《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.4等差数列的前n项和及其性质-讲义.docx

第4课时等差数列的前n项和及其性质1.把握等差数列前n项和公式及其推导方法.2.会用等差数列前n项和公式解决一些简洁的问题.重点:探究等差数列的前n项和公式.难点:对公式的机敏应用.高斯是怎样想的两百多年前,德国出了一位名扬世界的“数学王子”高斯(Gauss,17771855).高斯从小就听父亲讲一些生产中的简易算法,养成了动脑筋的习惯,在他十岁的时候,算术课上老师出了一道题目:1+2+3+99+100=?正值同学们静心地逐项相加时,高斯快速地说出了答案:5050.你知道高斯是怎样算出来的吗?高斯的算法是:首项与末项的和为1+100=101,第2项与倒数第2项的和为2+99=101,第3项与倒数第3项的和为3+98=101,第50项与倒数第50项的和为50+51=101,故所求的和为101=5050.请你学习高斯的算法,计算:1+3+5+49=?问题1:(1)等差数列前n项和公式Sn=或Sn=na1+n(n-1)d.(2)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法.设等差数列an的前n项为a1,a2,a3,an-2,an-1,an,则Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an,将和式倒序写为Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1,两式相加得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an),Sn=.将通项an=a1+(n-1)d代入可得Sn=na1+d.问题2:(1)等差数列前n项和公式Sn=和Sn=na1+及通项公式an=a1+(n-1)d中含有五个量a1、d、n、an、Sn,在具体解题时,通过解方程组做到“知三求二”.(2)等差数列前n项和公式的特点是Sn=na1+=n2+(a1-)n,即等差数列前n项和公式是关于n的没有常数项的二次函数.其图象是过原点的抛物线上一些孤立的点.问题3:如何求等差数列前n项和的最值?(1)用等差数列的单调性求前n项和的最值.d0an为递增数列,若a10,则S1=a1最小;若a10,则当n满足时的Sn最小.d0,则当n满足时的Sn最大.(2)利用函数的学问求等差数列前n项和的最值:等差数列前n项和Sn=An2+Bn,通过配方得Sn=A(n+)2-,可利用二次函数的性质求最值,但应特殊留意nN*,所以当n为最接近-的正整数时,Sn取得最值.问题4:已知数列an的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤:(1)当n=1时,a1=S1;(2)当n2时,an=Sn-Sn-1;(3)假如当n=1时,a1符合(2)中算出的an,那么数列an的通项公式为an(nN*),反之,则an=.把2022表示为两个及两个以上的连续自然数之和,有几种不同的表示方法?我们可以假设这个数可以表示为n个连续自然数的和:m+1+m+2+m+n(m大于0),用等差数列求和,即可得到.1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S101=0,则有(). A.a1+a1010B.a1+a1010,即-2n+270,解得n13.5,即数列的前13项均为正数,第13项以后均为负数,数列的前13项和最大.(法三)等差数列的前n项和是关于n的没有常数项的二次函数,且S9=S17,抛物线的对称轴为n=13,数列的前13项和最大.【小结】法一是利用二次函数的最值求解,法二是通过数列的通项的特点找出正负项的分界点,法三是结合等差数列前n项和公式的函数特点利用数形结合思想解答.利用法三时确定要留意对称轴对应的横坐标是否为正整数,假如不为整数应当找靠近对称轴的正整数.在等差数列an中,a4=10,a10=-2,若Sm=60,求m的值.【解析】设an的首项为a1,公差为d,由a4=10,a10=-2,得Sm=16m+(-2)=60.整理,得m2-17m+60=0,m=5或12.设数列an的前n项和Sn=n2-2n+3,问这个数列成等差数列吗?【解析】当n=1时,a1=S1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-3.a1不满足an=2n-3,an=数列an不成等差数列,但从第2项起成等差数列.已知an为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是().A.21B.20C.19D.18【解析】由a1+a3+a5=105得3a3=105,即a3=35,由a2+a4+a6=99得3a4=99,即a4=33,d=-2,an=a4+(n-4)(-2)=41-2n,由得19.5n20.5,n=20.【答案】B1.设数列an是等差数列,且a2=-6,a8=6,Sn是数列an的前n项的和,则有(). A.S4S5B.S4=S5C.S6S5D.S6=S5【解析】设公差为d,则解得a1=-8,d=2,则S4=4(-8)+2=-20,S5=5(-8)+2=-20,S6=6(-8)+2=-18,即S4=S5S6.【答案】B2.记等差数列an的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6等于().A.16B.24C.36D.48【解析】设等差数列an的公差为d,则S4=4+43d=20,所以d=3,则S6=S4+(a1+4d)+(a1+5d)=20+1+27=48.【答案】D3.设数列an的前n项和为Sn=n2-4n+1,则an=.【解析】当n=1时,a1=S1=12-41+1=-2;当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-4n+1)-(n-1)2-4(n-1)+1=2n-5.又a121-5,则an=【答案】4.已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n,bn=(n=1,2,3,),求证:数列bn是等差数列.【解析】当n=1时,a1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,明显a1=2-3,所以an=2n-3(nN*),所以a2n=4n-3,即a2n是首项为1,公差为4的等差数列,所以bn=2n-1,所以bn是等差数列.(2021年新课标全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于().A.3B.4C.5D.6【解析】数列是等差数列,+=,-=0,解得m=5.【答案】C