《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.4等差数列的前n项和及其性质-讲义.docx

第4课时　等差数列的前n项和及其性质

1.把握等差数列前n项和公式及其推导方法.
2.会用等差数列前n项和公式解决一些简洁的问题.

重点:探究等差数列的前n项和公式.
难点:对公式的机敏应用.

高斯是怎样想的
两百多年前,德国出了一位名扬世界的“数学王子”——高斯(Gauss,1777—1855).
高斯从小就听父亲讲一些生产中的简易算法,养成了动脑筋的习惯,在他十岁的时候,算术课上老师出了一道题目:
1+2+3+…+99+100=?
正值同学们静心地逐项相加时,高斯快速地说出了答案:5050.
你知道高斯是怎样算出来的吗?
高斯的算法是:
首项与末项的和为1+100=101,
第2项与倒数第2项的和为2+99=101,
第3项与倒数第3项的和为3+98=101,
……
第50项与倒数第50项的和为50+51=101,
故所求的和为101×=5050.
请你学习高斯的算法,计算:
1+3+5+…+49=?

问题1:(1)等差数列前n项和公式　Sn=　或　Sn=na1+n(n-1)d　. 
(2)等差数列前n项和公式的推导方法:　倒序相加法　.设等差数列{an}的前n项为a1,a2,a3,…,an-2,an-1,an,则Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,将和式倒序写为Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1,两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an),∴Sn=. 
将通项an=a1+(n-1)d代入可得Sn=na1+d.
问题2:(1)等差数列前n项和公式Sn=和Sn=na1+及通项公式an=a1+(n-1)d中含有五个量　a1　、　d　、　n　、　an　、　Sn　,在具体解题时,通过解方程组做到“　知三求二　”. 
(2)等差数列前n项和公式的特点是Sn=na1+= n2+(a1-)n　,即等差数列前n项和公式是关于n的没有常数项的二次函数.其图象是过原点的抛物线上一些孤立的点. 
问题3:如何求等差数列前n项和的最值?
(1)用等差数列的单调性求前n项和的最值.
①d>0⇔{an}为递增数列,若a1≥0,则　S1=a1　最小;若a1<0,则当n满足时的Sn最　小　. 
②d<0⇔{an}为递减数列,若a1≤0,则　S1=a1　最大;若a1>0,则当n满足时的Sn最　大　. 
(2)利用函数的学问求等差数列前n项和的最值:
等差数列前n项和Sn=An2+Bn,通过配方得Sn=A(n+)2-,可利用二次函数的性质求最值,但应特殊留意n∈N*,所以当n为最接近　-　的正整数时,Sn取得最值. 
问题4:已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤:
(1)当n=1时,a1=　S1　; 
(2)当n≥2时,an=　Sn-Sn-1　; 
(3)假如当n=1时,a1符合(2)中算出的an,那么数列{an}的通项公式为an(n∈N*),反之,则an= 　. 

把2022表示为两个及两个以上的连续自然数之和,有几种不同的表示方法?
我们可以假设这个数可以表示为n个连续自然数的和:m+1+m+2+…+m+n(m大于0),用等差数列求和,即可得到.

1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S101=0,则有(　　).
A.a1+a101>0
B.a1+a101<0
C.a1+a101=0
D.a1+a101的符号不确定
【解析】∵S101=,∴a1+a101=0.
【答案】C
2.若等差数列{an}的前3项和S3=9,则a2等于(　　).
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
【解析】∵S3=a1+a2+a3=3a2=9,∴a2=3.
【答案】A
3.已知{an}是等差数列,a4+a6=6,其前5项和S5=10,则其公差d=　　　　. 
【解析】由题意得解得d=.
【答案】
4.一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最终5项的和为146,全部项的和为234,求它的第7项a7.
【解析】∵a1+a2+a3+a4+a5=34,an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,又a1+an=a2+an-1=…=a5+an-4,
∴5(a1+an)=180⇒a1+an=36,
∴Sn=234==,∴n=13.
∴a1+a13=36=2a7,∴a7=18.

