《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.3等差数列的概念及其性质-讲义.docx

第3课时等差数列的概念及其性质1.理解等差数列、公差、等差中项的概念.2.探究并把握等差数列的通项公式,机敏运用通项公式求解计算,做到“知三求一”.重点:等差数列的概念和通项公式.难点:等差数列通项的求法及其应用.蒙学诗一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花.它的意思是:我到外面游玩,不知不觉离家已有两、三里地,看到不远处的小村庄里,有四、五户人家已经冒起了炊烟.我信步走来,又看到路边有六、七处精致的亭阁楼台,独自静静观赏,才发觉身边的树枝上挂着八朵、九朵,哦,不,十朵花,真是赏心悦目!这首五言绝句是描写风景的秀丽.它把“一”到“十”的数字嵌入诗中,组合成一幅静美如画的山村风景图,质朴实淡,令人耳目一新.问题1:(1)等差数列的概念: 假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫作等差数列,这个常数叫作等差数列的公差.(2)等差中项的概念:假如a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.其中A=.问题2:等差数列an的首项为a1,公差为d,等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,如何推导的?(法一)归纳猜想:依据等差数列的定义,将an中的每一项都用a1和d表示出来.a2=a1+d;a3=a2+d=a1+2d;a4=a3+d=a1+3d;an=a1+(n-1)d.(法二)累加法:将各式相加可得an-a1=(n-1)d,故an=a1+(n-1)d.问题3:依据等差数列的概念,如何推断数列的单调性,如何推断一个数列是否为等差数列?等差数列满足an-an-1=d(d为常数,n2)或an+1-an=d(d为常数,nN*).当d0时,数列为递增数列;当d0时,数列为递减数列;当d=0时,数列为常数列.要推断一个数列是否为等差数列,只需推断an-an-1=d(d为常数,n2)或an+1-an=d(d为常数,nN*)是否成立.问题4:(1)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1(n2).推广:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).(2)等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d中一共涉及了四个量,用方程的观点来看,假如三个量已知,就可求出剩余的一个未知量,即“知三求一”.(3)用函数的观点来生疏等差数列的通项公式,可以发觉点(n,an)分布在一次函数的图象上,结合函数性质可生疏数列的增减性.公元前1世纪的周髀算经将日行轨道按季节不同分成七个同心圆,称为“七衡图”.已知内衡直径a1=238000里,两衡间距为=19833万里,则其余各衡的直径依次为a2=a1+d,a3=a1+2d,a7=a1+6d.明显,从中可归纳出一般等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d.1.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差为(). A.2B.3C.-2D.-3【解析】依题意可得an+1-an=-2或a2-a1=(3-4)-(3-2)=-2.【答案】C2.已知等差数列an中,首项a1=4,公差d=-2,则数列an的通项公式是(). A.an=4-2nB.an=2n-4C.an=6-2nD.an=2n-6【解析】通项公式an=a1+(n-1)d=4+(n-1)(-2)=6-2n.【答案】C3.与的等差中项是.【解析】由于=2-,=-(+2),由等差中项的定义可知,与的等差中项是(2-)-(2+)=-.【答案】-4.已知等差数列的前三项为3,7,11,求该数列的第4项和第10项.【解析】依据题意可知:a1=3,d=7-3=4,该数列的通项公式为:an=3+(n-1)4,即an=4n-1(nN*),a4=44-1=15,a10=410-1=39.求等差数列的通项已知等差数列an中,a3a7=-16,a4+a6=0,求an的通项公式.【方法指导】依据给定的a3a7=-16,a4+a6=0,可以得到关于a1和d的方程组,通过解方程组可得其通项公式.【解析】设an的首项为a1,公差为d,则即解得或故数列的通项公式为an=-8+2(n-1)=2n-10或an=8-2(n-1)=-2n+10.【小结】本题体现了方程(组)的思想,这种思想在数列中经常用到.紧紧把握住等差数列的基本量(首项a1和公差d)是解决此类问题的关键.等差数列的推断已知数列an的通项为an=lg 3n,试推断该数列是否为等差数列.若是,其公差是多少?【方法指导】可以利用等差数列的定义来证明,看an+1-an是否等于一个与n无关的常数.【解析】an=lg 3n=nlg 3,则an+1-an=(n+1)lg 3-nlg 3=lg 3,是常数.故数列an是等差数列,公差为lg 3.【小结】推断或证明一个数列为等差数列,主要是利用等差数列的定义,确定an+1-an是一个与n无关的常数.等差数列的实际应用九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为(). A.1升B.升C.升D.升【方法指导】设出等差数列an的基本量,将所给条件用基本量表示,利用基本量法求解.【解析】设所构成的等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意得即解得所以a5=a1+4d=.【答案】B【小结】求解此类问题的关键是把实际问题转化为等差数列问题,利用等差数列的定义、通项公式设出基本量a1和d,解方程即可.在等差数列an中,已知a1+a6=12,a4=7.(1)求a9.(2)求此数列在101,1000内共有多少项.【解析】(1)设an的首项为a1,公差为d,则则a9=a1+8d=1+82=17.(2)an=1+(n-1)2=2n-1,令1012n-11000,则51n500.5,故共有450项.已知数列an中,a1=,数列an=2-(n2,nN*),数列bn满足bn=(nN*),求证:数列bn为等差数列.【解析】由于bn=,而bn-1=,所以bn-bn-1=-=1(n2,nN*),又b1=-.故数列bn是首项为-,公差为1的等差数列.夏季高山上的温度从山脚起,每上升100 m,降低0.7 ,已知山顶处的温度是14.8 ,山脚处的温度为26 ,求此山相对于山脚处的高度. 【解析】由于每上升100 m温度降低0.7 ,所以该处温度的变化是一个等差数列问题.山脚温度为首项a1=26,山顶温度为末项an=14.8,所以26+(n-1)(-0.7)=14.8,解之可得n=17,此山的高度为(17-1)100=1600(m).答:此山相对于山脚处的高度是1600 m.1.lg(-)与lg(+)的等差中项为(). A.0B.lg C.lg(5-2)D.1【解析】等差中项为=0.【答案】A2.等差数列的相邻四项是1,a,-7,b,那么a、b的值分别是().A.3,-11B.-3,-11C.-3,11D.3,11【解析】依据等差中项的定义得a=-3,-14=a+b=-3+b,b=-11.【答案】B3.已知数列an为等差数列,a3=,a7=-,则a15的值为.【解析】设an的首项为a1,公差为d,则解得所以a15=+(15-1)(-)=-.【答案】-4.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典进行,此后每4年进行一次.奥运会假如因故不能进行,届数照算.(1)试写出由进行奥运会的年份构成的数列的通项公式;(2)2008年北京奥运会是第几届?2050年进行奥运会吗?【解析】(1)由题意知:进行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项,4为公差的等差数列,an=1896+4(n-1)=1892+4n(nN*).(2)令an=2008,则2008=1892+4n,得n=29,故2008年北京奥运会是第29届奥运会.令an=2050,则2050=1892+4n,无正整数解,故2050年不进行奥运会.(2021年广东卷)在等差数列an中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=.【解析】设公差为d,则a3+a8=102a1+9d=10,而3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.【答案】20