0。6m、0。2m、0。1m。在单位阶跃输入下，检验所设计系统的鲁棒性
。
1、 改变输入参数并运行，再运行pid.m文件,得到响应曲线及性能指标，记录表1
图18 改变输入参数
表1 性能坐标比较
2、 仿真实验的结果如图19所示:
图19改变倒立杆质量和长度时系统仿真结果
7 结论
结论: 
1、原系统在0。1N的冲击力下，摆杆倒下（θ由零逐步增大), 小车位置逐渐增加，这一结果符合前述的实验设计,故可以在一定程度上确认该“一阶倒立摆系统”的数学模型是有效的。验证实验中，通过精确模型与简化模型比较，从图中可以看出，0。8s以前是非常接近，因此，也可以认为近似模型在一定条件下可以表达原系统模型的性质. 
2、经过双闭环PID 控制的系统，能跟随给定并稳定下来，且θ终值为0使摆杆不倒.说明PID控制有效. 
3、改变倒立摆的摆杆质量m和长度L。从图11中可以看出，在参数变化的一定范围内系统保持稳定，控制系统具有一定的鲁棒性。
附录
q=signals(4,: ）； ％读取精确模型中倒摆摆角信号
xx=signals（5，： ）； %读取简化模型中的小车位置信号
qq=signals（6,: )； %读取简化模型中倒立摆摆角信号
figure(1) %定义第一个图形
hf=line（t，f(：））； ％连接时间-作用力曲线
grid on；
xlabel('Time（s）’) ％定义横坐标
ylabel（’Force（N)’） ％定义纵坐标
axis（［0 1 0 0。12］） ％定义坐标范围
axet=axes（'Position'，get(gca，’Position’)，.。。
’XAxisLocation’，’bottom’，.。.
’YAxisLocation’，’right'，’color’,’none'，..。
’XColor'，’k',’YColor’,’k'）;
%定义曲线属性
ht=line（t，x，'color’,’r’,'parent',axet）；
%连接时间—小车位置曲线
ht=line(t，xx，'color’,’r’，'parent'，axet）;
％连接时间—小车速度曲线
ylabel（’Evolution of the xposition(m）'） ％定义坐标名称
axis（[0 1 0 0.1］) ％定义坐标范围
title(’Response x and x'’in meter to a f(t) pulse of 0.1 N' )
％定义曲线标题名称
gtext （'\leftarrow f （t)’)，gtext （’x （t） \rightarrow’） , gtext （’ \leftarrow x’’(t)')
figure （2)
hf=line(t,f(：)）;
grid on
xlabel(’Time')
ylabel（’Force（N)'）
axet=axes（’Position’,get(gca，’Position’）,。。。
'XAxisLocation’,’bottom'，..。
’YAxisLocation’,'right’，’color'，’none'，。。.
'XColor’,'k’，’YColor’，'k');
ht=line(t，q,’color','r'，'parent’，axet）；
ht=line（t,qq，’color’，'r'，'parent',axet)；
ylabel('Angle evolution (rad）')
axis(［0 1 -0.3 0])
title（'Response \theta（t)and \theta’' in rad to a f（t） pulse of 0.1 N' ）