等差数列求和公式的应用
设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,且S10=S11.
(1)求首项a1;
(2)求前n项和Sn.
【方法指导】利用等差数列的通项公式与前n项和公式求解.
【解析】(1)由S10=S11,得a11=S11-S10=0,故a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20.
(2)由等差数列的前n项和公式知Sn=na1+×d=20n+(n-n2)=-n2+21n.
【小结】在等差数列的通项公式与前n项和公式中,已知一些变量可求其他变量,在解题时要依据题目中的条件选择适当的公式,以简化计算过程.

依据数列求和公式求数列通项公式
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+3n+2,求这个数列的通项公式.
【方法指导】已知Sn求an,可利用an=但要留意对n=1进行争辩.
【解析】∵Sn=a1+a2+…+an,①
Sn-1=a1+a2+…+an-1,②
由①-②得an=Sn-Sn-1,
∴an=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1.
[问题]an=4n+1对任意的项都成立吗?
[结论]Sn-1=a1+a2+…+an-1成立的条件是n≥2,故an=4n+1,在n=1时不愿定成立.
于是,正确解答如下:
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1,
当n=1时,a1=S1=7,不适合上式.
故an=
【小结】求an的公式有:an=
同时可以发觉:已知Sn=An2+Bn+C,
若C=0,则数列{an}是等差数列;
若C≠0,则数列{an}从其次项起成等差数列,通项公式要分段写出.

求等差数列和的最大项
在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,则数列的前多少项和最大?
【方法指导】可依据题意先求得数列的公差,再由通项的正负或前n项和公式推断,也可依据前n项和的函数特性求解.
【解析】(法一)由
得
解得d=-2.
则Sn=25n+(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169,
∴数列的前13项和最大.
(法二)同(法一)解得d=-2.∴an=25+(-2)(n-1)=-2n+27.
令an>0,即-2n+27>0,解得n<13.5,
即数列的前13项均为正数,第13项以后均为负数,
∴数列的前13项和最大.
(法三)∵等差数列的前n项和是关于n的没有常数项的二次函数,且S9=S17,∴抛物线的对称轴为n=13,∴数列的前13项和最大.
【小结】法一是利用二次函数的最值求解,法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点,法三是结合等差数列前n项和公式的函数特点利用数形结合思想解答.利用法三时确定要留意对称轴对应的横坐标是否为正整数,假如不为整数应当找靠近对称轴的正整数.

在等差数列{an}中,a4=10,a10=-2,若Sm=60,求m的值.
【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,
由a4=10,a10=-2,得
∴
∴Sm=16m+×(-2)=60.
整理,得m2-17m+60=0,
∴m=5或12.

设数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,问这个数列成等差数列吗?
【解析】当n=1时,a1=S1=2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.
∵a1不满足an=2n-3,∴an=
∴数列{an}不成等差数列,但从第2项起成等差数列.

已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(　　).
A.21 B.20　 C.19　　 D.18
【解析】由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35,
由a2+a4+a6=99得3a4=99,即a4=33,∴d=-2,an=a4+(n-4)×(-2)=41-2n,
由得19.5≤n≤20.5,∴n=20.
【答案】B

1.设数列{an}是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项的和,则有(　　).
A.S4<S5　B.S4=S5　C.S6<S5　D.S6=S5
【解析】设公差为d,则解得a1=-8,d=2,则S4=4×(-8)+×2=-20,S5=5×(-8)+×2=-20,S6=6×(-8)+×2=-18,即S4=S5<S6.
【答案】B
2.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于(　　).
A.16　　 B.24　 C.36　　 D.48
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则S4=4×+×4×3d=20,所以d=3,则S6=S4+(a1+4d)+(a1+5d)=20+1+27=48.
【答案】D
3.设数列{an}的前n项和为Sn=n2-4n+1,则an=　　　　. 
【解析】当n=1时,a1=S1=12-4×1+1=-2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-[(n-1)2-4(n-1)+1]=2n-5.又a1≠2×1-5,则an=
【答案】
4.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-2n,bn=(n=1,2,3,…),求证:数列{bn}是等差数列.
【解析】当n=1时,a1=-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,明显a1=2-3,所以an=2n-3(n∈N*),所以a2n=4n-3,即{a2n}是首项为1,公差为4的等差数列,所以bn===2n-1,所以{bn}是等差数列.

(2021年·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于(　　).
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】∵数列{}是等差数列,∴+=,∴-=0,解得m=5.
【答案】C