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第3课时 等差数列的概念及其性质
1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.
2.探究并把握等差数列的通项公式,机敏运用通项公式求解计算,做到“知三求一”.
重点:等差数列的概念和通项公式.
难点:等差数列通项的求法及其应用.
《蒙学诗》
一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.
它的意思是:我到外面游玩,不知不觉离家已有两、三里地,看到不远处的小村庄里,有四、五户人家已经冒起了炊烟.我信步走来,又看到路边有六、七处精致的亭阁楼台,独自静静观赏,才发觉身边的树枝上挂着……八朵、九朵,哦,不,十朵花,真是赏心悦目!
这首五言绝句是描写风景的秀丽 .它把“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村风景图,质朴实淡,令人耳目一新.
问题1:(1)等差数列的概念: 假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数,那么这个数列就叫作 等差 数列,这个常数叫作等差数列的 公差 .
(2)等差中项的概念:假如a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的 等差中项 .其中A= .
问题2:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d ,如何推导的?
(法一)归纳猜想:依据等差数列的定义,将{an}中的每一项都用a1和d表示出来.
a2= a1+d ;a3=a2+d= a1+2d ;a4=a3+d= a1+3d ;…;an= a1+(n-1)d .
(法二)累加法:将各式相加可得an-a1=(n-1)d,故an= a1+(n-1)d .
问题3:依据等差数列的概念,如何推断数列的单调性,如何推断一个数列是否为等差数列?
等差数列满足an-an-1=d(d为常数,n≥2)或an+1-an=d(d为常数,n∈N*).当d>0时,数列为 递增 数列;当d<0时,数列为 递减 数列;当d=0时,数列为 常 数列.
要推断一个数列是否为等差数列,只需推断an-an-1=d(d为常数,n≥2)或an+1-an=d(d为常数,n∈N*)是否成立.
问题4:(1)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的 等差中项 ,即 2an=an-1+an+1(n≥2) .
推广:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(2)等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 中一共涉及了四个量,用方程的观点来看,假如三个量已知,就可求出剩余的一个未知量,即“知三求一”.
(3)用函数的观点来生疏等差数列的通项公式,可以发觉点(n,an)分布在 一次函数 的图象上,结合函数性质可生疏数列的增减性.
公元前1世纪的《周髀算经》将日行轨道按季节不同分成七个同心圆,称为“七衡图”.已知内衡直径a1=238000里,两衡间距为=19833万里,则其余各衡的直径依次为a2=a1+d,a3=a1+2d,…,a7=a1+6d.明显,从中可归纳出一般等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d.
1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为( ).
A.2 B.3 C.-2 D.-3
【解析】依题意可得an+1-an=-2或a2-a1=(3-4)-(3-2)=-2.
【答案】C
2.已知等差数列{an}中,首项a1=4,公差d=-2,则数列{an}的通项公式是( ).
A.an=4-2n B.an=2n-4
C.an=6-2n D.an=2n-6
【解析】通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=6-2n.
【答案】C
3.与的等差中项是 .
【解析】由于=2-,=-(+2),由等差中项的定义可知,与的等差中项是[(2-)-(2+)]=-.
【答案】-
4.已知等差数列的前三项为3,7,11,求该数列的第4项和第10项.
【解析】依据题意可知:a1=3,d=7-3=4,∴该数列的通项公式为:an=3+(n-1)×4,即an=4n-1(n∈N*),∴a4=4×4-1=15,a10=4×10-1=39.
求等差数列的通项
已知等差数列{an}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{an}的通项公式.
【方法指导】依据给定的a3a7=-16,a4+a6=0,可以得到关于a1和d的方程组,通过解方程组可得其通项公式.
【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,
则
即解得或
故数列的通项公式为an=-8+2(n-1)=2n-10或an=8-2(n-1)=-2n+10.
【小结】本题体现了方程(组)的思想,这种思想在数列中经常用到.紧紧把握住等差数列的基本量(首项a1和公差d)是解决此类问题的关键.
等差数列的推断
已知数列{an}的通项为an=lg 3n,试推断该数列是否为等差数列.若是,其公差是多少?
【方法指导】可以利用等差数列的定义来证明,看an+1-an是否等于一个与n无关的常数.
【解析】an=lg 3n=nlg 3,则an+1-an=(n+1)lg 3-nlg 3=lg 3,是常数.
故数列{an}是等差数列,公差为lg 3.
【小结】推断或证明一个数列为等差数列,主要是利用等差数列的定义,确定an+1-an是一个与n无关的常数.
等差数列的实际应用
《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ).
A.1升 B.升 C.升 D.升
【方法指导】设出等差数列{an}的基本量,将所给条件用基本量表示,利用基本量法求解.
【解析】设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得即
解得
所以a5=a1+4d=.
【答案】B
【小结】求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式设出基本量a1和d,解方程即可.
在等差数列{an}中,已知a1+a6=12,a4=7.
(1)求a9.
(2)求此数列在[101,1000]内共有多少项.
【解析】(1)设{an}的首项为a1,公差为d,
则则
∴a9=a1+8d=1+8×2=17.
(2)an=1+(n-1)×2=2n-1,令101≤2n-1≤1000,
则51≤n≤500.5,故共有450项.
已知数列{an}中,a1=,数列an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*),求证:数列{bn}为等差数列.
【解析】由于bn===,而bn-1=,
所以bn-bn-1=-=1(n≥2,n∈N*),
又b1==-.
故数列{bn}是首项为-,公差为1的等差数列.
夏季高山上的温度从山脚起,每上升100 m,降低0.7 ℃,已知山顶处的温度是14.8 ℃,山脚处的温度为26 ℃,求此山相对于山脚处的高度.
【解析】由于每上升100 m温度降低0.7 ℃,
所以该处温度的变化是一个等差数列问题.
山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8,
所以26+(n-1)(-0.7)=14.8,
解之可得n=17,此山的高度为(17-1)×100=1600(m).
答:此山相对于山脚处的高度是1600 m.
1.lg(-)与lg(+)的等差中项为( ).
A.0 B.lg
C.lg(5-2) D.1
【解析】等差中项为===0.
【答案】A
2.等差数列的相邻四项是1,a,-7,b,那么a、b的值分别是( ).
A.3,-11 B.-3,-11
C.-3,11 D.3,11
【解析】依据等差中项的定义得a==-3,-14=a+b=-3+b,∴b=-11.
【答案】B
3.已知数列{an}为等差数列,a3=,a7=-,则a15的值为 .
【解析】设{an}的首项为a1,公差为d,
则解得
所以a15=+(15-1)×(-)=-.
【答案】-
4.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行,此后每4年进行一次.奥运会假如因故不能进行,届数照算.
(1)试写出由进行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年进行奥运会吗?
【解析】(1)由题意知:进行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,∴an=1896+4(n-1)=1892+4n(n∈N*).
(2)令an=2008,则2008=1892+4n,得n=29,故2008年北京奥运会是第29届奥运会.
令an=2050,则2050=1892+4n,无正整数解,故2050年不进行奥运会.
(2021年·广东卷)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7= .
【解析】设公差为d,则a3+a8=10⇒2a1+9d=10,
而3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
【答案】20
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